高考数学(理)二轮专题练习:解答题的八个答题模板(含答案).doc
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高考数学(理)二轮专题练习:解答题的八个答题模板(含答案).doc
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解答题的八个答题模板
【模板特征概述】
数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型,通常是高考的把关题和压轴题,具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.在高考考场上,能否做好解答题,是高考成败的关键,因此,在高考备考中学会怎样解题,是一项重要的内容.本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据,结合具体的题目类型,来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式,即所谓的“答题模板”.
“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型,把数学解题的思维过程划分为一个个小题,按照一定的解题程序和答题格式分步解答,即化整为零.强调解题程序化,答题格式化,在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案,实现答题效率的最优化.
模板1 三角变换与三角函数的性质问题
已知函数f(x)=2cosx·sin-sin2x+sinxcosx+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的最大值及最小值;(3)写出函数f(x)的单调递增区间.
审题路线图 不同角化同角→降幂扩角→化f(x)=Asin(ωx+φ)+h→结合性质求解.
规范解答示例
构建答题模板
解 f(x)=2cosx-sin2x+sinxcosx+1
=2sinxcosx+(cos2x-sin2x)+1=sin2x+cos2x+1
=2sin+1.
(1)函数f(x)的最小正周期为=π.
(2)∵-1≤sin≤1,∴-1≤2sin+1≤3.
∴当2x+=+2kπ,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值3;
当2x+=-+2kπ,k∈Z,即x=-+kπ,k∈Z时,f(x)取得最小值-1.
(3)由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
第一步 化简:
三角函数式的化简,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式,即化为“一角、一次、一函数”的形式.
第二步 整体代换:
将ωx+φ看作一个整体,利用y=sinx,y=cosx的性质确定条件.
第三步 求解:
利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质,写出结果.
第四步 反思:
反思回顾,查看关键点,易错点,对结果进行估算,检查规范性.
(2014·福建)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.
(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解 方法一
(1)因为0<α<,sinα=,
所以cosα=.
所以f(α)=×(+)-=.
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin(2x+),
所以T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得
kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.
方法二 f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin(2x+).
(1)因为0<α<,sinα=,所以α=,
从而f(α)=sin(2α+)=sin=.
(2)T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得
kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.
模板2 解三角形问题
在△ABC中,若acos2+ccos2=b.
(1)求证:
a,b,c成等差数列;
(2)求角B的取值范围.
审题路线图
(1)―→―→
(2)―→―→
规范解答示例
构建答题模板
(1)证明 因为acos2+ccos2=a·+c·=b,
所以a+c+(acosC+ccosA)=3b,
故a+c+=3b,
整理,得a+c=2b,故a,b,c成等差数列.
(2)解 cosB==
=≥=,
因为0
第一步 定条件:
即确定三角形中的已知和所求,在图形中标注出来,然后确定转化的方向.
第二步 定工具:
即根据条件和所求,合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.
第三步 求结果.
第四步 再反思:
在实施边角互化的时候应注意转化的方向,一般有两种思路:
一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系,然后进行恒等变形.
(2014·辽宁)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知·=2,cosB=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
解
(1)由·=2得c·acosB=2.
又cosB=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.
又b=3,所以a2+c2=9+2×6×=13.
解得或
因为a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,
sinB===,
由正弦定理,
得sinC=sinB=×=.
因为a=b>c,
所以C为锐角,
因此cosC===.
于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC
=×+×=.
模板3 数列的通项、求和问题
(2014·江西)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn=,求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.
审题路线图
(1)→→→
(2)→
规范解答示例
构建答题模板
解
(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0(bn≠0,n∈N*),
所以-=2,即cn+1-cn=2,
所以数列{cn}是以首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1.
(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,
于是数列{an}的前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,
3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,
相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,
所以Sn=(n-1)3n+1.
第一步 找递推:
根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系,即找数列的递推公式.
第二步 求通项:
根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式,或利用累加法或累乘法求通项公式.
