教学反思一元二次方程的解法分解因式法 精讲精练含答案Word文件下载.docx
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例如:
(2x-1)(3-x)=0,则2x-1=0或3-x=0
(2-7x)(5x-3)=0,则或
(2-7x=05x-3=0)
2.因式分解法解一元二次方程的方法及步骤:
解方程或方程组的思想方法是:
消元和降次,解一元二次方程不存在消元的问题,而是需要降次,将二次转化为一次,因式分解法能帮助我们实现这一目标.用因式分解法解一元二次方程,一定要把方程化为右边为0,而左边为两个关于未知数的一次因式之积的形式.例如:
一元二次方程(2x-1)(3x-
)=0可转化为,两个一元一次方程.如方程(2x-1)(3x-
)=2化为2x-1=1或
是错误的.
分解因式法解一元二次方程的步骤为:
(1)将方程的右边化为0;
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积;
(3)令每个因式为0,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程得原方程的解.
(2x-1=0,3x-
=0)
3.选择适当的方法解一元二次方程.
根据方程的不同特点,选择合适的方法解方程,可以使计算简便,效率提高.
选择解法的思路是:
先特殊后一般.选择解法的顺序是:
直接开平方法—因式分解法—公式法或配方法.
配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.
[名题探究]
例1.用因式分解法解下列方程:
(1)(2x-1)2+3(1-2x)=0
(2)(1-3x)2=16(2x+3)2(3)x2+6x-7=0
[解析]
(1)经过变形可以用提取公因式法;
(2)经过变形可以用平方差公式分解法因式;
(3)方程为一般形式,尝试用十字相乘法.
(1)原方程变形为:
(2x-1)2-3(2x-1)=0(2x-1)[(2x-1)-3]=0,
∴2x-1=0或(2x-1)-3=0。
∴x1=
x2=2。
(2)原方程变形为(1-3x)2-[4(2x+3)]2=0,
∴[(1-3x)+4(2x+3)][(1-3x)-4(2x-3)]=0
即(13+5x)(11x+11)=0∴
x2=-1
(3)原方程化为(x-7)(x+1)=0∴x1=7x2=-1
[思路探究]用因式分解法解一元二次方程,关键是把方程化为左边为关于未知数的一次因式之积,右边为0的形式.
例2:
用适当的方法解一元二次方程
(1)(2x-3)2=9(2x+3)2
(2)x2-8x+6=0
(3)(x+2)(x-1)=10(4)2x2-5x-2=0
[解析]
(1)方程两边为完全平方式,可以移项使方程一边为0,另一边用平方差公式分解因式,因而可用因式分解法来解,但运用直接开平方法解更简便.
(2)方程是一般形式,且不易用因式分解法解,可以考虑用公式法解,但此题的二次项系数为1,一次项系数为偶数,用配方法解更简便.(3)不经过变形,无”法”可解,先将其化为一般形式,再观察其特征选择解法.(4)不宜用直接开平方法,因式分解法,就用公式法求解.
