高等代数论文关于可逆矩阵及其应用的举例探讨Word下载.doc
- 文档编号:655125
- 上传时间:2023-04-29
- 格式:DOC
- 页数:19
- 大小:1MB
高等代数论文关于可逆矩阵及其应用的举例探讨Word下载.doc
《高等代数论文关于可逆矩阵及其应用的举例探讨Word下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等代数论文关于可逆矩阵及其应用的举例探讨Word下载.doc(19页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
方法2伴随矩阵法·
方法3初等变换法·
3
方法4用分块矩阵求逆矩阵·
5
方法5解方程组求逆矩阵·
方法6用克莱姆法则求解·
6
方法7 用行列式·
8
方法8恒等变形法求逆矩阵·
9
方法9用Hamilton-Caley定理求逆矩阵·
10
方法10三角矩阵求逆法·
11
方法11拼接新矩阵·
12
第三部分可逆矩阵的应用·
一、数学中的应用·
13
二、生活中的应用·
14
总结·
17
参考文献·
摘要:
矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解方法是高等代数的主要内容之一,同时
在生活应用上,也占有很重要的地位。
本文着重介绍判定矩阵是否可逆及求逆的
种方法,以及其应用的举例。
关键词:
逆矩阵伴随矩阵初等矩阵逆矩阵应用的举例
引言矩阵理论是高等代数的一个主要内容,也是处理实际问题的重要工具,而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。
在矩阵乘法中单位矩阵E相当于数的乘法运算中的“1”,逆矩阵类似实数的倒数。
下面通过引入逆矩阵的定义,就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法,以及应用例子进行探讨。
第一部分知识预备
一、定义
1、矩阵的定义
矩阵设个数排成行列的数表
用括号将其括起来,称为矩阵,并用大写字母表示,即
简记为.
2、逆矩阵的定义
定义:
设A是数域P上的一个n阶方阵,如果存在P上的n阶方阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的,又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时,逆矩阵由A惟一确定,记为A-1.
二、逆矩阵的基本性质:
性设A,B是n阶可逆矩阵,则
(1)(A-1)-1=A;
(2)若k≠0,则kA可逆,且(kA)-1=A-1;
(3)AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1;
(4)AT可逆,且(AT)-1=(A-1)T;
(5)Ak可逆,且(Ak)-1=(A-1)k;
(6)|A-1|=|A|-1;
(7)如果A是m×
n矩阵,P是m阶可逆矩阵,Q是n阶可逆矩阵,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ).
2、矩阵可逆的判断条件
(1)n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0(也即r(A)=n);
(2)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换(特别是只通过初等行(列)变换)化为n阶单位矩阵;
(3)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积;
(4)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零;
(5)对于n阶方阵A,若存在n阶方阵B使得AB=E(或BA=E),则A可逆,且A-1=B.
第二部分矩阵逆的求解方法
方法1定义法:
例1:
设A为n阶矩阵,且满足,求A-1.
【解】
方法2伴随矩阵法:
A-1=A*.
定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵,
记作A*,于是有A-1=A*.
注①对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=(Aij)n×
n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵,其伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互换,次对角元素变号”的规律.
②对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.
例2:
已知,求A-1.
【解】∵|A|=2≠0
∴A可逆.由已知得
A-1=A*=
方法3初等变换法:
注①对于阶数较高(n≥3)的矩阵,采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时,只允许施行初等行变换.
②也可以利用求得A的逆矩阵.
③当矩阵A逆时,可利用
求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法,仅通过初等变换
即求出了A-1B或CA-1.
例3:
:
用初等行变换求矩阵的逆矩阵.
4
方法4用分块矩阵求逆矩阵:
设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵,则:
例4:
【解】将A分块如下:
其中
可求得
从而
方法5解方程组求逆矩阵:
根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;
又由A-1A=E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.
例5求的逆矩阵.
解设,先求A-1中主对角线下的次对角线上的元素,再求,最后求.设E为4阶单位矩阵,比较
的两端对应元素,得到
于是,所求的逆矩阵为:
方法6用克拉默法则求解:
若线性方程组的系数行列式
,则此方程组有唯一的一组解.这里是将
中的第i列换成得到的行列式.
定理1 若ε1=(1,0,0,⋯,0),ε2=(0,1,0,⋯,0),⋯,εn=(0,0,⋯,1)是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则Fn中任一向量α=(a1,a2,⋯,an)都可唯一地表示为:
α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn的形式,这里ai∈F(i=1,2,⋯,n).
定理2 两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.
下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:
令n阶可逆矩阵A=(aij),A的行向量分别为α1,α2,⋯,αn,其中αi=(αi1,αi2,⋯,αin),(i=1,2,⋯,n),由定理1得:
αi=Σaijεj(i=1,2,⋯,n).解以ε1,ε2,⋯,εn为未知量的方程组,由于系数行列式D=|A|≠0(因为A可逆),所以,由克莱姆法则可得唯一解:
εj=Dj/D=bj1α1+bj2α2+⋯+bjnαn(j=1,2,⋯,n).其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α1,α2,⋯,αn而得到的n阶行列式.由定理2可得:
BA=I(I为单位矩阵),从而有A-1=B.其中B=(bij).下面举例说明这种方法.
例6求可逆矩阵的逆矩阵.
解矩阵A的行向量为,由标准基表示为:
解以为未知量的方程组得:
7
该法在理论上是用克莱姆法则求解,但可用消元法简化运算过程.还以上例说明之:
由:
得:
令
是一个所谓的形式矩阵(其元素既有数,又有向量).对施行矩阵的行的初等变换得:
方法7 用行列式:
定理:
若n阶矩阵A=(Aij)为满秩矩阵,则A可逆,且
为的初始单位向量组,即
例7:
设,求A的逆矩阵.
