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章节分析1
第五章相交线与平行线
一、教材所处地位分析:
本单元处于人教版七年级下册的第5章,本章主要研究平面内两条直线的位置关系,重点是垂直和平行关系,以及有关平移变换的内容.这时在学生认识了点和线段,以及射线、直线的基础上安排的,也是进一步学习空间与图形的重要基础之一
二、教材的内容分析
1.本章的课时安排:
本章共安排了四个小节以及三个选学内容,教学时间约需13课时,具体分配如下:
5.1相交线 3课时
5.2平行线 3课时
5.3平行线的性质 3课时
5.4平移 2课时
数学活动
小结2课时
2.本章知识结构如下图所示:
3.考试对本章的要求
知识内容
考试水平
A
B
C
相交线与平行线
1、了解对顶角相等;
2、了解垂线、垂线段等概念
3、了解垂线段最短的性质,理解点到直线的距离的意义;
4、知道直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线;
5、知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线;
6、理解两条平行线之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离.
1、会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线;
2、会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线;
3、掌握平行线的性质与判定.
平移
1、了解图形的平移;
2、理解平移中对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等的性质.
1、能按要求作出简单平面图形平移后的图形;
2、能依据平移前、后的图形,指出平移的方向和距离.
能运用平移的知识解决简单的问题;
A层次:
能对所学知识有初步的认识,能举例说明对象的有关特征,并能在具体情境中进行辨认,或能描述对象的特征,并能指出与有关对象的区别或联系;
B层次:
能在理解的基础上,把知识和技能运用到新的情景中,解决有关的数学问题和简单的实际问题;
C层次:
能通过观察、实验、推理和运算等思维活动,发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系;能综合运用知识,灵活、合理地选择与运用有关的方法,实现对特定的数学问题或实际问题的分析与解决。
4.教材的知识呈现方式分析
本章首先通过台球桌面上的角,创设有利于学习补角、余角、对顶角等的问题情景,展开相交线的有关几何事实,使学生在直观的、现实的情景中,认识相交线所成的角及基本结论;
然后,通过设置一些探索性活动,按照“先探索直线平行的条件,再探索平行线的特征”的顺序呈现有关内容,并试图在探索活动和解决问题中,加深对平行的理解,进一步发展学生的空间观念.
与老人教版的教材处理方式相比,本章教材在呈现具体内容时,教材为学生提供了生动有趣的现实情景,并穿插安排了观察、操作、交流等活动;在探索直线平行条件之前自然引入了“三线八角”,而不是孤立地处理有关内容。
这种编排方式,一是为了发展学生的合情推理能力,二是在直观的基础上进行简单的说理和初步的推理,充分体现直观与简单推理(仅限一步推理)相结合。
这种设计意图,旨在进一步深化学生对角、相交线、平行线及其一些简单特性的理解,以及对识图和简单画图技能的掌握,同时进一步丰富学生的数学活动经验和体验,并在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度,促进良好数学观的养成.
三、本章重、难点的分析
本章的重点是垂线的概念与平行线的判定和性质。
学好这部分重点内容的关键是要使学生理解与相交线、平行线有关的角的知识,因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的.
逐步深入地让学生学会说理,是本章的一个难点.对于推理能力的培养,在本章,不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质,还要求“说理”。
例如“对顶角相等”性质的得出,由判定两直线平行的方法1,得出方法2、3,由平行线的性质1,得出性质2、3,以及一些例、习题中,等等.对于说理,由于学生还比较陌生,不知道应由什么,根据什么,得出什么,
第六章实数
一、 内容概述:
整体设计思路:
无理数的引入——无理数的表示——实数及其相关概念(包括实数运算),实数的应用贯穿于内容的始终。
本章学习对象——实数概念及其运算;学习过程——通过拼图活动引进无理数,通过具体问题的解决说明如何表示无理数,进而建立实数概念;以类比,归纳探索的方式,寻求实数的运算法则;学习方式——操作、猜测、抽象、验证、类比、推理等。
本章先设置具体的活动求面积为2的正方形的边长,提出问题:
它可能是整数吗?
它可能是分数吗?
