精编高中数学知识网络图.docx
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精编高中数学知识网络图
(1)空集是任何非空集合的真子集;
(2)A⊆A;(3)则A⊆B则A=B或A⊂B;
≠
(4)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;(5)含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个真子集;
(6)∈,⊆的区别:
∈表示元素与集合关系,
⊆表示集合与集合关系;
(7)a与{a}区别:
一般地,a表示元素,
{a}表示只有一个元素a的集合;
(8){0},{φ},φ区别:
{0},{φ}表示集合,
φ表示空集,φ⊆{0},φ⊆{φ}.
确定性、互异性、无序性
考点一二
集合元素的特性
有限集
~
集合的分类
集合
集合与简易逻辑(几何分逻辑用语分)
集合的表示
集合的基本关系
无限集空集φ
列举法、特征性质描述法、Veen图法
真子集
性质
子集
几何相等
集合的基本运算
交集pq并集pq补集
互逆
数轴、Veen图、函数图象
(1)AA=A,AA=A,Aφ=A,Aφ=φ;
(2)AB=A⇔A⊆B,AB=A⇔B⊆A,AB⊆A(或B)⊆AB;
原命题:
若p,则q.
逆命题:
若q,则p.
(3)A(CU
A)=U;A(CU
A)=φ;
5
四种命题
互否
否命题:
若⌝p,则⌝q.
互为逆否
互逆
互否
逆否命题:
若⌝q,则⌝p.
CU(CUA)=A;
(4)CU(AB)=(CUA)(CUB);
(5)分配律:
A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC);
基本逻辑
5
联结词量词
或∨
且∧非⌝全称量词
存在量词
p∨q
p∧q
⌝p(或⌝q)
全称命题存在命题
(6)结合律:
A(BC)=(AB)C;A(BC)=(AB)C;
否若p:
∀x∈M,p(x);则⌝p:
∃x0∈M,⌝p(x0)
定若p:
∃x0∈M,p(x0);则⌝p:
∀x∈M,⌝p(x)
映
考点三
A中元素在B中都有唯一的象;可一对一
(一一映射),也可多对一,但不可一对多
列表法
射
定义表示
解析法
函数概念与基本初等函数(奇偶性
函数的概念
定义域
图象法
使解析式有意义及实际意义
三要素
区间
对应关系值域
常用换元法求解析式
观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等
函
函数的基本性质
单调性
奇偶性
周期性对称性最值
1.求单调区间:
定义法、导数法、用已知函数的单调性。
2.复合函数单调性:
同增异减。
1.先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)=f(x)还是-f(x).
2.奇函数图象关于原点对称,若x=0有意义,则f(0)=0.
3.偶函数图象关于y轴对称,反之也成立。
f(x+T)=f(x);周期为T的奇函数有:
f(T)=f(T/2)=f(0)=0.
二次函数、基本不等式,对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。
正(反)比例函数、
数
函数常见的
5
几种变换基本初等函数
分)
分段函数复合函数抽象函数
平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换
单调性:
同增异减赋值法,典型的函数
一次(二次)函数指数函数与对数函数幂函数
三角函数
定义、图象、性质和应用
函数与方程函数的应用
零点
建立函数模型
求根法、二分法、图象法;一元二次方程根的分布
函数的平均变化率
函数的瞬时变化率
f(x)与f(x)的区别
0
导数概念
运动的平均速度
运动的瞬时速度
=S',a
v
t
t
00
=v'
t
0
曲线的割线的斜率
曲线的切线的斜率
k=f'(x)
考点四
0
c'=0(c为常数);(xn)'=nxn-1;(sinx)'=cosx;(cosx)'=-sinx
a
基本初等函数求导
(log
x)=
1
xlna
;(lnx)=1;(ax)'=axlna;(ex)'=ex.
x
导数
导数概念
设f(x),g(x)是可导的,则有:
(1)[f(x)±g(x)]'=f(x)'±g(x)'
导数及其应用
导数的四则运算法则
⎡⎤'''
(2)[f(x)⋅g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)'(3)⎢f(x)⎥=f(x)g(x)-f(x)g(x)
简单复合函数的导数
[f(g(x))]'=
f'(u)⋅u'(x)
⎣g(x)⎦
[g(x)]2
函数的单调性研究
f'(x)>0⇒
f(x)在该区间递增,f'(x)<0⇒
f(x)在该区间递减.
