1、大学高等数学公式汇总大全珍藏版大学高等数学公式汇总大全（珍藏版）高等数学（上册）常用导数公式：(tgx) = sec2 x (ctgx) = csc2 x (sec x) = sec xtgx(arcsin x) = 1 (arccos x) = 1(csc x) = csc xctgx(ax) = ax lna(arctgx)= 1 1+ x2(logax) =1xlna(arcctgx) = 11+ x2常用基本积分表：tgxdx= ln cos x + Cctgxdx= ln sin x + Cdx =cos2 xdxsec2 xdx= tgx+ Csecxdx= ln sec x+ t
2、gx + C sin 2= csc2 xdx= ctgx+ Cx cscxdx= ln csc x ctgx + C dx = 1 arctgx+Csec xtgxdx= sec x+ Ccsc xctgxdx= csc x+ C a2 + x2 adx = 1aln x a + Caxdx=axClna x2 a2dx a2 x22a x+ a= 1 ln a+ x+ C2a a xshxdx= chx+ Cchxdx= shx+ C dx = arcsin x+ C dx = ln(x+x2 a2 ) + Ca2 x2 ax2 a22nIn = sin02xdx= cosn0xdx=n1
3、nIn22 2 x 22 a2 x x22+ a dx=2a2 dx=2x + a+2a22a2ln(x+ln x+x) + C+ C a x dx=+ arcsin + C2 a三角函数的有理式积分：sin x=2u 1+ u2， cos x=1 u2，1+ u2u= tgx2dx=2du 1+ u2一些初等函数： 两个重要极限：ex ex双曲正弦: shx=lim sin x = 12 x0 x双曲余弦:chx=ex + exlim(1+ 1 )x = e= 2.718281828459045.双曲正切:thx=2shx = chxex exex + exx xarshx= ln(x+ar
4、chx= ln(x+x2 +1）x2 1)arthx= 1 ln 1+ x 2 1 x三角函数公式：诱导公式：函数角 Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg和差角公式： 和差化积公式：sin( ) = sincos cossin sin+ sin = 2 sin+ cos cos( ) = coscos sinsin 2
5、 2 tg tgsin sin = 2 cos+ sin tg( ) =1 tgtgctgctg1cos+ cos = 2 cos2+ 2cos2 2ctg( ) =ctg ctgcos cos = 2sin+ sin 2 2倍角公式：sin 2 = 2 sincoscos 2 = 2 cos2 1 = 1 2 sin2 = cos2 sin2 ctg21sin 3 = 3sin 4sin3 cos3 = 4 cos3 3cosctg2 =tg2=2ctg 2tgtg3=3tgtg3 1 3tg21 tg2半角公式：sin = 21 cos21 cos1 cossincos = 21+ cos
6、21+ cos1+ cossintg = 21+ cos =sin= 1+ cosctg = 21 cos =sin= 1 cos正弦定理：a =sin Ab =sin BcsinC= 2R余弦定理： c2 = a2 + b2 2abcosC反三角函数性质： arcsin x= 2arccos xarctgx= 2 arcctgx高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：(uv) = C u vn(n) k (nk) (k)nk=0= u(n)v+ nu(n1)v + n(n1) u(n2)v + + n(n1)(n k+1) u(nk)v(k) + + uv(n)2! k!中值定理与导数应
7、用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) = f()(b a)f(b) f(a) f()柯西中值定理：F(b)F(a)= F()当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds= 1+ y2 dx,其中y = tg平均曲率：K =.: 从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sM点的曲率：K = lim = d = .s0 s ds直线：K = 0;半径为a的圆：K = 1 .a定积分的近似计算：b矩形法： f(x) ab a n(y0 + y1 + + yn1 )b梯形法： f(x) b a 1(y0 + yn) + y1 + + yn1 a n 2b
8、抛物线法： f(x) ab a3n (y0 + yn) + 2(y2 + y4 + + yn2 ) + 4(y1 + y3 + + yn1 )定积分应用相关公式：功：W = F s水压力：F = p A引力：F = m1m2 ,k为引力系数r1 b函数的平均值：y= b a f(x)dxa均方根： 1b f 2 (t)dtb aa高等数学（下册）空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：d = M M =1 2向量在轴上的投影：Pr ju AB= ABcos,是AB与u轴的夹角。 Pr ju (a1 + a2 ) = Pr ja1 + Pr ja2 ab = a b cos = axbx + a