让学生亲身经历这些活动,在讨论中引起认知冲突,感知生活中确实存在不同于有理数的数,产生探求的欲望:
它不是有理数,那它是什么数?
再让学生进一步借助计算器充分探索,得出它是一个无限不循环小数,从而给出无理数的概念。
这与历史上无理数的产生和发展过程是一致的,符合人的认识规律,同时让学生体会到抽象的数学概念在现实世界中有其实际背景。
无理数有很多,开方开不尽的数是其中的一种,也是我们计算中经常接触到的。
教科书选取了一些生动的素材,引入平方根和立方根的概念和开方运算。
由于在实际情境中的开平方运算结果取的都是算术平方根,而且正数有两个平方根与学生长期的经验不符,学生不易接受,因此教科书先引入算术平方根的概念,然后再引入一般的平方根的概念。
在实际生活和生产实际中,对于无理数我们常常通过估算来求它的近似值。
教科书安排了一节内容:
公园有多宽,介绍估算的方法,包括通过估算比较大小,检验结果的合理性等等,其目的是发展学生的数感。
当无理数的概念和表示形式为学生熟知以后,实数概念的引入就水到渠成了。
本章最后总结实数的概念及其分类,并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等。
本章对概念的处理上,抓住主要概念,注重概念的形成过程,让学生在具体的活动中获得认识,增强理解;对内容的安排上,联系实际情境,导入新知识,注意前后知识间的对比,同时让学生在运用中促进对知识的理解和掌握。
二、 本章教学重点:
1. 经历无理数发现的过程,了解无理数的概念和意义。
2. 了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律。
3. 能用有理数估计一个无理数的大致范围,包括通过估算比较大小,检验计算结果的合理性等等。
4. 了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算。
能运用实数的运算解决简单的实际问题。
三、 本章教学难点:
1. 无理数概念的理解及应用;
2. 解决与实数有关的实际问题时的思维转化;
3. 运算性质的掌握与应用。
四、 教学关键:
1. 讲清无理数概念的形成过程,让学生真正理解无理数的引入的意义;
2. 了解实数的概念,掌握实数运算;
3. 解决与实数有关的实际问题。
五、教学策略:
1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成的过程中,逐步理解所学的概念。
概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的。
概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很必要的。
如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义。
在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴进行合作,并充分地开展交流。
再如,平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符。
对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9。
还有其他的数,它的平方也是9吗?
等等,旨在引起学生的思考,特别是负数的情况,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念。
接着让学生去讨论:
一个正数有几个平方根?
0有几个平方根?
负数呢?
引导学生更深刻地理解平方根的概念,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念。
2.对于抽象的概念,教学时要把握住要求,尽量采用浅显、直观的描述性讲法,通过对后面知识的学习逐步加深对它们的认识。
概念的掌握不是一次完成的,有的概念不可能一下子就要求学生达到较深刻的理解,教学时要把握好阶段性,不要超前。
例如无理数概念,定义为“无限不循环小数”,在活动中学生能够体会“无限”,但对“不循环”不可能有清楚的认识,只能通过后面的理论分析来补充,这里只要求学生了解无理数的概念和意义,理解无限不循环小数是一类新数即可,教学时不必作另外的补充。
再如实数的稠密性即实数与数轴上的点一一对应,不可能要求学生有深刻的理解,只能通过后继的学习逐步完成。
3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系。
类比法是本章的重要方法之一。
最主要的就是类比于有理数建立起实数中的相反数和绝对值的概念。
当然类比的对象间可能会表现出差异,这在进一步的类比——有理数与数轴的关系时表现出来了:
有理数与数轴上的点不是一一对应的,而实数与数轴上的点是一一对应的。
对于实数的运算律、运算性质等,也是通过类比得出的。
4.鼓励学生进行探索与交流
本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流,如大正方形的边长 a 是什么数,教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动,从中感受无理数引入的必要性,并体会无限不循环的过程;再如实数的相关运算法则,在教学过程中应让学生从中经历从具体问题到一般规律的探索过程,并鼓励学生用自己的语言清楚的表达。
5. 对于二次根式,只给出了两条运算规律(加法和减法用合并同类项)
只要求学生会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化),因此教学中不要补充、引申。
6.允许和鼓励学生使用计算器
一方面,在保证基本运算技能的同时,教师应引导学生使用计算器完成较复杂的开方计算和实数计算,在课堂教学、课外作业以及考试中,应允许学生使用计算器;另一方面,应鼓励学生使用计算器进行探索规律的活动,发展学生的合情推理能力。
六、评价建议:
1.关注学生对无理数和实数概念的意义理解。
实数涉及的理论较深,学生目前没有必要也不可能有太深的认识,评价学生对无理数和实数概念的意义理解是主要方面,而不是让学生简单记忆概念。
为什么要引入无理数?
