高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结.doc
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1.均值不等式法
例1设求证
例2已知函数,若,且在[0,1]上的最小值为,求证:
例3求证.
例4已知,,求证:
≤1.
2.利用有用结论
例5求证
例6已知函数
求证:
对任意且恒成立。
例7已知
用数学归纳法证明;
对对都成立,证明(无理数)
例8已知不等式。
表示不超过的最大整数。
设正数数列满足:
求证
再如:
设函数。
(Ⅰ)求函数最小值;(Ⅱ)求证:
对于任意,有
例9设,求证:
数列单调递增且
3.部分放缩
例10设,求证:
例11设数列满足,当时证明对所有有:
;.
4.添减项放缩
例12设,求证.
例13设数列满足证明对一切正整数成立;
5利用单调性放缩:
构造函数
例14已知函数的最大值不大于,又当时
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设,证明
例15数列由下列条件确定:
,.
(I)证明:
对总有;(II)证明:
对总有
6.换元放缩
例16求证
例17设,,求证.
7转化为加强命题放缩
例18设,定义,求证:
对一切正整数有
例19数列满足证明
例20已知数列{an}满足:
a1=,且an=
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:
对一切正整数n有a1·a2·……an<2·n!
8.分项讨论
例21已知数列的前项和满足
(Ⅰ)写出数列的前3项;(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)证明:
对任意的整数,有.
9.借助数学归纳法
例22(Ⅰ)设函数,求的最小值;
(Ⅱ)设正数满足,求证:
10.构造辅助函数法
例23已知=,数列满足
(1)求在上的最大值和最小值;
(2)证明:
;
(3)判断与的大小,并说明理由.
例24已知数列的首项,,.
(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)证明:
对任意的,,;
(Ⅲ)证明:
.
例25已知函数f(x)=x2-1(x>0),设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*).
(Ⅰ)用xn表示xn+1;(Ⅱ)求使不等式对一切正整数n都成立的充要条件,并说明理由;
(Ⅲ)若x1=2,求证:
例1解析此数列的通项为,
,即
注:
①应注意把握放缩的“度”:
上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放成则得,就放过“度”了!
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
,其中,等的各式及其变式公式均可供选用。
例2[简析]
例3简析不等式左边=
=,故原结论成立.
例4【解析】使用均值不等式即可:
因为,所以有
其实,上述证明完全可以改述成求的最大值。
本题还可以推广为:
若,,试求的最大值。
请分析下述求法:
因为,所以有
故的最大值为,且此时有。
上述解题过程貌似完美,其实细细推敲,是大有问题的:
取“=”的条件是,即必须有,即只有p=q时才成立!
那么,呢?
其实例6的方法照样可用,只需做稍稍变形转化:
则有
于是,,当且仅当
结合其结构特征,还可构造向量求解:
设,则
由立刻得解:
且取“=”的充要条件是:
。
2.利用有用结论
例5简析本题可以利用的有用结论主要有:
法1利用假分数的一个性质可得
即
法2利用贝努利不等式的一个特例(此处)得,
例6[简析]高考标准用数学归纳法证明,;这里给出运用柯西()不等式的简捷证法:
而由不等式得
(时取等号)
(),得证!
例7[解析]结合第问结论及所给题设条件()的结构特征,可得放缩思路:
。
于是,
即
【注】:
题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:
,
即
例8【简析】当时,即于是当时有
注:
本题涉及的和式为调和级数,是发散的,不能求和;但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩;
再如:
【解析】(Ⅰ)1;(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)得,对x>-1有,利用此结论进行巧妙赋值:
取,则有
即对于任意,有
例9[解析]引入一个结论:
若则,(可通过构造一个等比数列求和放缩来证明,略)
整理上式得(),以代入()式得。
即单调递增。
以代入()式得。
此式对一切正整数都成立,即对一切偶数有,又因为数列单调递增,所以对一切正整数有。
注:
上述不等式可加强为简证如下:
利用二项展开式进行部分放缩:
只取前两项有对通项作如下放缩:
故有
3.部分放缩
例10[解析]
又(只将其中一个变成,进行部分放缩),,
于是
例11【解析】用数学归纳法:
当时显然成立,假设当时成立即,
则当时,成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项,可得
【注】上述证明用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:
;
证明就直接使用了部分放缩的结论。
例12[简析]观察的结构,注意到,展开得
即,得证.
例13[简析]本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有
法1用数学归纳法(只考虑第二步);
法2
则
例14[解析](Ⅰ)=1;(Ⅱ)由得且
用数学归纳法(只看第二步):
在是增函数,则得
例15[解析]构造函数易知在是增函数。
当时在递增,故。
对(II)有,构造函数
它在上是增函数,故有,得证。
【注】①数列单调递减有下界因而有极限:
②是递推数列的母函数,研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。
例16[简析]令,这里则有
,从而有
注:
通过换元化为幂的形式,为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。
例17[简析]令,则,,应用二项式定理进行部分放缩有
,
注意到,则(证明从略),因此.
7转化为加强命题放缩
例18[解析]用数学归纳法推时的结论,仅用归纳假设及递推式
是难以证出的,因为出现在分母上!
