全国高中数学联赛全真模拟卷一试.doc
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全国高中数学联赛全真模拟卷一试.doc
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2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)第一试
(考试时间:
80分钟满分:
120分)
姓名:
_____________考试号:
______________得分:
____________
一、填空题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)
1.不等式的解集为 .
2.过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________.
①三角形②正方形③梯形④五边形⑤六边形
3.直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是_________.
4.复数,使,则的所有可能值为_________.
5.所有的满足条件的正整数对的个数为.
6.设为方程的根(),则__.
7.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.
甲从袋中摸出一个球,其号码为,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为.则使不等式
成立的事件发生的概率等于.
8.已知A,B,C为△ABC三内角,向量,.如果当C最大时,存在动点M,使得成等差数列,则最大值是_____.
二、解答题(本大题共3小题,第9题16分,第10、11题20分,共56分)
9.对正整数,记,求数列{an}中的最大值.
10.给定正实数k,圆心为()的圆至少与抛物线有三个公共点,一个是原点(0,0),另两个点在直线上,求的值(用表示).
11.已知函数其中为实数,求所有的数对(a,n)(n∈N*),
使得函数在区间内恰好有2011个零点.
2012年全国高中数学联赛模拟卷(8)答案
1.由得,原不等式可变为解得
故原不等式的解集为
2.答案:
②⑤,解:
由对称性可知,所得图形应为中心对称图形,且②⑤可以截得
3.提示:
曲线为两个半圆,直线过定点(0,−2),数形结合可得.
4.答案:
0,1,解:
=,∴
当时,满足条件,当时,
设
∴,由
(2)
1)代入
(1)整理得:
2),则代入
(1)得:
,经检验复数均满足条件.
∴的所有可能值为0,1,.
5.解:
显然.由条件得,从而有
即,再结合条件及以上结果,可得,整理得
,从而
即,所以.当时,,不符合;当时,(不符合).
综上,满足本题的正整数对只有,故只有1解.
6.答案:
,由题意,由此可得
,,以及
7.提示:
甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果,故基本事件总数为92=81个,由不等式a−2b+10>0得2b 于是,所求事件的概率为 8.解: 等号成立仅当.令|AB|=2c,因, 所以M是椭圆上的动点.故点C(0,),设M(x,y),则 |MC|2=x2+()2=. 当y=时,|MC|2max=,|MC|max=.即max=. 9.解: 经计算知,,,下面用数学归纳法证明: 当时,有 假设,则 所以数列{an}中的最大值是 10.解: 设⊙O: 即 抛物线与直线的两个交点坐标为, 则,即①,这两点亦在圆上,即 Þ 同理,即② 比较①,②知: 11.解: 首先,函数以为周期,且以为对称轴,即 ,其次, ,∵关于对称, ∴在及上的零点个数为偶数, 要使在区间恰有2011个零点,则上述区间端点必有零点 (1)若,则,考虑区间及上的零点个数. 当时,, 令则, 解得(舍),,故在内有两解. 当时,, 令,则, 解得(舍),(舍),故在内无解.因此,在区间内有三个零点. 同理可得满足条件. 2012模拟卷 (1)第4页共4页
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