无理数与有理数有什么不同?
什么是实数?
2.关注考查学生对知识技能的理解和运用。
如能否举出或构造与无理数有关的实例,能否运用开方运算解决与实数有关的简单问题,能否用有理数估计一个无理数的大小(一般只要求估计到整数部分或一位小数,对于较复杂的无理数的运算则可以通过计算器来完成)。
3.重视学生的分析、概括、交流等能力的考察。
本章为学生提供了丰富的活动,如操作、猜测、验证、类比、推理等,在教学中教师应在活动中注意观察学生的表现,如是否积极主动地参与活动,是否独立思考,是否与同伴交流及能够使用数学语言、有条理地表达自己的
第七章平面直角坐标系
一、教材内容
本章内容包括平面直角坐标系及有关概念,点的坐标,用坐标表示地理位置和平移等。
实际生活中常用有序实数对表示位置,由此引出平面直角坐标系,建立点与有序实数对的对应关系,从而把数和形结合起来。
用坐标法表示地理位置体现了直角坐标系在实际生活中的应用。
用坐标表示地理位置,可以通过建立直角坐标系,绘制出一个区域内地点分布的平面示意图来完成。
用坐标表示平移,从数的角度刻画了第五章有关平移的内容,主要研究了两方面的问题,一方面探讨点或图形的平移引起的点或图形顶点坐标的变化规律,另一方面探讨点或图形顶点坐标的有规律变化引起的点或图形的平移。
此外,用极坐标表示一个地点的地理位置,在本章最后的“数学活动”中有所渗透。
二、教学目标
〔知识与技能〕
1、能利用有序数对来表示点的位置;2会画出平面直角坐标系,能建立适当的直角坐
标系描述物体的位置;3、在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置
写出它的坐标。
〔过程与方法〕 1、经历画坐标系、描点,由点找坐标的过程和图形的坐标变化与图形平移之间关系的探索过程,发展学生的形象思维能力与数形结合意识;2、通过平面直角坐标确定地理位置,提高学生解决问题的能力。
三、〔情感、态度与价值观〕
明确数学理论来源于实践,反过来又能指导实践,数与形是可以相互转化的,进一步发展学生的辩证唯物主义思想。
四、重点难点
在平面直角坐标糸中,由已知点的坐标确定这一点的位置,由已知点的位置确定这一点的坐标和平面直角坐标系的应用是重点;建立坐标平面内点与有序实数对之间的一一对应关系和由坐标变化探求图形之间的变化是难点。
五、课时分配
7.1平面直角坐标系 3课时
7.2 坐标方法的简单应用 2课时
本章小结 2课时
第八章二元一次方程组
一、教材内容
本章主要内容包括:
二元一次方程组及相关概念,消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组,三元一次方程组解法举例,二元一次方程组的应用。
教材首先从一个篮球联赛中的问题入手,归纳出二元一次方程组及解的概念,并估算简单的二元一次方程(组)的解。
接着,以消元思想为基础,依次讨论了解二元一次方程组的常用方法——代入法和消元法。
然后,选择了三个具有一定综合性的问题:
“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”,将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。
最后,通过举例介绍了三元一次方程组的解法,使消元的思想得到了充分的体现。
二、教学目标
(一)知识与技能目标
1、了解二元一次方程组及相关概念,能设两个未知数,并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系;2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法,能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法;3、了解三元一次方程组的解法;4、学会运用二(三)元一次方程组解决实际问题,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。
(二)过程与方法目标
1、以含有多个未知数的实际问题为背景,经历“分析数量关糸,设未知数,列方程,解方程和检验结果”,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。
2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中,体会“消元”的思想。
(三)情感、态度与价值观〕
通过探究实际问题,进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程,体会数学的应用价值,提高分析问题、解决问题的能力。
三、重点、难点
重点:
二元一次方程组及相关概念,消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组,利用二元一次方程组解决实际问题;
难点:
以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题。
四、课时划分建议
本章共12课时:
二元一次方程(组)1课时 ,消元思想3课时,应用方程组解决实际问题2课时,三元一次方程组2课时,复习1课时,单元检测2课时,讲评1课时。
第九章不等式与不等式组
一、本章主要内容和课程学习目标
(一)教科书内容
本章属于《课程标准》中的“数与代数”部分.
