大学高等数学公式汇总大全珍藏版.docx
- 文档编号:6663067
- 上传时间:2023-05-10
- 格式:DOCX
- 页数:41
- 大小:114.83KB
大学高等数学公式汇总大全珍藏版.docx
《大学高等数学公式汇总大全珍藏版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《大学高等数学公式汇总大全珍藏版.docx(41页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
大学高等数学公式汇总大全珍藏版
大学高等数学公式汇总大全(珍藏版)
高等数学(上册)
常用导数公式:
(tgx)′=sec2x(ctgx)′=−csc2x(secx)′=secx⋅tgx
(arcsinx)′=1(arccosx)′=−1
(cscx)′=−cscx⋅ctgx
(ax)′=axlna
(arctgx)′
=1
1+x2
(loga
x)′=
1
xlna
(arcctgx)′=−
1
1+x2
常用基本积分表:
∫tgxdx=−lncosx+C
∫ctgxdx=lnsinx+C
dx=
cos2x
dx
∫sec2xdx=tgx+C
∫secxdx=lnsecx+tgx+C
∫sin2
=csc2xdx=−ctgx+C
x
∫cscxdx=lncscx−ctgx+C
dx=1arctgx+C
∫secx⋅tgxdx=secx+C
∫cscx⋅ctgxdx=−cscx+C
∫a2+x2a
dx=1
a
lnx−a+C
∫axdx=
ax
C
lna
∫x2−a2
dxa2−x2
2ax+a
=1lna+x+C
2aa−x
∫shxdx=chx+C
∫chxdx=shx+C
∫dx=arcsinx+C
∫dx=ln(x+
x2±a2)+C
a2−x2a
x2±a2
π
2
n
In=∫sin
0
π
2
xdx=∫cosn
0
xdx=
n−1n
In−2
22x2
2a2
∫x
∫x2
2
+adx=
2
−a2dx=
2
x+a
+
2
−a2
2
a2
ln(x+
lnx+
x
)+C
+C
∫a−xdx=
+arcsin+C
2a
三角函数的有理式积分:
sinx=
2u1+u2
,cosx=
1−u2
,
1+u2
u=tgx
2
dx=
2du1+u2
一些初等函数:
两个重要极限:
ex−e−x
双曲正弦:
shx=
limsinx=1
2x→0x
双曲余弦:
chx=
ex+e−x
lim(1+1)x=e=2.718281828459045...
双曲正切:
thx=
2
shx=chx
ex−e−x
ex+e−x
x→∞x
arshx=ln(x+
archx=±ln(x+
x2+1)
x2−1)
arthx=1ln1+x
21−x
三角函数公式:
·诱导公式:
函数角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα
·和差角公式:
·和差化积公式:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβsinα+sinβ=2sinα+βcosα−β
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ22
tgα±tgβ
sinα−sinβ=2cosα+βsinα−β
tg(α±β)=
1∓tgα⋅tgβ
ctgα⋅ctgβ∓1
cosα+cosβ=2cos
2
α+β
2
cos
2
α−β
2
ctg(α±β)=
ctgβ±ctgα
cosα−cosβ=2sinα+βsinα−β
22
·倍角公式:
sin2α=2sinαcosα
cos2α=2cos2α−1=1−2sin2α=cos2α−sin2α
ctg2α−1
sin3α=3sinα−4sin3αcos3α=4cos3α−3cosα
ctg2α=
tg2α=
2ctgα2tgα
tg3α=
3tgα−tg3α1−3tg2α
1−tg2α
·半角公式:
sinα=±
2
α
1−cosα
2
1−cosα
1−cosα
sinα
cosα=±
2
α
1+cosα
2
1+cosα
1+cosα
sinα
tg=±
2
1+cosα=
sinα
=1+cosα
ctg=±
2
1−cosα=
sinα
=1−cosα
·
正弦定理:
a=
sinA
b=
sinB
c
sinC
=2R
·
余弦定理:
c2=a2+b2−2abcosC
·反三角函数性质:
arcsinx=π
2
−arccosx
arctgx=π
2
−arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
(uv)=∑Cuv
n
(n)k(n−k)(k)
n
k=0
=u(n)v+nu(n−1)v′+n(n−1)u(n−2)v′′+⋯+n(n−1)⋯(n−k+1)u(n−k)v(k)+⋯+uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
f(b)−f(a)f′(ξ)
柯西中值定理:
F(b)
−
F(a)
=F′(ξ)
当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率:
弧微分公式:
ds=1+y′2dx,其中y′=tgα
平均曲率:
K=
∆α.∆α:
从M点到M′点,切线斜率的倾角变化量;∆s:
MM′弧长。
∆s
M点的曲率:
K=lim∆α=dα=.
