高考理科数学全国卷3试题及答案Word格式.docx
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8π
x=对称
C.fxπ的一个零点为x
6
D.fx在(
π单)调递减
7.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()
A.5B.4C.3D.2
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
()
A.πB.
3π
4
9.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为
A.24B.3C.3D.8
10.已知椭圆C:
221
ab0的左、右顶点分别为
A,
A,且以线段
AA为直径的圆与直线
12
bxay2ab0相切,则C的离心率为()
11.已知函数
2x1x1
f(x)x2xa(ee)有唯一零点,则a()
D.1
uuuruuuruuur
12.在矩形ABCD中,AB1,AD2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD
,
则的最大值为()
A.3B.22C.5D.2
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
xy0,
13.若x,y满足约束条件xy20,
则z3x4y的最小值为.
y0,
14.设等比数列an满足a1a2–1,a1a33,则a4=.
15.设函数f(x)
x1,x0,
x
2,x0,
则满足
f(x)f(x)1的x的取值范围是.
16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边
AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;
②当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;
③直线AB与a所成角的最小值为45;
④直线AB与a所成角的最大值为60.
其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都
必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(12分)
△的内角A,B,C的对边分别为a,,bc,已知sinA3cosA0,a=27,b2.
ABC
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求△ABD的面积.
18.(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降
价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)
有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;
如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;
如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高
气温数据,得下面的频数分布表:
最高
气温
[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)
天数216362574
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:
瓶)的分布列;
_
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
19.(12分)
如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,ABDCBD,ABBD.
(1)证明:
平面ACD平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角
DAEC的余弦值.
––
20.(12分)
已知抛物线C:
yx,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,2),求直线l与圆M的方程.
21.(12分)
已知函数f(x)x1alnx.
(1)若f(x)0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,
111
1+1+K1+n<m,求m的最小值.
222
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修44:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线
l的参数方程为
x2+t,
ykt,
(t为参数),直线
x2m,
(m
y
m
k
为参数).设
l与
l的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设
l:
cossin2=0,M为
C的交点,求M的极径.
23.[选修45:
不等式选讲](10分)
已知函数f()xx1x2.
(1)求不等式f()x1的解集;
(2)若不等式
f()xxxm的解集非空,求m的取值范围.
–
理科数学答案解析
1.【答案】B
【解析】A表示圆
xy上的点的集合,B表示直线yx上的点的集合,直线yx与圆
有两个交点,所以AIB中元素的个数为2.
24.【答案】C
【解析】
2i1i
2i
zi1i
1i1i1i
,所以z2.
25.【答案】A
【解析】根据折线图可知,2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少,所以A错
误.
4.【答案】C
【解析】当第一个括号内取x时,第二个括号内要取含
23
xy的项,即
C52xy,当第一个括号内取
y时,第二个括号内要取含
32
C52xy,所以
33
xy的系数为
2332
C52C52108440.
5.【答案】B
【解析】根据双曲线C的渐近线方程为
yx,可知
b
a
①,又椭圆
的焦点坐标为(3,
0)和(3,0),所以
229
ab②,根据①②可知
24,25
ab,所以选B.
6.【答案】D
【解析】根据函数解析式可知函数fx的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为2π,A正确;
当
8ππ
x,x3π,所以
cosx1,所以B正确;
ππ
fxπcosxπcosx,
4π3π
x时,x,所以fxπ0,所以C正确;
函数
632
fxcosx在(
π)
上单调递减;
(
π,π)上单调递增,故D不正确.所以选D.
7.【答案】D
【解析】S0100100,M10,t2,100>91;
S1001090,M1,t3,90<91,输出S,此
时,t3不满足tN,所以输入的正整数N的最小值为2,故选D.
8.【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为r,则
2213
r=1=,所以,圆柱的体积
24
V=π1=π,故选B.
44
9.【答案】A
【解析】设等差数列
a的公差为d,因为a2,a3,a6成等比数列,所以
n
aaa,即
263
a1da15da12d,又a11,所以
220
dd,又d0,则d2,所以
a6a15d9,所以
19
a的前6项的和S6624,故选A.
10.【答案】A
以线段A1A2为直径的圆的方程为
xya,由原点到直线bxay2ab0的距离
2ab
da
ba
得
232
ab,所以C的离心率
e1
.
11.【答案】C
【解析】由
22x1x1
fxxxaee,得
22121211211
xxxxxx
f2x2x22xaeex4x42xaeex2xaee
,所以f2xfx,即x1为fx图像的对称轴.由题意fx有唯一零点,所以fx的零
点只能为x1,即
21111
f1121aee0,解得
a.故选C.
12.【答案】A
【解析】以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,
0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直线BD的方程为2xy20,点C到直线BD的距
离为
,圆C:
224
x1y2,因为P在圆C上,所以P(
25
1cos
2sin
uuur
)AB(1,0)
,AD(0,2)
,APABAD(,2)
,所以
{
2sin2
255,tan2,选A.
2cossin2sin3
55
13.【答案】1
【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线l:
3x4y0,平移直线l,当直线
zxy经过点A(1,1)时,z取得最小值,最小值为341.
34
14.【答案】8
【解析】设等比数列
a的公比为q,则
a1a2a1(1q)1,
a1a3a1(1q)3,两式相除,
1q1
1q3
,解得
q2,a1,所以
a4a1q8.