第三步 定方法:
根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等).
第四步 写步骤:
规范写出求和步骤.
第五步 再反思:
反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范.
已知点是函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象上的一点.等比数列{an}的前n项和为f(n)-c.数列{bn}(bn>0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=+(n≥2).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列的前n项和为Tn,问满足Tn>的最小正整数n是多少?
解
(1)∵f
(1)=a=,∴f(x)=x.
由题意知,a1=f
(1)-c=-c,
a2=[f
(2)-c]-[f
(1)-c]=-,
a3=[f(3)-c]-[f
(2)-c]=-.
又数列{an}是等比数列,
∴a1===-=-c,
∴c=1.又公比q==,
∴an=-·n-1=-2·n(n∈N*).
∵Sn-Sn-1=(-)(+)
=+(n≥2).
又bn>0,>0,∴-=1.
∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列,
=1+(n-1)×1=n,即Sn=n2.
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,
当n=1时,b1=1也适合此通项公式.
∴bn=2n-1(n∈N*).
(2)Tn=+++…+
=+++…+
=×+×+×+…+×=×=.
由Tn=>,得n>,
∴满足Tn>的最小正整数n的值为101.
模板4 利用空间向量求角问题
(2014·山东)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.
(1)求证:
C1M∥平面A1ADD1;
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.
审题路线图
(1)⇒→
(2)→
→→
规范解答示例
构建答题模板
(1)证明 因为四边形ABCD是等腰梯形,
且AB=2CD,所以AB∥DC.
又由M是AB的中点,因此CD∥MA且CD=MA.
连接AD1,如图
(1).
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
因为CD∥C1D1,CD=C1D1,可得C1D1∥MA,C1D1=MA,所以四边形AMC1D1为平行四边形,因为C1M∥D1A.
又C1M⊄平面A1ADD1,D1A⊂平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1.
(2)解 方法一 如图
(2),连接AC,MC.
由
(1)知CD∥AM且CD=AM,
所以四边形AMCD为平行四边形,
可得BC=AD=MC,
由题意得∠ABC=∠DAB=60°,所以△MBC为正三角形,
因此AB=2BC=2,CA=,
因此CA⊥CB.
以C为坐标原点,建立如图
(2)所示的空间直角坐标系C-xyz,所以A(,0,0),B(0,1,0),D1(0,0,),
因此M,所以=,==.
设平面C1D1M的一个法向量为n=(x,y,z),
由得可得平面C1D1M的一个法向量n=(1,,1).又=(0,0,)为平面ABCD的一个法向量,因此cos〈,n〉==.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.
方法二 由
(1)知平面D1C1M∩平面ABCD=AB,
过点C向AB引垂线交AB于点N,
连接D1N,如图(3).由CD1⊥平面ABCD,
可得D1N⊥AB,
因此∠D1NC为二面角C1-AB-C的平面角.
在Rt△BNC中,BC=1,
∠NBC=60°,可得CN=.所以ND1==.
所以Rt△D1CN中,cos∠D1NC===,
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.
第一步 找垂直:
找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线.
第二步 写坐标:
建立空间直角坐标系,写出特征点坐标.
第三步 求向量:
求直线的方向向量或平面的法向量.
第四步 求夹角:
计算向量的夹角.
第五步 得结论:
得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角.
如图所示,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.
解
(1)以A为坐标原点,分别以,,为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4).
所以=(2,0,-4),=(1,-1,-4).
所以cos〈,〉=
==.
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)由题意,知=(0,2,0)是平面ABA1的一个法向量.
设平面ADC1的法向量为m=(x,y,z),
因为=(1,1,0),=(0,2,4),
由m⊥,m⊥,得
取z=1,得y=-2,x=2,所以平面ADC1的一个法向量为m=(2,-2,1).
设平面ADC1与平面ABA1所成二面角为θ,
所以|cosθ|=|cos〈,m〉|=||=||=,得sinθ=.