(
导数应用
函数的极值与最值曲线的切线变速运动的速度
生活中最优化问题
1.极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点;
2.闭区间一定有最值,开区间不一定有最值。
1.曲线上某点处切线,只有一条;2.过某点的曲线的切线不一定只一条,要设切点坐标。
一般步骤:
1.建模,列关系式;2.求导数,解导数方程;
b
b
;
b
3.比较区间端点函数值与极值,找到最大(最小)值。
定积分与微积分
分)
12
定义及几何意义
性质⎰akf(x)dx
=k⎰a
f(x)dx
⎰a[f(x)±g(x)]dx
=⎰a
f(x)dx±bg(x)dx;
⎰
a
b
b
⎰f(x)dx
=-⎰f(x)dx;⎰f(x)dx
=⎰f(x)dx⎰f(x)dx.(a
ac
bc
abaab
定积分概念
曲边梯形的面积
变力所做的功
1.用定义求:
分割、近似代替、求和、取极限;2.用公式。
n-1
和式
f(ξ)∆x的极限
∑ii
i=1
⎰v(t)dt
=⎰F(x)dx
a
b
微积分基本
定理含意
若F'
(x)=
f(x),则b
⎰
a
f(x)dx=F(b)-F(a)(牛顿-莱布尼兹公式)
定理
定理应用
1.求平面图形面积;2.在物理中的应用
(1)求变速运动的路程:
s=
(2)求变力所作的功;W
ba
考点五
任意角与弧度制;单位圆
正角、负角、零角
象限角
角
轴线角
终边相同的角
区别第一象限角、锐角、小于900的角
弧度制定义1弧度的角①角度与弧度互化;②特殊角的弧度数;
③弧长公式、扇形面积公式
三角函数
任意角三角函数定义
三角函数
同角三角函数的关系
三角函数线
平方关系、商的关系
公式正用、逆用、变形
任意角的三角函数
诱导公式和(差)角公式
二倍角公式
奇变偶不变,符号看象限
及“1”的代换
化简、求值、证明(恒等式)
(
分)
15
三角函数的图象
正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数y=tanxy=Asin(ωx+φ)+b
作图象
性质
描点法(五点作图法)几何作图法
定义域、值域单调性、奇偶性、周期性对称性
最值
对称轴(正切函数除外)经过函数图象的最高(或低)点且垂直x轴的直线对称中心是正余弦函数图象的零点,正切函数的对称中心为
kπ
(2,0)(k∈Z)
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到,但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同;
②图象也可以用五点作图法;③用整体代换求单调区间(注意ω的符号);
④最小正周期T=2π;⑤对称轴x=
ω
(2k+1)π-2φ
2ω
,对称中心为(kπ-φ
ω
,b)(k∈Z).
三角函数模型的简单应用生活中、建筑学中、航海中、物理学中等
正弦定理
a
sinA
=b
sinB
=c
sinC
=2R及变式
适用范围:
①已知两角和任一边,解三角形;
②已知两边和其中一边的对角,解三角形。
考点六
a2=b2+c2-2bccosA
解的个数是一个?
两个?
还是无解?
余弦定理
b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC
推论:
求角
适用范围:
①已知三边,解三角形;②已知两边和它们的夹角,解三角形。
解三角形
11
(1)解三角形时,三条边和
平面向量
S∆ABC=ah=absinC
22
⎛
++⎫
三个角中“知三求二”。
(2)解三角形应用题步骤:
面积=
p(p-a)(p-b)(p-c)ç其中p=abc⎪
⎝2⎭
先准确理解题意,然后画出示意图,再合理选择定理求
=abc(R是外接圆半径)
4R
1
解。
尤其理解有关名词,如坡角、坡比、仰角和俯角、方位角、方向角等。
实际应用
=(a+b+c)⋅r(r是内切圆半径)
a
2
(分)
5
向量的概念零向量与单位向量表示
=(x-x)2
+(y-y)2
21
21
线性运算加、减、数乘几何意义及运算律
12
平面向量
平面向量基本定理
几何意义
p=xe+ye
投影
b在a方向上的投影为bcosθ=a⋅b
a
数量积
⋅
夹角公式
设a与b夹角为θ,则cosθ=ab
共线(平行)
//b⇔b1=λ0⇔xy
-xy
a⋅b
=0(≠0)
共线与垂直
aa1221a
垂直a⊥b⇔a⋅b=0⇔xx
+
yy=0
1212
向量的应用
在平面(解析)几何中的应用;在物理(力向量、速度向量)中应用
一般数列
考点七
数列的定义通项公式
概念
解析法:
an=f(n)
表示图象法列表法
数列是特殊的函数
递推公式
⎧
an=⎨
S1,n=1
,
an与sn的关系
⎩Sn-Sn-1
n≥2
n-1