数量之间除了有相等关系外,还有大小不等的关系.正如方程与方程组是讨论等量关系的有力数学工具一样,不等式与不等式组是讨论不等关系的有利数学工具.一元一次不等式(组)中,只含有一个未知数并且未知数的次数为1,因而是最简单的含未知数的不等式(组),也是进一步学习更复杂的不等式(组)的基础.
本章的主要内容包括:
一元一次不等式(组)及其相关概念,不等式的性质,一元一次不等式(组)的解法及其解集的几何表示,利用一元一次不等式(组)分析与解决实际问题.其中,以不等式(组)为工具分析问题、解决问题是重点,也是教学中的主要难点;一元一次不等式(组)及其相关概念、不等式的性质是基础知识;掌握一元一次不等式(组)的解法及解集的几何表示是基本技能和能力.本章重视数学与实际的关系,注意体现列不等式(组)中蕴涵的建模思想和解不等式(组)中蕴涵的化归思想.
使学生经历建立一元一次不等式(组)这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程,体会不等式(组)的特点和作用,掌握运用它们解决问题的一般方法,提高分析问题、解决问题的能力,增强创新精神和应用数学的意识,是本章的中心任务.由于不等式所解决的是含有不等关系的问题,这与以前较多讨论的等量关系既有联系又有区别,所以学习本章时会遇到如何通过比较新旧知识取得新进展的问题.
全章共包括三节:
9.1不等式
9.2实际问题与一元一次不等式
9.3一元一次不等式组
第9.1节中,首先以实际问题为例,结合问题中的不等关系,引出不等式及其解集的概念;然后类比一元一次方程,引出一元一次不等式的概念.为进一步讨论不等式的解法,教科书接着对不等式的性质进行了讨论,得出不等式的三个性质,并运用它们解简单的不等式.不等式的性质是解不等式的重要依据,教科书正是从讨论解不等式的需要出发引导学生认识它们的.解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制,有了这样明确的目标,再加上对于不等式性质的认识,解不等式的方法就能很自然地产生.这一节的框架结构与一元一次方程的相应部分类似,教学中可以类比方程、等式的性质等来讨论不等式、不等式的性质等.
涉及求未知数取值范围的问题是普遍存在的,而不等式是解决这些问题的有力工具.第9.2节从一个选择购物商店问题入手,再对列、解一元一次不等式作进一步的讨论.通过引入的问题以及它后面的例题,教科书归纳出一元一次不等式与一元一次方程在解法上的异同及应注意之处.上述讨论与归纳的过程,是结合分析和解决实际问题进行的,建立不等式模型始终是本章的核心内容.
第9.3节中,结合三角形三条边的大小关系,引进了一元一次不等式组及其解集的概念.在第8章刚学习了二元一次方程组的基础上,讨论不等式组是比较自然的安排.这里公共解集中的“公共”,是指各不等式解集的公共部分(交集).二元一次方程组的解可以通过消元直接产生,而一元一次不等式组的解集要借助画出数轴(或在头脑中想象数轴)才能得出.在这个问题上借助直观利用数形结合具有重要作用.在本节的实际问题中,数量间的大小关系更为复杂(有两个以上),通过列不等式组可以进一步培养建立不等式(组)模型的能力.