所以平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
模板5 圆锥曲线中的范围问题
椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,短轴长为,离心率为,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B,且=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求m的取值范围.
审题路线图
(1)→→
(2)→→→→→
规范解答示例
构建答题模板
解
(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
设c>0,c2=a2-b2,由题意,知2b=,=,
所以a=1,b=c=.故椭圆C的方程为y2+=1,即y2+2x2=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),l与椭圆C的交点坐标为A(x1,y1),
B(x2,y2),由得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0,
Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0,(*)
x1+x2=,x1x2=.因为=3,所以-x1=3x2,
所以所以3(x1+x2)2+4x1x2=0.
所以3·2+4·=0.
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0,即k2(4m2-1)+(2m2-2)=0.
当m2=时,上式不成立;
当m2≠时,k2=,
由(*)式,得k2>2m2-2,
又k≠0,所以k2=>0.
解得-1 即所求m的取值范围为∪. 第一步 提关系: 从题设条件中提取不等关系式. 第二步 找函数: 用一个变量表示目标变量,代入不等关系式. 第三步 得范围: 通过求解含目标变量的不等式,得所求参数的范围. 第四步 再回顾: 注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约. 已知双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线的离心率e的取值范围. 解 设直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0. 由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离d1=, 同理可得点(-1,0)到直线l的距离为d2=, 于是s=d1+d2==. 由s≥c,得≥c,即5a≥2c2, 可得5≥2e2,即4e4-25e2+25≤0, 解得≤e2≤5. 由于e>1,故所求e的取值范围是. 模板6 解析几何中的探索性问题 已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点. (1)若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程; (2)在x轴上是否存在点M,使·为常数? 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 审题路线图 设AB的方程y=k(x+1)→待定系数法求k→写出方程;设M存在即为(m,0)→求·→在·为常数的条件下求m. 规范解答示例 构建答题模板 解 (1)依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1), 将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=±,适合①. 所以直线AB的方程为x-y+1=0或x+y+1=0. (2)假设在x轴上存在点M(m,0),使·为常数. (ⅰ)当直线AB与x轴不垂直时,由 (1)知x1+x2=-,x1x2=.③ 所以·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1) =(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2. 将③代入,整理得· =+m2=+m2=m2+2m--. 注意到·是与k无关的常数,从而有6m+14=0,m=-,此时·=. (ⅱ)当直线AB与x轴垂直时,此时点A、B的坐标分别为、, 当m=-时,也有·=. 综上,在x轴上存在定点M,使·为常数. 第一步 先假定: 假设结论成立. 第二步 再推理: 以假设结论成立为条件,进行推理求解. 第三步 下结论: 若推出合理结果,经验证成立则肯定假设;若推出矛盾则否定假设. 第四步 再回顾: 查看关键点,易错点(特殊情况、隐含条件等),审视解题规范性. (2014·福建)已知双曲线E: -=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1: y=2x,l2: y=-2x. (1)求双曲线E的离心率. (2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究: 是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E? 若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2, 所以=2,故c=a, 从而双曲线E的离心率e==. (2)方法一 由 (1)知,双曲线E的方程为-=1. 设直线l与x轴相交于点C. 当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点, 则|OC|=a,|AB|=4a. 又因为△OAB的面积为8, 所以|OC|·|AB|=8, 因此a·4a=8,解得a=2, 此时双曲线E的方程为-=1. 若存在满足条件的双曲线E, 则E的方程只能为-=1. 以下证明: 当直线l不与x轴垂直时, 双曲线E: -=1也满足条件. 设直线l的方程为y=kx+m,依题意, 得k>2或k<-2,则C(-,0). 记A(x1,y1),B(x2,y2). 由得y1=,同理,得y2=. 由S△OAB=|OC|·|y1-y2|,得 |-|·|-|=8, 即m2=4|4-k2|=4(k2-4). 由 得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0. 因为4-k2<0, 所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16) =-16(4k2-m2-16). 又因为m2=4(k2-4), 所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点. 因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1. 方法二 由 (1)知,双曲线E的方程为-=1. 