直角三角形的存在性问题解题策略Word下载.docx
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如果已知斜边,那么以斜边为直径画圆,直角顶点在圆上(不含直径的两个端点).
例题解析
例❶如图1-1,在△ABC中,AB=AC=10,cos∠B=.D、E为线段BC上的两个动点,且DE=3(E在D右边),运动初始时D和B重合,当E和C重合时运动停止.过E作EF//AC交AB于F,连结DF.设BD=x,如果△BDF为直角三角形,求x的值.
图1-1
【解析】△BDF中,∠B是确定的锐角,那么按照直角顶点分类,直角三角形BDF存在两种情况.如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来,分两种情况列方程就可以了.
如图1-2,作AH⊥BC,垂足为H,那么H是BC的中点.
在Rt△ABH中,AB=10,cos∠B=,所以BH=8.所以BC=16.
由EF//AC,得,即.所以BF=.
图1-2图1-3图1-4
①如图1-3,当∠BDF=90°
时,由,得.
解方程,得x=3.
②如图1-4,当∠BFD=90°
解方程,得.
我们看到,在画示意图时,无须受到△ABC的“限制”,只需要取其确定的∠B.
例❷如图2-1,已知A、B是线段MN上的两点,,,.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成
△ABC,设AB=x,若△ABC为直角三角形,求x的值.
图2-1
【解析】△ABC的三边长都可以表示出来,AC=1,AB=x,BC=3-x.
如果用斜边进行分类,每条边都可能成为斜边,分三种情况:
①若AC为斜边,则,即,此方程无实根.
②若AB为斜边,则,解得(如图2-2).
③若BC为斜边,则,解得(如图2-3).
因此当或时,△ABC是直角三角形.
图2-2图2-3
例❸如图3-1,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),点B是点A关于原点的对称点,P是函数图象上的一点,且△ABP是直角三角形,求点P的坐标.
图3-1
【解析】A、B两点是确定的,以线段AB为分类标准,分三种情况.
如果线段AB为直角边,那么过点A画AB的垂线,与第一象限内的一支双曲线没有交点;
过点B画AB的垂线,有1个交点.
以AB为直径画圆,圆与双曲线有没有交点呢?
先假如有交点,再列方程,方程有解那么就有交点.如果是一元二次方程,那么可能是一个交点,也可能是两个交点.
由题意,得点B的坐标为(2,0),且∠BAP不可能成为直角.
①如图3-2,当∠ABP=90°
时,点P的坐标为(2,1).
②方法一:
如图3-3,当∠APB=90°
时,OP是Rt△APB的斜边上的中线,OP=2.
设P,由OP2=4,得.解得.此时P(,).
图3-2图3-3
方法二:
由勾股定理,得PA2+PB2=AB2.
方法三:
如图3-4,由△AHP∽△PHB,得PH2=AH·
BH.
图3-4图3-5
这三种解法的方程貌似差异很大,转化为整式方程之后都是(x2-2)2=0.这个四次方程的解是x1=x2=,x3=x4=,它的几何意义就是以AB为直径的圆与双曲线相切于P、P′两点(如图3-5).
例❹如图4-1,已知直线y=kx-6经过点A(1,-4),与x轴相交于点B.若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标.
图4-1
【解析】和例题3一样,过A、B两点分别画AB的垂线,各有1个点Q.
和例题3不同,以AB为直径画圆,圆与y轴有没有交点,一目了然.而圆与双曲线有没有交点,是徒手画双曲线无法肯定的.
将A(1,-4)代入y=kx-6,可得k=2.所以y=2x-6,B(3,0).
设OQ的长为m.分三种情况讨论直角三角形ABQ:
①如图4-2,当∠AQB=90°
时,△BOQ∽△QHA,.所以.
解得m=1或m=3.所以Q(0,-1)或(0,-3).
②如图4-3,当∠BAQ=90°
时,△QHA∽△AGB,.所以.
解得.此时.
③如图4-4,当∠ABQ=90°
时,△AGB∽△BMQ,.所以.
图4-2图4-3图4-4
三种情况的直角三角形ABQ,直角边都不与坐标轴平行,我们以直角顶点为公共顶点,构造两个相似的直角三角形,这样列比例方程比较简便.
已知A(1,-4)、B(3,0),设Q(0,n),那么根据两点间的距离公式可以表示出AB2,AQ2和BQ2,再按照斜边为分类标准列方程,就不用画图进行“盲解”了.
例❺如图5-1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧).若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
图5-1
【解析】有且只有三个直角三角形ABM是什么意思呢?
过A、B两点分别画AB的垂线,与直线l各有一个交点,那么第三个直角顶点M在哪里?
以AB为直径的⊙G与直线l相切于点M啊!
由,得A(-4,0)、B(2,0),直径AB=6.
如图5-2,连结GM,那么GM⊥l.
在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.因此.
设直线l与y轴交于点C,那么OC=3.所以直线l(直线EC)为.
根据对称性,直线l还可以是.
图5-2
例❻如图6-1,在△ABC中,CA=CB,AB=8,.点D是AB边上的一个动点,点E与点A关于直线CD对称,连结CE、DE.
(1)求底边AB上的高;
(2)设CE与AB交于点F,当△ACF为直角三角形时,求AD的长;
(3)连结AE,当△ADE是直角三角形时,求AD的长.
图6-1
【解析】这道题目画示意图有技巧的,如果将点D看作主动点,那么CE就是从动线段.反过来画图,点E在以CA为半径的⊙C上,如果把点E看作主动点,再画∠ACE的平分线就产生点D了.
(1)如图6-2,设AB边上的高为CH,那么AH=BH=4.
在Rt△ACH中,AH=4,,所以AC=5,CH=3.
(2)①如图6-3,当∠AFC=90°
时,F是AB的中点,AF=4,CF=3.
在Rt△DEF中,EF=CE-CF=2,,所以.此时.
②如图6-4,当∠ACF=90°
时,∠ACD=45°
,那么△ACD的条件符合“角边角”.
作DG⊥AC,垂足为G.设DG=CG=3m,那么AD=5m,AG=4m.
由CA=5,得7m=5.解得.此时.
图6-2图6-3图6-4
(3)因为DA=DE,所以只存在∠ADE=90°
的情况.
①如图6-5,当E在AB下方时,根据对称性,知∠CDA=∠CDE=135°
,此时△CDH是等腰直角三角形,DH=CH=3.所以AD=AH-DH=1.
②如图6-6,当E在AB上方时,根据对称性,知∠CDA=∠CDE=45°
,此时△CDH是等腰直角三角形,DH=CH=3.所以AD=AH+DH=7.
图6-5图6-6
马学斌wnmaxuebin@
2015年9月21日星期一
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《中小学数学·
初中版》
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