n-m
通项公式
an=a1
+(n-1)d=am
+(n-m)d
an=a1⋅q
=am⋅q
特殊数列
等差数列
求和公式
S=n(a
+
a)=na
+n(n-1)d
(1)
a(1
-
qn)
a1-an
⋅q
(1)
数列
n21n12
Sn=na1q=
时;
1
1-q
=q≠
1-q
2
性质am+an=ap+aq
=2am+n
am⋅an
an+1
=ap⋅aq
=am+n
2
等比数列判断
an+1
-
an
=常数
2=常数
an
数
(
q≠0,an≠0
逐差累加法
等差中项:
2an+1=
an+an+2
列
分)
12
常见递推类型
①an+1-an=
②an+1=f(n)
an
f(n)
逐商累积法
⎨n
⎬
构造等比数列⎧a+q⎫
等比中项:
2
a
n+1
=an
⋅an+2
及方法
③an+1=pan+q
⎩p-1⎭
1-1=p
a
a
④pan+1an=an-an+1
构造等差数列
n+1n
n
⑤an+1=pan+q
化为an+1=
qn
p⋅an
qqn-1
+1转化为③
公式法:
应用等差、等比数列的前n项和公式
n
倒序相加法
自然数的乘方和公式:
常见的求和方法
分组求和法
nk=1n(n+1);∑k2=
1n(n+1)(2n+1)
∑
裂项相消法
k=1
n
k
2
=⎡1n
k=16
2
⎥
n+⎤
数列应用
错位相减法
∑3
k=1
⎢⎣2
(1)⎦
柱、锥、台、球的结构特征
结构
S
圆台
简单组合体的结构特征
考点八
空间几何体
三视图
三视图
长对正,高平齐,宽相等
=π(r'2+r2+r'l+rl)
直观图
直观图(斜二侧画法)
平行投影和中心投影
=1(s'+
V
圆台3
s's+s)⋅h;
球
S
球
表(侧)
三视图与立体几何
面积体积
点与线
点在直线上或点不在直线上,∈或∉
=4πR2;V
=4πR3;
3
点与面
点在面内或点不在面内,
∈或∉
平面三公理及推论
空间点、直
线与线
线与面
相交
共面直线
平行
异面直线
相交
线在面外
平行
只有一个公共点没有公共点只有一个公共点
l⋂α=A
(分)
线、平面的
线在面内
l⊂α
没有公共点
l//α
5
位置关系
面与面
相交α⋂β=l
平行α//β
平行关系的相互转化
线线线面面面
平行平行平行
垂直关系的相互转化
线线线面面面
垂直垂直垂直
异面直线所成的角
范围;(00,900]
cos
a⋅b
;
θ=
a⋅b
空间的角
直线与平面所成的角
范围;[00,900]
sinθ=
a⋅n
;
考点九
a⋅n
二面角
范围;[00,1800]
cosθ=
n⋅n;
12
n
⋅
n
12
点到平面的距离
立体证明
空间的距离
直线与平面所成的距离平行平面之间的距离
相互之间的转化
a
l
a⋅n
A
d=.
n
n
θ
b
θ
2
θθOθ1B
C
a’α
(
10
a
异面直线所成的角
直线与平面所成的角
cosθ2=cosθ1⨯cosθ
分)
A
二面角
垂线法
垂面法
BO
D
C
射影法
线定理作出平面角,解直角三角形求角
通过做二面角的棱的垂面,二面角θ的大小为cosθ=S`÷
两条交线所成的角即为平面角S
共线向量
a//b⇔
=λb(λ∈R)或
a
定理OP
=OA
+ta(t∈R,a为l方向向量)
空间向量的
共面向量
p与a,b共面⇔
p=xa+yb(a,b不共线)
考点十
加减运算空间向量的
定理或AP=xAB+yAC或OP=OA+xAB+yAC
=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)
空间任一向量p=xa+yb+zc(a,b,c不共面)
空间向量及其运算
数乘运算空间向量的
空间向量
基本定理
推论:
设OABC是不共面四点,则对任一点P有
OP=xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R)
空间向量与立体几何
数量积运算
平行与垂
(
)
空间向量(分)
空间向量的
直的条件
a//b⇔b=λaa≠0,λ∈R;a⊥b⇔a⋅b=0
坐标运算
向量夹角
cos
a,b
=a⋅b
=(坐标表示)
a⋅b
向量距离
AB=
2
AB=
(x-x)2+(y
-y)2+(z
1
1
2
2
2
-z)2
1
5
a⋅b
直线的方向向量与法量
1.求异面直线的夹角θ:
cosθ=
立体几何中
向量法证两直线平行与垂直
a⋅b
的向量方法
求空间角
(a,b为方向向量);
求空间距离
2.直线与平面的夹角θ:
cosθ=
a⋅n
a⋅n
(a为直线方向向量,n为平面法向量)
n⋅MP
⎛n为平面α的法向量,⎫
点到平面的距离:
d=
çç
n⎝M∈α,P∉α
⎪⎪3.二面角θ:
cosθ=
n⋅n
1
n
⋅
2
n
⎭
12
线面距、面面距都可转化为点面距.
