1、例如:（2x1）（3x）=0,则2x1=0或3x=0 （27x）（5x3）=0,则 或 （27x=0 5x3=0）2.因式分解法解一元二次方程的方法及步骤:解方程或方程组的思想方法是:消元和降次,解一元二次方程不存在消元的问题,而是需要降次,将二次转化为一次,因式分解法能帮助我们实现这一目标.用因式分解法解一元二次方程,一定要把方程化为右边为0,而左边为两个关于未知数的一次因式之积的形式.例如:一元二次方程（2x1）（3x）=0可转化为 , 两个一元一次方程.如方程（2x1）（3x）=2化为2x1=1或是错误的.分解因式法解一元二次方程的步骤为:（1）将方程的右边化为0;（2）把方程的左边分解
2、为两个一次因式的积;（3）令每个因式为0,得到两个一元一次方程;（4）解这两个一元一次方程得原方程的解.（2x1=0,3x=0）3.选择适当的方法解一元二次方程.根据方程的不同特点,选择合适的方法解方程,可以使计算简便,效率提高.选择解法的思路是:先特殊后一般.选择解法的顺序是:直接开平方法因式分解法公式法或配方法.配方法是普遍适用的方法,但不够简便,一般不常用.不过对于二次项系数为1,一次项系数为偶数的一元二次方程,用配方法可能比用公式法要简单些.名题探究例1.用因式分解法解下列方程:（1）（2x1）2+3（12x）=0 （2）（13x）2=16（2x+3）2 （3）x2+6x7=0 解析（
3、1）经过变形可以用提取公因式法;（2）经过变形可以用平方差公式分解法因式;（3）方程为一般形式,尝试用十字相乘法. （1）原方程变形为：（2x1）23（2x1）=0 （2x1）（2x1）3=0 ， 2x1=0或（2x1）3=0。 x1= x2=2。（2）原方程变形为（13x）24（2x+3）2=0， （13x）+4（2x+3）（13x）4（2x3）=0即（13+5x）（11x+11）=0 x2=1（3）原方程化为（x7）（x+1）=0 x1=7 x2=1思路探究用因式分解法解一元二次方程,关键是把方程化为左边为关于未知数的一次因式之积,右边为0的形式.例2:用适当的方法解一元二次方程（1）（2
4、x3）2=9（2x+3）2 （2）x28x+6=0（3）（x+2）（x1）=10 （4）2x25x2=0 解析（1）方程两边为完全平方式,可以移项使方程一边为0,另一边用平方差公式分解因式,因而可用因式分解法来解,但运用直接开平方法解更简便.（2）方程是一般形式,且不易用因式分解法解,可以考虑用公式法解,但此题的二次项系数为1,一次项系数为偶数,用配方法解更简便.（3）不经过变形,无”法”可解,先将其化为一般形式,再观察其特征选择解法.（4）不宜用直接开平方法,因式分解法,就用公式法求解.解（1）方程两边开平方,得:2x3=3（2x+3） 2x3=3（2x+3）或2x3=3（2x+3）解这两个
5、一元一次方程得,x1=3,x2=。（2）移项得:x28x=6 配方得:x28x+16=6+16 （x4）2=10 x4=x4=或x4= x2= （3）将原方程化为一般形式,得x2+x12=0， （x3）（x+4）=0， x3+0或x+4=0，x1=3或x2=4。（4）将方程化为一般形式,得:2x25x2=0 b24ac=（5）242（2）=41。x= 思路探究在解一元二次方程时，若方程不是一般形式，不要首先把它化为一般形式，而要观察其是否能直接开平方或因式分解法解答，若不能直接采用某种方法，就将其化为一般形式，尝试用因式分解法求解，若不易分解的考虑用公式法求解，配方法最麻烦，除系数非常特殊外，
6、一般不采用此法。例3解方程（4x1）23（14x）4=0 解析本例有三种解法：（1）先化为一般形式求解；（2）将方程化为（4x1）2+3（4x1）4=0,再令4x1=y,使原方程化为y2+3y4=0;（3）将（4x1）看作一个整体，则（4x1）2+3（4x1）4=0可以看作是关于（4x1）的方程。解法一：原方程化为（4x1）2+3（4x1）4=0，令4x1=y，则方程化为y2+3y4=0（y+4）（y1）=0 y1=4 y2=1 当y1=4时，4x1=4 当y2=1时，4x1=1 解法二：原方程化为（4x1）2+3（4x1）4=0（4x1）+4（4x1）1=0 4x1+4=0或4x11=0 解
7、法三：原方程化为8x2+2x3=0 （4x+3）（2x1）=0 思路探究一题多解，培养思维灵活性。结合方程的特征，从不同的思考问题角度出发就是不同的解法。中考链接例4阅读下题的解答过程，请判断是否有错？若有错误，请给出正确解答。已知m是关于x的一元二次方程mx22x+m=0的一个根，求m的值。解：把m代入原方程，化简得m3=m，两边同除以m，得m2=1,m=1,把m=1代入方程，检验知m=1符合题意。 解析本例的解法中出现了两处错误：（1）方程两边同时除以含未知数的整式；（2）开平方时遗失了负的平方根。正确的解法是：把x=m代入原方程，得m3m=0,即m（m+1）（m1）=0 m1=0,m2=
8、1,m3=1。又方程mx22x+m=0为一元二次方程, m0 m=1或1。达标训练一、选择题：1.解方程2（5x1）2=3（5x1）的最适当的方法是 A直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法2.方程的根是 A.x=1 B. C. D.以上均不对3.若要使2x23x5的值等于46x的值,则x应为 A. B. D4.若（a2+b2）（a2+b22）=8,则a2+b2= A.2 B.4 C.4或2 D.4或25.若方程x2+ax2a=0的一根为1,则a的取值和方程的另一根分别是 A.1,2 B.1,2 C.1,2 D.1,26.若a、b、c为三角形ABC的三边,且a、b、c满足（ab）
