浙江省高中数学竞赛试题及解答.doc
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浙江省高中数学竞赛试题及解答.doc
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2013年浙江省高中数学竞赛试题解答
一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分)
1.集合},且,则实数取值范围为( )
A.B..
C.或D.
答案C要使,则或。
解得或。
2.若则是的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案D若。
当,但。
3.已知等比数列{}:
且第一项至第八项的几何平均数为9,则第三项是( )
A.B. C. D.
答案B计算得。
4.已知复数为虚数单位),且,则()
A.B.
C.或D.或
答案D
5.已知直线与抛物线交于两点,为的中点,为抛物线上一个动点,若满足,则下列一定成立的是()。
A.B.其中是抛物线过的切线
C.D.
答案B
。
6.某程序框图如下,当E0.96时,则输出的K=()
A.20B.22 C. D.25
开始
K=1,S=0
S=S+1/(K(K+1))
S>=E?
输出K
K=K+1
是
否
答案C
7.若三位数被7整除,且成公差非零的等差数列,则这样的整数共有()个。
A.4B.6 C.7 D8
答案D设三位数为由
。
所以,所有的三位数为
8.已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为()。
A.B. C. D.
1
2
正视图:
上下两个正方形
1
2
侧视图
1
俯视图:
边长为2的正三角形
答案D从图中可知,立体是由两个三棱柱组成。
9.设函数,则函数的极大值点为()
A.B. C. D.
答案B由图象可知为函数极大值点,是极小值点,不是极值点。
10.已知为一次函数,若对实数满足
,则的表达式为()。
A.B.
C.D.
答案C。
二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空7分,共49分)
11.若,
则_________________。
解答:
由,所以
。
12.已知,若当时恒大于零,则的取值范围为_____________。
解答由等号在取得,即
。
13.数列,则数列中最大项的值为______________。
解答为极大值点,所以数列最大项为第三项,其值为。
14.若,满足,则,。
解答把等式看成关于的一元二次方程
。
15.设直线与曲线有三个不同的交点,且,则直线的方程为_________________。
解答曲线关于(0,1)点对称,设直线方程为,则。
所求直线方程为。
16.若则________________________。
解答,所以
。
17.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含第一象限轴上的整点),其运动规律为或。
若该动点从原点出发,经过6步运动到(6,2)点,则有__________9_________种不同的运动轨迹。
解答.
三、解答题(本大题共有3小题,每题17分,共51分)
18.已知抛物线,过轴上一点的直线与抛物线交于点
两点。
证明,存在唯一一点,使得为常数,并确定点的坐标。
解答设(),过点直线方程为,交抛物线于联立方程组
…5分
……………………………………7分
,……………………………………………………12分
令。
…………………………………………17分
19.设二次函数在[3,4]上至少有一个零点,求的最小值。
解法1由已知得,设为二次函数在[3,4]上的零点,则有,变形
,……5分
于是,……………………………12分
因为是减函数,上述式子在时取等号,故的最小值为。
………………………………………………………………17分
解法2把等式看成关于的直线方程,利用直线上一点()到原点的距离大于原点到直线的距离,即(以下同上)。
20.设满足数列是公差为,首项的等差数列;数列是公比为首项的等比数列,求证:
。
解:
首先,,-----------------2分
。
-----------------4分
…………………………………………6分
用归纳法证明。
由于,即i=1成立。
……………………8分
假设成立,
则
。
…………………14分
所以,。
归纳证明,首先,假设成立,
则。
…………………………………………17分
故命题成立。
四、附加题:
(本大题共有2小题,每题25分,共50分。
)
21.设证明
。
解答原命题等价于,………………………………10分
又…………………………………………………20分
故只需要证明成立。
…………………………………………………25分
利用已知条件,这是显然的。
22.从0,1,2,…,10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”,若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法”。
(图2)
A2
A1
试问:
对图1和图2是否存在完美填法?
若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明理由。
10
7
9
6
5
1
(图1)
A3
A4
A5
A7
A8
A6
解答对图1,上述填法即为完美(答案不唯一)。
………………………………10分
对于图2不存在完美填法。
因为图中一共有10条连线,因此各连线上两数之差的绝对值恰好为,1,2,3,……,10,……………………………………………………………15分
其和为奇数。
………………20分
另一方面,图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。
即每一个圆圈内德数在上述S的表达式中出现偶数次。
因此S应为偶数,矛盾。
………………………………………25分
所以,不存在完美填法。
7
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