解
方法8恒等变形法求逆矩阵:
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩
阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变
形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.
例8已知,试求并证明,其中.
解由得到故,而A
又为正交矩阵,从而
方法9用Hamilton-Caley定理求逆矩阵:
Hamilton-Caley定理:
设A是数域P上的n阶矩阵为A的特征多项式,则:
于是
因此
例9已知,求A-1.
解A的特征多项式
由Hamilton-Caley定理知:
方法10三角矩阵求逆法:
如果n阶矩阵可逆,
那么他的逆矩阵是
其中
例10求上三角阵的逆矩阵.
解由定理知:
方法11拼接新矩阵:
在可逆矩阵A的右方补加上一个单位矩阵E,在A的下方补加上一个负单位矩阵-E,再在A的右下方补加上一个零矩阵O,从而得到一个新的方阵.对该方阵施行第三种行的初等变换,使其负单位矩阵-E化为零矩阵,那么原来的零矩阵O所化得的矩阵就是所要求的逆矩阵A-1.
例11求矩阵的逆矩阵A-1.
构造矩阵有:
将第一行依次乘以-2,-3和1,分别加到第二行、第三行和第五行,
得:
将第二行依次乘以-1和1,分别加到第三行和第四行,
得:
再将第三行依次乘以-3、2和-1,分别加到第四行、第五行、第六行,
故:
第三部分逆矩阵的应用
逆矩阵在各个领域都有广泛的应用,用逆矩阵的初等行变换来求解一般的线性方程组,这本身就是逆矩阵的一个应用,另外我们还可以用方阵的逆矩阵来求解方程组.也可以用
矩阵来解决调配问题、下料问题等实际,问题还有就是数字图象措置惩罚、计较机图形学、计较几何学、人工智能、收集通讯、和一般的算法设计和阐发等.逆矩阵的应用不仅使通讯优化,而且在航天中也有很多的应用.随着科学技术的发展,矩阵的应用已经深切到了天然科学,社会形态科学,工程技能,经济等各个范畴.如:
一、数学中的应用
例1(线性方程组问题)用逆矩阵解线性方程组.
解设方程组的系数矩阵为,未知量矩阵为,
常数项矩阵为,
则线性方程组可以变为矩阵方程,
矩阵的逆矩阵为:
所以
故方程组的解为
注:
因为只有方阵才有逆矩阵,该方法只适用未知量个数等于方程个数且系数矩阵
逆的线性方程组.
例2(矩阵方程问题)设有矩阵
求矩阵,使得.
解:
在均存在的情况下,用左乘、右乘的两边
得
即
而
故
生活中的应用
例3由网孔法设桥式电路中闭合回路的电流分别为,如图2所示:
图2
已知,计算流过中央支路的电流.
由基尔霍夫第二定律(电压定律)得如下方程组:
即
同样计算如下几个行列式
所以
从而,流过中央支路的电流为.
即电流是从流向的.
例4(调配问题)设有三种酒甲乙丙,它们各含三种主要成分的含量如下表:
甲酒
0.7
0.2
0.1
乙酒
0.6
丙酒
0.65
0.15
调酒师现要用这三种酒配置另一种酒,使其对含量分别是:
66.5%,18.5%,15%,问能否配出合乎要求的酒?
比例分配如何?
当甲酒缺货时,能否用含三种主要成分为的丁酒替代?
比例分配又如何?
设甲乙丙三种酒的比例分配为,根据题意可得矩阵方程
正数解即为所求.
可以得出
所以
15
即能用甲乙丙三种酒调配出合乎要求的酒来,其比例分配为甲酒50%,乙酒20%,丙酒30%.
若用丁酒来替换甲酒,则有矩阵方程:
有负数解,这说明不能用丁酒来替代甲酒.
例5(密码问题)在军事通讯中,常将字符(信号)与数字对应,如
例如信息对应一个矩阵,但如果按这种方式传输,则很容易被敌人破译.于是必须采取加密措施,即用一个约定的加密矩阵乘以原信号,传输信号为(加密),收到信号的一方再将信号还原(破译)为.如果敌方不知道加密矩阵,则很难破译.设收到的信号为,并已知加密矩阵为,问原信号是什么?
先求出
16
所以
即原信号为.
总结
矩阵可逆性的判断及求逆矩阵的方法很多,不仅仅只是以上列举的几种方法。
逆矩阵的意义不仅在于将一些数据排成阵列形式,而且在于它定义了一些有理论意义和实际意义的运算,从而使它成为理论研究和解决实际问题的有力工具。
我们可以继续尝试运用逆矩阵知识去解,并作深入的探讨。
参考文献:
[1]DavidC.Lay.线性代数及其应用[M].北京:
机械工业出版社,2005.
[2]史荣昌.矩阵分析[M].北京:
北京理工大学出版社,1996.
[3]丘维声.高等代数[M].高等教育出版社,1985.
[4]北京大学数学系.高等代数[M].高等教育出版社,1988.
[5]杜汉玲.求逆矩阵的方法与解析[J].高等函授学报(自然科学版),2004
[6]任宪林.求逆矩阵的一个新方法[J].职大学报(自然科学版),2004
[7]张玉成.求逆矩阵的另一种方法[J].深圳教育学院学报(综合版).
[8]王建锋.求逆矩阵的快速方法[J].大学数学,2004,(01).
[9]苏敏.逆矩阵求法的进一步研究[J].河南纺织高等专科学校学报,2004,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等 代数 论文 关于 可逆 矩阵 及其 应用 举例 探讨