解
(1)方程两边开平方,得:
2x-3=±
3(2x+3)2x-3=3(2x+3)或2x-3=-3(2x+3)
解这两个一元一次方程得,x1=-3,x2=
。
(2)移项得:
x2-8x=-6配方得:
x2-8x+16=-6+16(x-4)2=10x-4=±
x-4=±
或x-4=
x2=-
(3)将原方程化为一般形式,得x2+x-12=0,(x-3)(x+4)=0,x-3+0或x+4=0,
∴x1=3或x2=-4。
(4)将方程化为一般形式,得:
2x2-5x-2=0∴b2-4ac=(-5)2-4×
2×
(-2)=41。
x=
∴
[思路探究]在解一元二次方程时,若方程不是一般形式,不要首先把它化为一般形式,而要观察其是否能直接开平方或因式分解法解答,若不能直接采用某种方法,就将其化为一般形式,尝试用因式分解法求解,若不易分解的考虑用公式法求解,配方法最麻烦,除系数非常特殊外,一般不采用此法。
例3.解方程(4x-1)2-3(1-4x)-4=0
[解析]本例有三种解法:
(1)先化为一般形式求解;
(2)将方程化为(4x-1)2+3(4x-1)-4=0,再令4x-1=y,使原方程化为y2+3y-4=0;
(3)将(4x-1)看作一个整体,则(4x—1)2+3(4x-1)-4=0可以看作是关于(4x-1)的方程。
解法一:
原方程化为(4x-1)2+3(4x-1)-4=0,令4x-1=y,则方程化为y2+3y-4=0
∴(y+4)(y-1)=0∴y1=-4y2=1当y1=-4时,4x-1=-4∴
当y2=1时,4x-1=1∴
解法二:
原方程化为(4x-1)2+3(4x-1)-4=0
[(4x-1)+4][(4x-1)-1]=0
∴4x-1+4=0或4x-1-1=0∴
解法三:
原方程化为8x2+2x-3=0(4x+3)(2x-1)=0∴
[思路探究]一题多解,培养思维灵活性。
结合方程的特征,从不同的思考问题角度出发就是不同的解法。
[中考链接]
例4.阅读下题的解答过程,请判断是否有错?
若有错误,请给出正确解答。
已知m是关于x的一元二次方程mx2-2x+m=0的一个根,求m的值。
解:
把m代入原方程,化简得m3=m,两边同除以m,得m2=1,∴m=1,把m=1代入方程,检验知m=1符合题意。
[解析]本例的解法中出现了两处错误:
(1)方程两边同时除以含未知数的整式;
(2)开平方时遗失了负的平方根。
正确的解法是:
把x=m代入原方程,得m3-m=0,即m(m+1)(m-1)=0
∴m1=0,m2=-1,m3=1。
又∵方程mx2-2x+m=0为一元二次方程,∴m≠0∴m=1或-1。
[达标训练]
一、选择题:
1.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是
A直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法
2.方程
的根是
A.x=1B.
C.
D.以上均不对
3.若要使2x2-3x-5的值等于4-6x的值,则x应为
A.
B.
D
4.若(a2+b2)(a2+b2-2)=8,则a2+b2=
A.-2B.4C.4或-2D.-4或2
5.若方程x2+ax-2a=0的一根为1,则a的取值和方程的另一根分别是
A.1,-2B.-1,2C.1,2D.-1,-2
6.若a、b、c为三角形ABC的三边,且a、b、c满足(a-b)(a-c)=0,则△ABC为三角形.
A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或等边三角形
7.一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0的所有实数根之和为
A.2B.-4C.4D.3
8.对方程
(1)(2x-1)2=5,
(2)x2-x-1=0,(3)
选择合适的解法是
A.分解因式法、公式法、分解因式法
B.直接开平方法、公式法、分解因式法
C.公式法、配方法、公式法
D.直接开平方法、配方法、公式法
9.若
则x的值为
A.2B.2或
10.若x2-5∣x∣+4=0,则所有x值的和是
A.1B.4C.0D.1或4
二、填空题:
11.一元二次方程当一边是,而另一边是时,方程就可以用因式分解法来解.
12.方程
方程(x-2)2=2-x的根是;
方程(x-5)(x+2)=9的根是。
13.方程(2y+1)2+3(2y+1)+2=0的解是,当x=时,分式
没有意义。
14.已知方程x2-x-m=0有整数根,则整数m=。
(填上一个你认为正确的答案)
15.已知3x2y2-xy-2=0,则x与y之积等于
16.关于x的一元二次方程(m+2)x2+x-m2-5m-6=0有一根为0,则m=。
17.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1,x2,且x1>
x2,则x1-2x2的值是。
18.方程x2=∣x∣的解是。
19.已知一个矩形的长比宽多2cm,其面积为8cm2,则此长方形的周长为
20.有一间长20米,宽15米的会议室,在它的中间铺一块地毯,地毯的面积是会议室面积的
,四周未铺地毯的留空宽度相同,则留空的宽度为.