(-,+)
15.【答案】
【解析】当x>0,()=21
fx>恒成立,当
x>0,即
x>时,
f(x)=2>1,当
x0
0x
<
时,
f(x)=x>,则不等式
f(x)f(x)>1恒成立.当x0时,
113
fxfxxxx>,所以
()()121
<x0.综上所述,x的取值范围是(
,).
16.【答案】②③
【解析】由题意知,a,b,AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图.不妨设图中所示正方体的棱长为1,
则AC1,AB2,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为
圆心,l为半径的圆.
uuruuuur
以C为坐标原点,以CD的方向为x轴正方向,CB
方向为y轴正方向,CA
的方向为z轴正方向建立空间
直角坐标系.
则D(1,0,0),A(0,0,1),
直线a的单位方向向量a(0,1,0),a1.
B点起始坐标为(0,1,0),
直线b的单位方向向量b(1,0,0),b1.
设B点在运动过程中的坐标B'
(cos,sin,0),
uuuruuru
其中为CB'
与CD的夹角,[0,2).
uuuuruuuur
那么AB'
在运动过程中的向量AB'
(cos,sin,1),AB'
设直线AB'
与a所成的夹角为[0,2],
(cos,sin,1)(0,1,0)22
cosuuursin[0,],
aAB
故[,],
42
所以③正确,④错误.
与b所成的夹角为,则[0,2],
cos
uuuur
AB'
bAB'
(cos,sin,1)(1,0,0)
uuuurbAB'
=cos.
当AB'
与a成60角时,=
sin=2cos=2cos=2=.
322
因为
sin+cos=1,
所以
cos=.
21
cos=cos=.
因为[0,2],
所以=,此时AB'
与b成60角.
所以②正确,①错误.
三、解答题
26.【答案】解:
(1)由已知得tanA3,所以2π
A=.
在VABC
中,由余弦定理得
22π
284c4ccos,即
cc.2+224=0
2+224=0
解得c6,(舍去),c=4
(2)由题设可得
CAD=,所以
BADBACCAD.
故VABD面积与VACD
1π
ABAD
ggsin
26
面积的比值为
ACAD
g
又VABC
的面积为
42sinBAC23,所以ABD的面积为3.
(1))先求出角A,再根据余弦定理求出c即可;
(2)根据VABD,VACD,VABC
的面积之
间的关系求解即可.
27.【答案】解:
(1)由题意知,X所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知
PX
216
2000.2
90
36
PX3000.4,
2574
PX5000.4.
因此X的分布列为
X200300500
P0.20.40.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,则Y6n4n2n;
若最高气温位于区间20,,25,则Y63002(n300)4n12002n;
若最高气温低于20,则Y62002(n200)4n8002n;
因此EY2n0.4(12002n)0.48002n0.26400.4n.
当200≤n300时,
若最高气温不低于20,则Y6n4n2n;
因此EY2n0.40.48002n0.21601.2n.
所以n300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.
(1)根据表格提供的数据进行分类求解即可;
(2)根据分布列得到关于利润的函数表达式,进而求
解最值.
28.解:
(1)由题设可得,ABDCBD,从而ADDC.
又ACD是直角三角形,所以ACD=900.
取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DOAO.
又由于ABC是正三角形,故BOAC.
所以DOB为二面角DACB的平面角.
在RtAOB中,
BOAOAB.
又ABBD,所以
222222
BODOBOAOABBD,故
DOB=90.
所以平面ACD平面ABC.
(2)由题设及
(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,OA
的方向为x轴正方向,OA
为单
位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0),B(0,3,0),C(1,0,0),D(0,0,1).
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的
,从而E到平面ABC的距离为D到平面
ABC的距离的
,即E为DB的中点,得
31
E0,,,故
1,0,1,2,0,0,1,,ADACAE
设n=x,y,z是平面DAE的法向量,则
ngAD
ngAE
xz0,
即
xyz0.
可取
11
n=,,.
设m是平面AEC的法向量,则
mgAC
mgAE
0,
同理可得m0,1,3.
则
cosn,m
ngm
nm
7
所以二面角DAEC的余弦值为
(1)通过题目中的边角关系证明线线垂直,进而得二面角DACB的平面角为DOB,最后
利用勾股定理的逆定理得DOB90,从而得证;
(2)根据
(1)中得到的垂直关系,建立空间直
角坐标系计算即可.
29.【答案】
解:
(1)设
Ax1,y1,Bx2,y2,l:
xmy2.
由
xmy
y2x
可得
y2my40,则yy4.
又
yy
x1=,x2=,故
x1x2==4.
yy4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为12
g==1,所以OAOB.xx4
故坐标原点O在圆M上.
(2)由
(1)可得
y1+y2=2m,x1+x2=my1+y2+4=2m4.
故圆心M的坐标为
mm,圆M的半径2+2,
2+2,
rmm.
uuuruuur
由于圆M过点P(4,2),因此APgBP0,故x14x24y12y220,
x1x24x1+x2y1y22y1y2200
由
(1)可得y1y2=-4,x1x2=4,
2mm10,解得
m1或m.
当m1时,直线l的方程为xy20,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程
为
x3y110.
ml2xy40M
91
,-
,圆M的半径为
85
,圆M的
方程为
9185
++
xy.
4216
(1)设出l的方程,通过联立方程,证明直线OA与OB的斜率之积为1即可;
(2)根据
(1)的结论及P点的坐标即可求解直线与圆的方程.
30.【答案】解:
(1)fx的定义域为0,+.
①若a0,因为
=-+2<0
faln,所以不满足题意;
②若a>0,
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