∆s→0∆sds
直线:
K=0;
半径为a的圆:
K=1.
a
定积分的近似计算:
b
矩形法:
∫f(x)≈
a
b−an
(y0+y1+⋯+yn−1)
b
梯形法:
∫f(x)≈
b−a1
[
(y0+yn)+y1+⋯+yn−1]
an2
b
抛物线法:
∫f(x)≈
a
b−a
3n[(y0+yn)+2(y2+y4+⋯+yn−2)+4(y1+y3+⋯+yn−1)]
定积分应用相关公式:
功:
W=F⋅s
水压力:
F=p⋅A
引力:
F=m1m2,k为引力系数
r
1b
函数的平均值:
y=b−a∫f(x)dx
a
均方根:
1
b
∫f2(t)dt
b−aa
高等数学(下册)
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
d=MM=
12
向量在轴上的投影:
PrjuAB=AB⋅cosϕ,ϕ是AB与u轴的夹角。
����
Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2
����
a⋅b=a⋅bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角:
cosθ=
axbx+ayby+azbz
���ijk��
���
c=a×b=axayaz,c=a
bxbybz
速度:
v=w×r.
��������
向量的混合积:
[abc]=(a×b)⋅=a×b⋅ccosα,α为锐角时,代表平行六面体的体积。
平面的方程:
1、点法式:
A(x−x)+B(y−y)+C(z−z)=0,其中�={A,B,C},M(x,y,z)
000n
0000
2、一般方程:
Ax+By+Cz+D=0
3xyz
、截距世方程:
+
a
+=1
bc
平面外任意一点到该平面的距离:
d=
⎧x=x0+mt
x−x0
y−y0z−z0�⎪
空间直线的方程:
=
m
==t,其中s={m,n,p};参数方程:
⎨y=y0+nt
np⎪z=z+pt
二次曲面:
2
1、椭球面:
+
a2
x2
⎩0
yz2
b2c21
y2
2、抛物面:
+
2p
3、双曲面:
=z(,
2q
p,q同号)
22
单叶双曲面:
+
a2b2
22
双叶双曲面:
−
a2b2
−
z2c2
+z2c2
=1
=(1马鞍面)
多元函数微分法及应用
全微分:
dz=∂zdx+∂zdy
du=∂u+∂u
+∂u
∂x∂y
∂xdx
∂ydy
∂zdz
全微分的近似计算:
∆z≈dz=fx(x,y)∆x+fy(x,y)∆y
多元复合函数的求导法:
z=f[u(t),v(t)]
dz=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
dt∂u∂t∂v∂t
z=f[u(x,y),v(x,y)]
∂z=
∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
∂x
当u=u(x,y),v=v(x,y)时,
∂u∂x
∂v∂x
du=∂u∂u
∂v∂v
∂xdx+∂ydy
dv=∂dx+∂dy
隐函数的求导公式:
隐函数F(x,y)=0,
x
dy=−Fx,
dxFy
y
d2y=
dx2
∂(−Fx)+
∂xFy
∂(−Fx)⋅dy
∂yFydx
隐函数F(x,y,z)=0,∂z=−Fx,
∂z=−Fy
∂xFz∂yFz
⎧F(x,y,u,v)=0
∂F
∂(F,G)∂u
FuFv
隐函数方程组:
⎩G(x,y,u,v)=0
J=∂(u,v)=∂G
∂u
=
GuGv
∂u=−1⋅∂(F,G)∂v=−1⋅∂(F,G)
∂xJ
∂(x,v)
∂xJ
∂(u,x)
∂u=−1⋅∂(F,G)∂v=−1⋅∂(F,G)
∂yJ
∂(y,v)
∂yJ
∂(u,y)
微分法在几何上的应用:
⎧x=ϕ(t)
⎪
x−x0
y−y0
z−z0
空间曲线⎨y=ψ(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程:
′
=ψ′
=ω′(t)
⎩
⎪z=ω(t)
ϕ(t0)
(t0)0
在点M处的法平面方程:
ϕ′(t0)(x−x0)+ψ′(t0)(y−y0)+ω′(t0)(z−z0)=0
⎧⎪F(x,y,z)=0
�Fy
FzFz
FxFxFy
若空间曲线方程为:
⎪⎩G(x,y,z)=0
则切向量T={
y
GzGz
}
Gxxy
曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0),则:
1、过此点的法向量:
�={F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z)}
nx000y000z000
2、过此点的切平面方程:
Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0
3、过此点的法线方程:
x−x0
=y−y0
=z−z0