9、yby + azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos =axbx + ayby + azbz i j k c = ab = ax ay az , c = abx by bz速度：v = w r. 向量的混合积：abc = (ab) = ab c cos,为锐角时， 代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) = 0，其中 = A,B,C,M (x , y , z )0 0 0 n0 0 0 02、一般方程：Ax+ By+ Cz+ D= 03 x y z、截距世方程： +a+ = 1b c平面外任意一点到该平面的距离：d =x= x
10、0 + mtx x0y y0 z z0 空间直线的方程： =m= = t,其中s = m,n, p;参数方程： y= y0 + ntn p z= z + pt二次曲面：21、椭球面： +a2x2 0y z2b2 c2 1y22、抛物面： +2 p3、双曲面：= z（,2qp,q同号）2 2单叶双曲面： +a2 b22 2双叶双曲面： a2 b2z2 c2+ z2 c2= 1=（1 马鞍面）多元函数微分法及应用全微分：dz= zdx+ zdy du= u + u + ux yxdxydyzdz全微分的近似计算：z dz= fx(x, y)x+ fy(x, y)y多元复合函数的求导法：z= fu(
11、t),v(t)dz = z u + z v dt u t v tz= fu(x, y),v(x, y)z =z u + z v x当u= u(x, y)，v= v(x, y)时，u xv xdu= u u v vxdx+ ydydv= dx+ dy隐函数的求导公式： 隐函数F(x, y) = 0，xdy = Fx ，dx Fyyd2 y =dx2 ( Fx )x Fy ( Fx ) dyy Fy dx隐函数F(x, y, z) = 0， z = Fx ， z = Fy x Fz y FzF(x, y,u,v) = 0F(F,G) uFu Fv隐函数方程组：G(x, y,u,v) = 0J =
12、(u,v) = Gu=Gu Gvu = 1 (F,G) v = 1 (F,G)x J(x,v)x J(u, x)u = 1 (F,G) v = 1 (F,G) y J(y,v)y J(u, y)微分法在几何上的应用： x= (t)x x0y y0z z0空间曲线y=(t)在点M(x0 , y0 , z0 )处的切线方程： = = (t )z= (t)(t0 )(t0 ) 0在点M处的法平面方程：(t0 )(x x0 ) +(t0 )(y y0 ) +(t0 )(z z0 ) = 0F(x, y, z) = 0 FyFz FzFx Fx Fy若空间曲线方程为：G(x, y, z) = 0,则切向
13、量T =y,Gz Gz, Gx x y曲面F(x, y, z) = 0上一点M(x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量： = F (x , y , z ),F (x , y , z ),F (x , y , z )n x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 02、过此点的切平面方程：Fx(x0 , y0 , z0 )(x x0 ) + Fy(x0 , y0 , z0 )(y y0 ) + Fz(x0 , y0 , z0 )(z z0 ) = 03、过此点的法线方程：x x0= y y0= z z0方向导数与梯度：Fx(x0 , y0 , z0 )Fy(x0 , y0 , z0
14、 )Fz(x0 , y0 , z0 )函数z= f(x, y)在一点p(x, y)沿任一方向lf = f cos+ f sin其中为x轴到方向l的转角。的方向导数为： l x y函数z= f(x, y)在一点p(x, y)的梯度：gradf(x, y) = f + f i jf x y 它与方向导数的关系是： = grad f(x, y) e，其中e = cosi + sin j，为l方向上的l单位向量。 f 是gradf(x, y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设fx(x0 , y0 ) = fy(x0 , y0 ) = 0，令：fxx(x0 , y0 ) = A,fxy(x0 ,
15、 y0 ) = B,fyy(x0 , y0 ) = CAC B2 0A 0,(x , y )为极小值则： AC B2 0)的引力：F =Fx,Fy, Fz，其中：F = f(x, y)xd ，F = f(x, y)yd ，F = fa(x, y)xdx 3 y 3 z 3D (x2 + y2 + a2 ) 2柱面坐标和球面坐标：x= rcosD (x2 + y2 + a2 ) 2D (x2 + y2 + a2 ) 2柱面坐标： y= rsin, f(x, y, z)dxdydz= F(r, z)rdrddz, z= z 其中：F(r, z) = f(rcos,rsin, z)x= rsinco
16、s 2球面坐标： y= rsinsin， dv= rdrsinddr = rsindrdd z= rcos2 r(,) f(x, y, z)dxdydz= F(r,)r2 sindrdd = dd F(r,)r2 sindr 0 0 0重心：x = 1xdv,y= 1ydv,z = 1zdv， 其中M = x = dvM x M M y z 转动惯量：I =曲线积分：(y2 + z2 )dv，I = (x2 + z2 )dv，I = (x2 + y2 )dv第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）： x= (t)设f(x, y)在L上连续，L的参数方程为： ,( t ),则：y=(t) x= t f