第9.4节是“课题学习 利用不等关系分析比赛”.其中,问题1(射击成绩预测)比较简单,问题2(足球比赛)和问题3(篮球比赛)要复杂些.体育比赛是多数学生感兴趣的实际问题,了解问题的实际背景对于利用数学工具进行分析非常重要.考虑到问题的难度等因素,教科书对于这些问题的探究过程作了分步处理、化整为零的设计,希望能构建思考的阶梯,逐步深入地引导学生考虑问题.安排这节的目的在于:
一方面通过更加贴近实际生活的问题,进一步突出不等式这种数学模型应用的广泛性和有效性;另一方面使学生能在实际问题情境中灵活运用所学知识,在更高层次上提高分析问题和解决问题的能力.
(二)本章知识结构
1.利用不等式(组)解决实际问题的基本过程
2.本章知识安排的前后顺序
(三)课程学习目标
概括地说,本章教学应考虑以下5个目标:
1.了解一元一次不等式及其相关概念,经历“把实际问题抽象为不等式”的过程,能够“列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系”,体会不等式(组)是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型.
2.通过观察、对比和归纳,探索不等式的性质,能利用它们探究一元一次不等式的解法.
3.了解解一元一次不等式的基本目标(使不等式逐步转化为的形式),熟悉解一元一次不等式的一般步骤,掌握一元一次不等式的解法,并能在数轴上表示出解集,体会解法中蕴涵的化归思想.
4.了解不等式组及其相关概念,会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会用数轴确定解集.
5.通过课题学习,以体育比赛问题为载体,探究实际问题中的不等关系,进一步体会利用不等式解决问题的基本过程(见上图),感受数学的应用价值,提高分析问题、解决问题的能力.
(四)课时安排
本章教学时间约需13课时,具体分配如下(仅供参考):
9.1不等式 4课时
9.2实际问题与一元一次不等式 3课时
9.3一元一次不等式组 2课时
9.4课题学习利用不等关系分析比赛 2课时
小结 2课时
第十章数据的收集、整理与描述教材分析
【本章教材分析】
1.内容结构特点
本章通过具体案例展开有关内容,在每一个案例中都展示了收集数据、整理数据、描述数据和分析数据得出结论的一般过程(见下图)。
其中重点在收集、整理与描述数据上,所涉及的分析数据比较简单,较复杂的内容将在第20章作进一步讨论。
2.教材的地位及作用
本章从《标准》看,“统计与概率”领域主要学习收集、整理、描述和分析数据等处理数据的基本方法和概率的初步知识,这些内容在三个学段均有安排,教学要求随着学段的升高逐渐提高。
第三学段的“统计与概率”在前两个学段的基础上,继续学习数据处理的方法和概率的初步知识。
依据《标准》第三学段的内容标准和统计概率本身的特点,本套教材将“统计与概率”领域独立于“数与代数”和“图形与几何”领域安排,共有三章。
这三章内容采用统计部分和概率部分分开编排的方式,前两章是统计,最后一章是概率。
统计部分的两章内容按照数据处理基本过程的不同侧重点来安排,分别是7年级下册的第10章“数据的收集、整理与描述”,8年级下册的第20章“数据的分析”;概率部分为9年级上册的第25章“概率初步”。
3.教学重点和教学难点
教学重点:
抽样调查
教学难点:
统计思想
4.教学目标
(1)了解通过全面调查和抽样调查收集数据的方法;会设计简单的调查问卷收集数据;能根据问题查找有关资料,获得数据信息。
(2)通过抽样调查,初步感受抽样的必要性,体会用样本估计总体的思想。
(3)了解频数及频数分布,掌握划记法,会用表格整理数据表示频数分布,体会表格在整理数据中的作用。
(4)学会用简单频数分布直方图(等距分组)和折线图描述数据的方法,进一步体会统计图表在描述数据中的作用,会根据问题需要选择适当的统计图描述数据。
(5)通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动,经历统计的一般过程,感受统计在生活和生产中的作用,增强学习统计的兴趣,初步建立统计的观念,培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。
5.教学建议
(1)注意统计思想的渗透与体现
统计主要研究现实生活中的数据,它通过对数据的收集、整理、描述和分析,来帮助人们解决问题
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