9、（ac）=0,则ABC为 三角形.A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或等边三角形7.一元二次方程x23x1=0与x2x+3=0的所有实数根之和为 A.2 B.4 C.4 D.38.对方程（1）（2x1）2=5,（2）x2x1=0,（3）选择合适的解法是 A.分解因式法、公式法、分解因式法B.直接开平方法、公式法、分解因式法C.公式法、配方法、公式法D.直接开平方法、配方法、公式法9.若则x的值为 A.2 B.2或10.若x25x+4=0,则所有x值的和是 A1 B.4 C.0 D.1或4二、填空题：11.一元二次方程当一边是 ,而另一边是 时,方程就可以用因式分解法
10、来解.12.方程方程（x2）2=2x的根是 ；方程（x5）（x+2）=9的根是 。13.方程（2y+1）2+3（2y+1）+2=0的解是 ,当x= 时,分式没有意义。14已知方程x2xm=0有整数根，则整数m= 。（填上一个你认为正确的答案）15已知3x2y2xy2=0，则x与y之积等于 16关于x的一元二次方程（m+2）x2+xm25m6=0有一根为0，则m= 。17方程（x1）（x2）=0的两根为x1,x2，且x1x2,则x12x2的值是 。18方程x2=x的解是 。19已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm2,则此长方形的周长为 20有一间长20米，宽15米的会议室，在它的中间铺一
11、块地毯，地毯的面积是会议室面积的，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为 .三、解答题：21.选用适当的方法解下列方程:（1）（3x）2+x2=9 （2）（2x1）2+（12x）6=0（3）（3x1）2=4（1x）2 （4） （x1）2=（1x）22.解下列关于x的方程:（1）x2+（1+2）x+3+=0 （2）x23|x|4=0（3）（x3）2+（x+4）2（x5）2=17x+2423已知c的定数，并且x23x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3xc=0的一个根，你能求出方程x2+3xc=0的根和C 的值吗？24方程（2002x）220012003x1=0较大根为a,方程x22002x
12、2003=0的较小根为b,求（a+b）2003的值.25.已知等腰三角形两边长分别是x28x+15=0的两根，求此等腰三角形的周长。26已知是方程x24x+C=0的一个根，求方程的另一个根及C的值。27我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两根x1,x2,则,，则x1+x2= ,x1x2= .请运用上面你发现的结论,解答问题:已知x1,x2是方程x2x1=0的两根,不解方程求下列式子的值:x12+x22, , （x1+1）（x2+1）.参考答案1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.B 9.C 10.C 11.两个关于未知数的一次因式之积,0 12.;x1=2,
13、x2=1;x1=6,x2=3 13.y1=1,1或3 14.2（答案不唯一） 15. 16.3 17.0 18.x1=0,x2=1,x3=1 19.12cm2 20.5米21.解 （1） （1）（3x）2+x2=9,移项得:（3x）2+x29=0（x3）2+（x+3）（x3）=0, （x3）（x3）+（x+3）=0,x（x3）=0, 所以 x1=0,x2=3 （2）（2x1）2+（12x）6=0,（2x1）2（2x1）6=0（2x13）（2x1+2）=0,（2x4）（2x+1）=0所以x1=2,x2=（3）（3x1）2=4（1x）2, （3x1）22（1x）2=0,（3x1）+2（1x）（3x
14、1）2（1x）=0,即（x+1）（5x3）=0所以 x1=1,x2=. （4） （x1）2=（1x）, （x1）2+（x1）=0, （x1）（ x+1）=0 所以x1=1,x2=22.解:（1） x2+（1+2=0 ,（x+）（ x+1）=0所以x1=,x2=1.（2）x23|x|4=0,所以|x|23|x|4=0,所以（|x|4）（|x|+1）=0,又因为|x|+10,所以|x|4=0,所以|x|=4,所以x1=4,x2=4所以x25x24=0,所以（x8）（x+3）=0,所以x1=8,x2=3.23.解:设方程x23x+C=0的一个根为a,则a是x2+3xa=0的一个根,由题意得:由（2）（1）得C=0,当C=0 时,x23x+C=0变为x23x=0 x1=0,x2=325.解:x28x+15=0 （x3）（x5）=0 x1=3，x2=5，即这个等腰三角形两边长为3，5.当腰长为3时，底边为5，则周长为11;当腰长为5时，底边为3，则周长为13.26解：当时，,c=1. 原方程为:x24x+1=0. 除以外的另一根为27 根据结论有：x1+x2=1,x1x2=1（x1+x2）22x1x2=12（1）=3 （x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=1+1+1=1.