三、解答题:
21.选用适当的方法解下列方程:
(1)(3-x)2+x2=9
(2)(2x-1)2+(1-2x)-6=0
(3)(3x-1)2=4(1-x)2(4)
(x-1)2=(1-x)
22.解下列关于x的方程:
(1)x2+(1+2
)x+3+
=0
(2)x2-3|x|-4=0
(3)(x-3)2+(x+4)2-(x-5)2=17x+24
23.已知c的定数,并且x2-3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x-c=0的一个根,你能求出方程x2+3x-c=0的根和C的值吗?
24.方程(2002x)2-2001×
2003x-1=0较大根为a,方程x2-2002x-2003=0的较小根为b,求(a+b)2003的值.
25.已知等腰三角形两边长分别是x2-8x+15=0的两根,求此等腰三角形的周长。
26.已知
是方程x2-4x+C=0的一个根,求方程的另一个根及C的值。
27.我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2,则
,则x1+x2=,x1x2=.
请运用上面你发现的结论,解答问题:
已知x1,x2是方程x2-x-1=0的两根,不解方程求下列式子的值:
①x12+x22,②
③(x1+1)(x2+1).
参考答案
1.D2.C3.C4.B5.A6.C7.C8.B9.C10.C
11.两个关于未知数的一次因式之积,0
12.
;
x1=2,x2=1;
x1=6,x2=-313.y1=-1,
1或-3
14.-2(答案不唯一)15.
16.-317.0
18.x1=0,x2=1,x3=-119.12cm220.5米
21.解
(1)
(1)(3-x)2+x2=9,移项得:
(3-x)2+x2-9=0
(x-3)2+(x+3)(x-3)=0,(x-3)[(x-3)+(x+3)]=0,
x(x-3)=0,所以x1=0,x2=3
(2)(2x-1)2+(1-2x)-6=0,(2x-1)2-(2x-1)-6=0
(2x-1-3)(2x-1+2)=0,(2x-4)(2x+1)=0
所以x1=2,x2=-
(3)(3x-1)2=4(1-x)2,(3x-1)2-[2(1-x)]2=0,
[(3x-1)+2(1-x)][(3x-1)-2(1-x)]=0,即(x+1)(5x-3)=0
所以x1=-1,x2=
.
(4)
(x-1)2=(1-x),
(x-1)2+(x-1)=0,
(x-1)(
x-
+1)=0所以x1=1,x2=
22.解:
(1)x2+(1+2
=0,(x+
)(x+
+1)=0
所以x1=-
x2=-
-1.
(2)x2-3|x|-4=0,所以|x|2-3|x|-4=0,
所以(|x|-4)(|x|+1)=0,又因为|x|+1>
0,
所以|x|-4=0,所以|x|=4,所以x1=4,x2=-4
所以x2-5x-24=0,所以(x-8)(x+3)=0,
所以x1=8,x2=-3.
23.解:
设方程x2-3x+C=0的一个根为a,则-a是x2+3x-a=0的一个根,由题意得:
由
(2)-
(1)得C=0,当C=0时,x2-3x+C=0变为x2-3x=0∴x1=0,x2=3
25.解:
∵x2-8x+15=0∴(x-3)(x-5)=0∴x1=3,x2=5,
即这个等腰三角形两边长为3,5.
当腰长为3时,底边为5,则周长为11;
当腰长为5时,底边为3,则周长为13.
26.解:
当
时,
,
∴
∴c=-1.∴原方程为:
x2-4x+1=0.
∴除
以外的另一根为
27.
根据结论有:
x1+x2=1,x1x2=-1
(x1+x2)2-2x1x2=1-2×
(-1)=3
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-1+1+1=1.
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