方向导数与梯度:
Fx(x0,y0,z0)
Fy(x0,y0,z0)
Fz(x0,y0,z0)
函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l
∂f=∂fcosϕ+∂fsinϕ
其中ϕ为x轴到方向l的转角。
的方向导数为:
∂l∂x∂y
函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)=∂f�+∂f�
∂ij
∂f�
x∂y
���
它与方向导数的关系是:
=gradf(x,y)⋅e,其中e=cosϕ⋅i+sinϕ⋅j,为l方向上的
∂l
单位向量。
∴∂f是gradf(x,y)在l上的投影。
∂l
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,令:
fxx(x0,y0)=A,
fxy(x0,y0)=B,
fyy(x0,y0)=C
⎧
AC−B2>0
⎧A<0,(x0,y0)为极大值
⎪时,⎨A>0,(x,y)为极小值
则:
⎨AC−B2<0时,无极值
⎪
⎪AC−B2=0时,
⎪⎩
不确定
重积分及其应用:
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
DD′
⎛∂z⎞2⎛∂z⎞2
曲面z=f(x,y)的面积A=∫∫1+⎜∂⎟+⎜
⎟dxdy
D⎝x⎠
⎝∂y⎠
M∫∫xρ(x,y)dσM
∫∫yρ(x,y)dσ
平面薄片的重心:
x=
x=D,
y=y=D
M∫∫ρ(x,y)dσ
D
M∫∫ρ(x,y)dσ
D
平面薄片的转动惯量:
对于x轴Ix
=∫∫
D
y2ρ(x,y)dσ,
对于y轴Iy
=∫∫
D
x2ρ(x,y)dσ
平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力:
F={Fx,Fy,Fz},其中:
F=f
ρ(x,y)xdσ,
F=f
ρ(x,y)ydσ,
F=−fa
ρ(x,y)xdσ
x∫∫
3y∫∫
3z∫∫3
D(x2+y2+a2)2
柱面坐标和球面坐标:
⎧x=rcosθ
D(x2+y2+a2)2
D(x2+y2+a2)2
柱面坐标:
⎪y=rsinθ,∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,θ,z)rdrdθdz,
⎪z=zΩΩ
其中:
F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)
⎧x=rsinϕcosθ
⎪2
球面坐标:
⎨y=rsinϕsinθ,dv=rdϕ⋅rsinϕ⋅dθ⋅dr=r
sinϕdrdϕdθ
⎩
⎪z=rcosϕ
2ππ
r(ϕ,θ)
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,ϕ,θ)r2sinϕdrdϕdθ=∫dθ∫dϕ∫F(r,ϕ,θ)r2sinϕdr
ΩΩ000
重心:
x=1
∫∫∫xρdv,
y=1
∫∫∫yρdv,
z=1
∫∫∫zρdv,其中M=x=∫∫∫ρdv
MΩ
x∫∫∫
MΩMΩ
y∫∫∫
Ω
z∫∫∫
转动惯量:
I=
曲线积分:
(y2+z2)ρdv,
Ω
I=(x2+z2)ρdv,
Ω
I=(x2+y2)ρdv
Ω
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
⎧x=ϕ(t)
设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:
⎨,
(α≤t≤β),则:
⎩y=ψ(t)
β
⎧x=t
∫f(x,y)ds=∫f[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt(α<β)特殊情况:
⎨
Lα⎩y=ϕ(t)
第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):
⎧x=ϕ(t)
设L的参数方程为⎨y=ψ,则:
⎩(t)
β
∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt
Lα
两类曲线积分之间的关系:
∫Pdx+Qdy=∫(Pcosα+Qcosβ)ds,其中α和β分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式:
∫∫(∂Q−∂P∫
∫∫∂Q∂P∫
∂x∂y)dxdy=Pdx+Qdy格林公式:
(∂x−∂y)dxdy=
Pdx+Qdy
DLDL
当P=−y,Q=x∂Q−∂P=2时,得到D的面积:
A=∫∫dxdy=1∫xdy−ydx
,即:
∂x∂y
D2L
·平面上曲线积分与路径无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且∂Q∂P
(0,0),应
减去对此奇点的积分,注意方向相反!
