全国高考新课标卷文科数学试题解析版.doc
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全国高考新课标卷文科数学试题解析版.doc
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高考真题高三数学
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=
A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}
解析:
选A
2.设z=+2i,则|z|=
A.0B.C.1D.
解析:
选Cz=+2i=-i+2i=i
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析:
选A
4.已知椭圆C:
+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为
A. B. C. D.
解析:
选C∵c=2,4=a2-4∴a=2∴e=
5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为
A.12π B.12π C.8π D.10π
解析:
选B设底面半径为R,则(2R)2=8∴R=,圆柱表面积=2πR×2R+2πR2=12π
6.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
解析:
选D∵f(x)为奇函数∴a=1∴f(x)=x3+xf′(x)=3x2+1f′(0)=1故选D
7.在ΔABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=
A.- B.- C.+ D.+
解析:
选A结合图形,=-(+)=--=--(-)=-
8.已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x) 的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x) 的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
解析:
选Bf(x)=cos2x+故选B
9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为
A.2 B.2 C.3 D.2
解析:
选B所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为300,则该长方体的体积为
A.8 B.6 C.8 D.8
解析:
选C∵AC1与平面BB1C1C所成的角为300,AB=2∴AC1=4BC1=2BC=2∴CC1=2
V=2×2×2=8
11.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|a-b|=
A. B. C. D.1
解析:
选B∵cos2α=2cos2α-1=cos2α=∴sin2α=∴tan2α=
又|tanα|=|a-b|∴|a-b|=
12.设函数f(x)=,则满足f(x+1) A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0) 解析: 选Dx≤-1时,不等式等价于2-x-1<2-2x,解得x<1,此时x≤-1满足条件 -1 x>0时,1<1不成立故选D 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=________. 解析: log2(9+a)=1,即9+a=2,故a=-7 14.若x,y满足约束条件,则z=3z+2y的最大值为_____________. 解析: 答案为6 15.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=________. 解析: 圆心为(0,-1),半径R=2,线心距d=,|AB|=2=2 16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________. 解析: 由正弦定理及bsinC+csinB=4asinBsinC得2sinBsinC=4sinAsinBsinC∴sinA= 由余弦定理及b2+c2-a2=8得2bccosA=8,则A为锐角,cosA=,∴bc= ∴S=bcsinA= 三、解答题: 共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: 共60分。 17.(12分) 已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式. 解: (1)由条件可得an+1=an. 将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4. 将n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12. 从而b1=1,b2=2,b3=4. (2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由 (2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1. 18.(12分) 如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=900,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA. (1)证明: 平面ACD⊥平面ABC; (2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积. 18.解: (1)由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC. 又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD. 又AB平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3. 又BP=DQ=DA,所以BP=2. 作QE⊥AC,垂足为E,则QE//DC,且QE=DC. 由已知及 (1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1. 因此,三棱锥Q-ABP的体积为V=×QE×SΔABP=×1××3×2×sin450=1 19.(12分) 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位: m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7) 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 频数 1 5 13 10 16 5 (1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图: (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水? (一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.) 解: (1) (2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48, 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 =(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 =(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35 估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3). 20.(12分) 设抛物线C: y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点. (1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程; (2)证明: ∠ABM=∠ABN. 解: (1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,–2). 所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1. (2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN. 当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)((k≠0)),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0. 代y=k(x-2)入y2=2x消去x得ky2–2y–4k=0,可知y1+y2=,y1y2=–4. 直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=+=.① 将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)===0 所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以,∠ABM=∠ABN. 21.(12分) 已知函数f(x)=aex-lnx-1. (1)设x=2是f(x)的极值点.求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明: 当a≥时,f(x)≥0. 解: (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=aex–. 由题设知,f′ (2)=0,所以a=. 从而f(x)=ex-lnx-1,f′(x)=ex-. 当0 所以f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增. (2)当a≥时,f(x)≥-lnx-1. 设g(x)=-lnx-1,则g′(x)=– 当0 故当x>0时,g(x)≥g (1)=0. 因此,当a≥时,f(x)≥0. (二)选考题: 共10分。 请考生在第22、23题中任选一题作答。 如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4–4: 坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xoy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 解: (1)C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由 (1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0. 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点. 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=-. 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点. 综上,所求C1的方程为y=-|x|+2. 23.[选修4–5: 不等式选讲](10分) 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围. 解: (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为(,+∞). (2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1; 若a>0,|ax-1|<1的解集为(0,),所以≥1,故(0,2]. 综上,a的取值范围为(0,2]. 第7页共7页
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