全等三角形知识点总结典型试题Word文档下载推荐.docx
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B.60°
C.65°
D.80°
二.全等三角形:
能够完全重合的两个三角形。
1.(2015春•普陀区期末)下列说法正确的是( )
A.两个等边三角形一定全等B.腰对应相等的两个等腰三角形全等
C.形状相同的两个三角形全等D.全等三角形的面积一定相等
2.下列说法中:
①能够完全重合的两个三角形是全等三角形;
②通过旋转得到的两个图形全等,全等的两个图形旋转后一定能重合;
③大
小相同的
两个图形是全等图
形;
④一个图形经过平移、翻折、旋转后.得到的图形一定与原图形全等.其中正确的个数有( ).
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3.小明不慎将一个三角形玻璃摔碎成如图所示的四块,现要到玻璃店配一个与原来一样大小的三角形玻璃,你认为应带去的一块是( )A.第1块B第2块C第3块D.第4块
4.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去
三.全等三角形的性质定理:
对应边相等;
对应角相等;
对应三角形周长相等;
对应三角形面积相等。
1.如图,在△ABC中,AC=BC,直线l经过顶点C,过A,B两点分别作l的垂线AE,BF,E,F为垂足.AE=CF,求证:
∠ACB=90°
.
2.如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,CE与BD相交于点M,BD交AC于点N.
证明:
(1)BD=CE;
(2)BD⊥CE.
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:
(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
四.全等三角形的判定定理:
SSS;
SAS;
ASA;
AAS;
HL(RT∆)
1.(2015•泸州)如图,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD.求证:
BC=DE.
2.如图,已知:
在△AFD和△CEB中,点A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,∠B=∠D,AD∥BC.求证:
AD=BC.
3.(2016•南充)已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)求证:
BD=CE;
(2)求证:
∠M=∠N.
五.全等三角形全等注意事项:
①三角形全等必须具备三个条件;
②三角形全等至少有一组对应边;
③不能证明三角形全等的是AAA;
SSA ④直角三角形全等除了用HL(RT∆)外,还可用其它的判定定理SSS;
AAS。
⑤已知两组对应角和任意一组对应边,这两个三角形必全等。
1.使两个直角三角形全等的条件是( )
一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条边对应相等
2.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A.(S.S.S.)B.(S.A.S.)C.(A.S.A.)D.(A.A.S.)
3.(2015春•禅城区校级期末)下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠DB.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
C.AC=DF,∠B=∠F,AB=DED.∠B=∠E,∠C=∠F,AC=DF
4.(2014•南昌)如图,AB∥DE,AC∥DF,AC=DF,下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DEB.∠B=∠EC.EF=BCD.EF∥BC
5.(2015春•鄄城县)如图,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件( )
A.∠BAC=∠BADB.AC=AD或BC=BDC.AC=AD且BC=BDD.以上都不正确
六.找全等三角形的方法:
①可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中;
②可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;
③可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等;
④若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
例1、如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:
BD=2CE.
2.如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC
=90°
,D、E分别为AB、AC边上的点,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M。
△ADC≌△AEB,
(2)判断△EGM是什么三角形,并证明你的结论;
(3)猜想线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论。
3.已知,点D位直线BC上一动点(点D不与点B,C重合),∠BAC=90°
,AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°
,∠DAE=90°
,AD=AE,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上时,求证:
①BD⊥CE;
②CE=BC﹣CD.
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CE,BC,CD三条线段之间的数量关系.
七.全等三角形中常见辅助线的作法:
①延长中线构造全等三角形;
②利用翻折,构造全等三角形;
③引平行线构造全等三角形;
④作连线构造等腰三角形。
八.全等三角形的证明方法:
①找公共边(从对应边里找,如果对应边重合,重合的边就是对应边)
1.如图,在△ABC和△ABD中,AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA,求证:
AC=BD.
2.如图,AD、BC相交于O,OA=OC,∠OBD=∠ODB.求证:
AB=CD.
3.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
AB=CD
4.已知:
如图,AB=AC,DB=DC.F是AD的延长线上一点.求证:
(1)∠ABD=∠ACD;
(2)BF=CF.
5.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
②找公共角(从对应角里找,如果对应角重合,重合的角就是对应角)
1.如图所示,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:
AD=AE
2.已知:
如图,AD=AE,AB=AC,BD、CE相交于O.求证:
OD=OE.
③找对顶角(从对应角里找对顶角;
如果对顶角不是对应角,还得用其它办法)
1.已知:
四边形ABCD中,AC、BD交于O点,AO=OC,BA⊥AC,DC⊥AC.垂足分别为A,C.求证:
AD=BC
如图,在AB、AC上各取一点,E、D,使AE=AD,连结BD,CE,BD与CE交于O,连结AO,∠1=∠2,求证:
∠B=∠C
3.如图,点D是△ABC边BC上的中点,连接AD,过C作CE⊥AD,过B作BF⊥AD.求证:
CE=BF.
④如果已知两个以上的垂直,用互余定理
1.已知:
△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高,BQ=AC,点F在CE的延长线上,CF=AB,求证:
AF⊥AQ.
2.已知:
在ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于H,且BH=AC,证明:
DH=DC.
3.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°
,D是斜边AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G,求证:
BD=CG.
4.△ABC中,∠ACB=90°
AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.求证:
(1)AE=CD;
(2)若AC=12cm,求BD的长.
⑤如果已知两个互补,用互补定理
如图,∠1=∠2,BD=BC.求证:
∠3=∠4.
2.如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,
试说明:
(1)∠C=∠E
(2)△ABC≌△ADE的理由。
3.四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E点,∠ADC+∠B=180°
.
求证:
2AE=AB+AD.(10分)
⑥等式的基本性质(角和边都能用,既可有加法性质,也可有减法性质)
1.(2011秋•新区校级期末)如图,AC=DF,∠A=∠D,AE=DB,那么BC与EF的大小关系如何?
说明理由.
∠A=∠D,AC∥FD,AC=FD,求证:
FB=CE.
3.如图,已知:
BF=DE,∠1=2,∠3=∠4,求证:
AE=CF.
4.如图所示,已知点A、E、F、D在同一条直线上,AE=DF,BF⊥AD,CE⊥AD,垂足分别为F、E,BF=CE,求证:
AB∥CD.
5.(2015秋•道真县校级期末)如图,AB=AD,∠C=∠E,∠1=∠2,求证:
△ABC≌△ADE.
6.已知:
如图,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.求证:
BC=ED.
7.如图,已知AE交BC于点D,∠1=∠2=∠3,AB=AD.求证:
DC=BE.
8.已知:
如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°
,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连接BD.求证:
(1)△BAD≌△CAE;
(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系,并证明.
9.已知:
如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:
BD=CE
10.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,点C在DE上.求证:
(1)△ABD≌△ACE;
(2)∠BDA=∠ADC.
11.如图,∠ABC=90°
,D、E分别在BC、AC上,AD⊥DE,且AD=DE,点F是AE的中点,FD与AB相交于点M.
(1)求证:
∠FMC=∠FCM;
(2)AD与MC垂直吗?
并说明理由.
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