·二元函数的全微分求积:
=。
注意奇点,如
∂x∂y
在∂Q∂P
∂x=∂y时,Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中:
(x,y)
u(x,y)=
∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设x0=y0=0。
(x0,y0)
曲面积分:
∫∫∫∫xy
对面积的曲面积分:
f(x,y,z)ds=
∑
Dxy
f[x,y,z(x,y)]
1+z2(x,y)+z2(x,y)dxdy
对坐标的曲面积分:
∫∫P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中:
∑
∫∫R(x,y,z)dxdy=±∫∫R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
∑Dxy
∫∫P(x,y,z)dydz=±∫∫P[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号;
∑Dyz
∫∫Q(x,y,z)dzdx=±∫∫Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。
∑Dzx
两类曲面积分之间的关系:
∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
∑∑
高斯公式:
∫∫∫(∂P+∂Q+∂R
=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
∂x∂y
∂z)dv
Ω∑∑
高斯公式的物理意义——通量与散度:
散度:
divν�=∂P+∂Q+∂R,即:
单位体积内所产生的流体质量,若divν�<0,则为消失...
∂x∂y∂z
Ands
通量:
∫∫�⋅�
∑
=∫∫Ands=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds,
∑∑
因此,高斯公式又可写
�
成:
∫∫∫divAdv=∫∫Ands
Ω∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
∫∫(∂R−∂Q∂P∂R∂Q∂P∫
∂y∂z)dydz+(∂z−∂x)dzdx+(∂x−∂y)dxdy=
Pdx+Qdy+Rdz
∑Γ
上式左端又可写成:
∫∫
∑
dydz
∂
∂xP
dzdx
∂
∂yQ
dxdy
∂
∂zR
=∫∫
∑
cosα
∂
∂xP
cosβ
∂
∂yQ
cosγ
∂
∂zR
∂R
空间曲线积分与路径无关的条件:
=
∂y
∂Q∂P
,=
∂z∂z
∂R∂Q∂P
,=
∂x∂x∂y
ij
�∂∂
旋度:
rotA=∂x∂y
PQ
���
向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量:
∫Pdx+Qdy+Rdz=∫A⋅tds
ΓΓ
常数项级数:
2
n−1
1−qn
等比数列:
1+q+q
+⋯+q
=1−q
等差数列:
1+2+3+⋯+n=(n+1)n
2
调和级数:
1+1+1+⋯+1是发散的
23n
级数审敛法:
1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):
⎧ρ<1时,级数收敛设:
ρ=limnun,则⎨ρ>1时,级数发散
n→∞
2、比值审敛法:
⎪ρ=1时,不确定
设:
ρ=limUn+1
⎧ρ<1时,级数收敛
⎪
,则⎨ρ>1时,级数发散
⎩
n→∞Un
3、定义法:
⎪ρ=1时,不确定
→∞
sn=u1+u2+⋯+un;limsn存在,则收敛;否则发散。
n
交错级数u1−u2+u3−u4+⋯(或−u1+u2−u3+⋯,un>0)的审敛法——莱布尼兹定理:
⎧⎪un≥un+1
如果交错级数满足⎨limu=,那么级数收敛且其和s≤u1,其余项rn的绝对值rn≤un+1。
⎪⎩n→∞n0
绝对收敛与条件收敛:
(1)u1+u2+⋯+un+⋯,其中un为任意实数;
(2)u1+u2+u3+⋯+un+⋯
如果
(2)收敛,则
(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;如果
(2)发散,而
(1)收敛,则称
(1)为条件收敛级数。
调和级数:
∑
1发散,而∑
(−1)n
收敛;
nn
级数:
1收敛;
n2
p级数:
1
np
p≤1时发散
p>1时收敛
幂级数:
1+x+x2+x3+⋯+xn+⋯
x<1时,收敛于
x≥1时,发散
1
1−x
对于级数(3)a+ax+ax2+⋯+axn+⋯,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全
012
n
x 数轴上都收敛,则必存在R,使 x
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 大学 高等数学 公式 汇总 大全 珍藏