可以逆向考虑:
故将原问题转化为证明其加强命题:
对一切正整数有(证略)
例19[简析]将问题一般化:
先证明其加强命题用数学归纳法,只考虑第二步:
。
因此对一切有
例20[解析]:
(1)将条件变为:
1-=,因此{1-}为一个等比数列,其首项为1-=,公比,从而1-=,据此得an=(n³1)……1°
(2)证:
据1°得,a1·a2·…an=,为证a1·a2·……an<2·n!
,
只要证nÎN*时有>……2°显然,左端每个因式都是正数,先证明一个加强不等式:
对每个nÎN*,有³1-()……3°
(用数学归纳法,证略)利用3°得³1-()
=1-=1->。
故2°式成立,从而结论成立。
8.分项讨论
例21[简析](Ⅰ)略,(Ⅱ);(Ⅲ)由于通项中含有,很难直接放缩,考虑分项讨论:
当且为奇数时
(减项放缩),
于是,①当且为偶数时,
②当且为奇数时,(添项放缩)
由①知。
由①②得证。
9.借助数学归纳法
例22[解析]科学背景:
直接与凸函数有关!
(Ⅰ)略,只证(Ⅱ):
考虑试题的编拟初衷,是为了考查数学归纳法,于是借鉴詹森不等式的证明思路有:
法1(用数学归纳法)
(i)当n=1时,由(Ⅰ)知命题成立。
(ii)假定当时命题成立,即若正数,
则
当时,若正数(*)
为利用归纳假设,将(*)式左边均分成前后两段:
令
则为正数,且
由归纳假定知
(1)
同理,由得
(2)
综合
(1)
(2)两式
即当时命题也成立.根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立.
法2构造函数
利用(Ⅰ)知,当
对任意②
(②式是比①式更强的结果).下面用数学归纳法证明结论.
(i)当n=1时,由(I)知命题成立.
(ii)设当n=k时命题成立,即若正数
对(*)式的连续两项进行两两结合变成项后使用归纳假设,并充分利用②式有
由归纳法假设
得
即当时命题也成立.所以对一切正整数n命题成立.
【评注】
(1)式②也可以直接使用函数下凸用(Ⅰ)中结论得到;
(2)为利用归纳假设,也可对(*)式进行对应结合:
而变成项;
(3)本题用凸函数知识分析如下:
先介绍詹森(jensen)不等式:
若为上的下凸函数,则
对任意,有
特别地,若,则有
若为上凸函数则改“”为“”。
由为下凸函数得,又,所以
(4)本题可作推广如下:
若正数满足,则
。
简证:
构造函数,
易得
故
10.构造辅助函数法
例23【解析】
(1)求导可得在上是增函数,
(2)(数学归纳法证明)①当时,由已知成立;②假设当时命题成立,即成立,
那么当时,由
(1)得,,,,这就是说时命题成立。
由①、②知,命题对于都成立
(3)由,构造辅助函数,得
,当时,
故,所以<0得g(x)在是减函数,
∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0,∴>0,即>0,得>。
例24【解析】(Ⅰ).(Ⅱ)提供如下两种思路:
思路1观察式子右边特征,按为元进行配方,确定其最大值。
法1由(Ⅰ)知,
,原不等式成立.
思路2将右边看成是关于x的函数,通过求导研究其最值来解决:
法2设,则
,当时,;当时,,
当时,取得最大值.原不等式成立.
(Ⅲ)思路1考虑本题是递进式设问,利用(Ⅱ)的结论来探究解题思路:
由(Ⅱ)知,对任意的,有
.取,
则.原不等式成立.
【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的x进行巧妙赋值,当然,赋值方法不止一种,如:
还可令,得
思路2所证不等式是与正整数n有关的命题,能否直接用数学归纳法给予证明?
尝试:
(1)当时,成立;
(2)假设命题对成立,即
则当时,有,
只要证明;即证,
即证
用二项式定理(展开式部分项)证明,再验证前几项即可。
如下证明是否正确,请分析:
易于证明对任意成立;于是
【注】上述证明是错误的!
因为:
是递增的,不能逐步“缩小”到所需要的结论。
可修改如下:
考虑是某数列的前n项和,则,
只要证明
思路3深入观察所证不等式的结构特征,利用均值不等式可得如下妙证:
由取倒数易得:
,用n项的均值不等式:
,
例25【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)使不等式对一切正整数n都成立的充要条件是x1≥1.
(Ⅲ)基本思路:
寻求合适的放缩途径。
探索1着眼于通项特征,结合求证式特点,尝试进行递推放缩:
即。
于是由此递推放缩式逐步放缩得
探索2从求证式特征尝试分析:
结论式可作如下变形:
逆向思考,猜想应有:
(用数学归纳法证明,略)。
探索3探索过渡“桥”,寻求证明加强不等式:
由
(2)知xn≥1,由此得。
有
尝试证明
证法1(数学归纳法,略);
法2(用二项展开式部分项):
当n≥2时2n=(1+1)n≥
此题还可发现一些放缩方法,如:
。
(每一项都小于1),而再证即,则需要归纳出条件n≥4.(前4项验证即可)
技巧积累:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)
(10)(11)
(11)
(12)
(13)
(14)(15)
(15)
14
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