(n,n为两平面法向量).
12
倾斜角与斜率倾斜角α[00,1800)和斜率k=tanα的变化
考点十一十二
点斜式:
y-y0
=k(x-x0)
斜截式:
y=kx+b
注意
(1)截距可
直线方程
两点式:
y-y1
=x-x1
(x1≠x2,y1≠y2)
正,可负,也可为0;
(2)方程
~
y2-y1
x2-x1
各种形式的变化
和适用范围.
截距式:
x+yab
=1(a≠0,b≠0)
直线的方程
一般式:
Ax+By+C
=0(AB≠0)
直线与圆的方程
两直线平行
k1=k2,且b1≠b2.或A1B2=A2B1且A1C3≠A2C1.
平面内两条位置关系
两直线相交
两直线垂直两直线斜交
k1⋅k2=-1或A1A2+B1B2=0.
k1≠k2或A1B2≠A2B1.
两直线重合
k=k,且b
=b.或AB
=AB且AC
=AC.
121212211321
点点距
PP=
(x-x)2+(y
-y)2.
122121
(
15
距离点线距
分)
线线距
d=Ax0+By0+C
A2+B2
d=C1-C2
.
A2+B2
k-k
AB-AB⎛
θ∈[00,900)⎫
两直线夹角
tanθ=1
2=12
21ç⎪
ç⎪
1+k1k2
A1A2+B1B2
⎝A1A2+B1B2≠0⎭
标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2
以AB为直径圆方程:
(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0
1212
圆的方程
一般方程:
二元二次方程
22
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0
表示圆的充要条件是:
点和圆的位置关系
点在圆内⇔d 0 0 点在圆上⇔d=r⇔(x-a)2 +(y-b)2 0 0 +(y-b)2 =r2 ⎧A=C≠0 ⎨ ⎪B=0 ⎪22 0 点在圆外⇔d>r⇔(x-a)2 +(y-b)2 >r2 ⎩D+E -4F>0 0 圆的方程 相离∆∆<<00,d或>dr>r AB= 1+k2 x1-x2 直线和圆的 相切∆∆==00,d或=dr=r =1+k2 (x+x)2-4xx 位置关系 1212 相交∆>0,或d AB=2 r2-d2 相离 (1)利用两圆方程组解数的是个0,1,2; 圆和圆的位 (2)r-r 置关系 相切1212 空间直角坐标系 d=r1+r2⇔外切;d=r1-r2⇔内切 相交 d>r1+r2⇔外离0; 空间两点间距离、中点坐标公式 1 几种常见的圆系: 1 直线与圆锥曲线的位置关系: =1 曲线与方程 求曲线的方程画方程的曲线 轨迹方程的求法: 直接法、定义法、相关点法、参数法 考点十三 纯粹性与完备性 求两曲线的交点 圆锥曲线 椭圆定义及标准方程 圆锥曲线 双曲线几何 性质 抛物线 范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴)、短轴(虚轴)渐近线(双曲线)、准线、离心率。 (通径、焦半径) 相交弦长 ( 直线与圆锥曲线的位 12 置关系相切 分) 相离 点(x,y)−关−于−点(a−,b)−对−称→点(2a-x,2b-y) 对称性问题 中心对称0000 曲线f(x,y)−关−于−点(a−,b)−对−称→曲线f(2a-x,2b-y) ⎧A⋅x1+x2+B⋅y1+y2+C=0 轴对称 点(x1,y1)与点(x2,y2)关于 ï22 ⎨y-y⎛A⎫ 直线Ax+By+C=0对称 ⎪21⋅ç- ÷=1 ⎩⎪x2-x1⎝B⎭ 圆锥曲线 椭圆 --------- 定义 MF+MF=2a(常数2a>FF=2c) 1212 标准方程 x2y2 +=1(a>b>0)a=b时椭圆变 a2b2 22 成圆,x2+y2=a2
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