17、(x, y)ds= f(t),(t) 2 (t) +2 (t)dt ( ) 特殊情况：L y= (t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： x= (t)设L的参数方程为y= ，则： (t)P(x, y)dx+ Q(x, y)dy= P(t),(t)(t) + Q(t),(t)(t)dtL 两类曲线积分之间的关系：Pdx+ Qdy= (Pcos+ Qcos)ds，其中和分别为L LL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：( Q P Q P x y)dxdy= Pdx+ Qdy格林公式： ( x y)dxdy=Pdx+ QdyD L D L当P= y,Q= x Q P = 2时，得到D的面积：A
18、= dxdy= 1 xdy ydx，即：x yD 2 L平面上曲线积分与路径无关的条件： 1、G是一个单连通区域；2、P(x, y)，Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数，且Q P (0,0)，应减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积： 。注意奇点，如x y在Q Px y时，Pdx+ Qdy才是二元函数u(x, y)的全微分，其中：( x,y)u(x, y) =P(x, y)dx+ Q(x, y)dy，通常设x0 = y0 = 0。(x0 ,y0 )曲面积分： x y对面积的曲面积分： f(x, y, z)ds=Dxyfx, y, z(x, y)1+ z2 (x, y) +
19、z2 (x, y)dxdy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz+ Q(x, y, z)dzdx+ R(x, y, z)dxdy，其中：R(x, y, z)dxdy= Rx, y, z(x, y)dxdy，取曲面的上侧时取正号； DxyP(x, y, z)dydz= Px(y, z), y, zdydz，取曲面的前侧时取正号； DyzQ(x, y, z)dzdx= Qx, y(z, x), zdzdx，取曲面的右侧时取正号。 Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy= (Pcos+ Qcos+ Rcos)ds 高斯公式：( P + Q + R= Pdydz
20、+ Qdzdx + Rdxdy = (Pcos+ Qcos + Rcos)ds x yz)dv 高斯公式的物理意义 通量与散度：散度： div = P + Q + R,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 div 0,则为消失. x y zA nds通量： = Ands = (Pcos+ Qcos + Rcos)ds， 因此，高斯公式又可写成：divAdv = Ands 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：( R Q P R Q P y z )dydz+ ( z x)dzdx+ ( x y)dxdy=Pdx+ Qdy+ Rdz 上式左端又可写成：dydzx Pdzdx y Qdxdyz R=
21、 cosx Pcos y Qcosz RR空间曲线积分与路径无关的条件： =yQ P， =z zR Q P， =x x yi j 旋度：rotA= x yP Q 向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx+ Qdy+ Rdz= Atds 常数项级数：2n11 qn等比数列：1+ q+ q+ + q= 1 q等差数列：1+ 2 + 3 + + n= (n+1)n2调和级数：1+ 1 + 1 + + 1 是发散的2 3 n级数审敛法：1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）： 1时，级数发散n2、比值审敛法： = 1时，不确定设：= limUn+1 1时，级数发散n Un3、定义法： = 1时，不
22、确定sn = u1 + u2 + + un;lim sn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1 u2 + u3 u4 + (或 u1 +u2 u3 + ,un 0)的审敛法 莱布尼兹定理： un un+1如果交错级数满足limu = ，那么级数收敛且其和s u1 ,其余项rn的绝对值rn un+1。n n 0绝对收敛与条件收敛：(1)u1 + u2 + + un + ，其中un为任意实数； (2) u1 + u2 + u3 + + un + 如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数； 如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：1 发散，而(1)n收敛；n n级数： 1 收敛；n2p级数： 1np时发散p 1时收敛幂级数：1+ x+ x2 + x3 + + xn + x 1时，收敛于x 1时，发散11 x对于级数(3)a + ax+ a x2 + + a xn + ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全0 1 2nx R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x