设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2). 依题意得- 由得y1=, 同理,得y2=. 设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0). 由S△OAB=|OC|·|y1-y2|=8,得 |t|·=8. 所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2). 由 得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0. 因为4m2-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0, 即4m2a2+t2-a2=0, 即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0, 即(1-4m2)(a2-4)=0, 所以a2=4, 因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E, 且E的方程为-=1. 方法三 当直线l不与x轴垂直时, 设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 依题意,得k>2或k<-2. 由 得(4-k2)x2-2kmx-m2=0. 因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=. 又因为△OAB的面积为8, 所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8, 又易知sin∠AOB=, 所以·=8, 化简,得x1x2=4. 所以=4,得m2=4(k2-4). 由 (1)得双曲线E的方程为-=1, 由 得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0. 因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0, 即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4, 所以双曲线E的方程为-=1. 当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l: x=2, 又易知l: x=2与双曲线E: -=1有且只有一个公共点. 综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1. 模板7 离散型随机变量的均值与方差 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答,然后由乙回答剩余3题,每人答对其中2题就停止答题,即闯关成功.已知在6道备选题中,甲能答对其中的4道题,乙答对每道题的概率都是. (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (2)设甲答对题目的个数为ξ,求ξ的分布列及均值. 审题路线图 (1)→→ (2)→→→ 规范解答示例 构建答题模板 解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A、B,则P()===, P()=(1-)3+C·(1-)2=+=, 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1-P(·)=1-P()·P()=1-×=. (2)由题意知ξ的可能取值是1,2. P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,则ξ的分布列为 ξ 1 2 P ∴E(ξ)=1×+2×=. 第一步 定元: 根据已知条件确定离散型随机变量的取值. 第二步 定性: 明确每个随机变量取值所对应的事件. 第三步 定型: 确定事件的概率模型和计算公式. 第四步 计算: 计算随机变量取每一个值的概率. 第五步 列表: 列出分布列. 第六步 求解: 根据均值、方差公式求解其值. (2014·江西)随机将1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数,A组最小数为a1,最大数为a2,B组最小数为b1,最大数为b2,记ξ=a2-a1,η=b2-b1. (1)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望; (2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C); (3)对 (2)中的事件C,表示C的对立事件,判断P(C)和P()的大小关系,并说明理由. 解 (1)当n=3时,ξ的所有可能取值为2,3,4,5. 将6个正整数平均分成A,B两组,不同的分组方法共有C=20(种),所以ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 P E(ξ)=2×+3×+4×+5×=. (2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n-1,n,n+1,…,2n-2. 又ξ和η恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种; ξ和η恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种; ξ和η恰好相等且等于n+k(k=1,2,…,n-2)(n≥3)时,不同的分组方法有2C种; 所以当n=2时,P(C)==; 当n≥3时,P(C)=. (3)由 (2),当n=2时,P()=,因此P(C)>P(). 而当n≥3时,P(C) P(C) 用数学归纳法来证明: 1°当n=3时,①式左边=4(2+C)=4(2+2)=16, ①式右边=C=20,所以①式成立. 2°假设n=m(m≥3)时①式成立, 即4(2+) 那么,当n=m+1时,左边=4(2+)=4(2+)+4C 即当n=m+1时①式也成立.综合1°,2°得: 对于n≥3的所有正整数,都有P(C) 模板8 函数的单调性、极值、最值问题 已知函数f(x)=(x∈R).其中a∈R. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线方程; (2)当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值. 审题路线图 规范解答示例 构建答题模板 解 (1)当a=1时,f(x)=,f (2)=, 又f′(x)==,f′ (2)=-. 所以,曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线方程为 y-=-(x-2),即6x+25y-32=0. (2)f′(x)=
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