中考数学锐角三角函数与圆综合训练题Word文档下载推荐.doc
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∴∠4+∠2=90°
,即∠CDO=90°
∴OD⊥OA.
又∵OA是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
(3)解:
如图,连接OE.
∵EB、CD均为⊙O的切线,
∴ED=EB,OE⊥DB,
∴∠ABD+∠DBE=90°
,∠OEB+∠DBE=90°
∴∠ABD=∠OEB,
∴∠CDA=∠OEB.
而tan∠CDA=,
∴tan∠OEB==,
∵Rt△CDO∽Rt△CBE,
∴===,
∴CD=8,
在Rt△CBE中,设BE=x,
∴(x+8)2=x2+122,
解得x=5.
即BE的长为5.
点评:
本题考查了切线的判定与性质:
过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;
也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质.
例题二(2013•呼和浩特)如图,AD是△ABC的角平分线,以点C为圆心,CD为半径作圆交BC的延长线于点E,交AD于点F,交AE于点M,且∠B=∠CAE,EF:
FD=4:
3.
点F是AD的中点;
(2)求cos∠AED的值;
(3)如果BD=10,求半径CD的长.
相似三角形的判定与性质;
勾股定理;
圆周角定理;
解直角三角形.3718684
(1)由AD是△ABC的角平分线,∠B=∠CAE,易证得∠ADE=∠DAE,即可得ED=EA,又由ED是直径,根据直径所对的圆周角是直角,可得EF⊥AD,由三线合一的知识,即可判定点F是AD的中点;
(2)首先连接DM,设EF=4k,df=3k,然后由勾股定理求得ED的长,继而求得DM与ME的长,由余弦的定义,即可求得答案;
(3)易证得△AEC∽△BEA,然后由相似三角形的对应边成比例,可得方程:
(5k)2=k•(10+5k),解此方程即可求得答案.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2,
∵∠ADE=∠1+∠B,∠DAE=∠2+∠3,且∠B=∠3,
∴∠ADE=∠DAE,
∴ED=EA,
∵ED为⊙O直径,
∴∠DFE=90°
∴EF⊥AD,
∴点F是AD的中点;
(2)解:
连接DM,
设EF=4k,df=3k,
则ED==5k,
∵AD•EF=AE•DM,
∴DM===k,
∴ME==k,
∴cos∠AED==;
∵∠B=∠3,∠AEC为公共角,
∴△AEC∽△BEA,
∴AE:
BE=CE:
AE,
∴AE2=CE•BE,
∴(5k)2=k•(10+5k),
∵k>0,
∴k=2,
∴CD=k=5.
例题三2014烟台
例题四
(2014•沈阳)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交⊙O于点D,交AC于点E,连接AD,BD,CD.
AD=CD;
(2)若AB=10,cos∠ABC=,求tan∠DBC的值.
圆心角、弧、弦的关系;
解直角三角形..
(1)由AB为直径,OD∥BC,易得OD⊥AC,然后由垂径定理证得,=,继而证得结论;
(2)由AB=10,cos∠ABC=,可求得OE的长,继而求得DE,AE的长,则可求得tan∠DAE,然后由圆周角定理,证得∠DBC=∠DAE,则可求得答案.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
∵OD∥BC,
∴∠AEO=∠ACB=90°
∴OD⊥AC,
∴=,
∴AD=CD;
∵AB=10,
∴OA=OD=AB=5,
∴∠AOE=∠ABC,
在Rt△AEO中,OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×
=3,
∴DE=OD=OE=5﹣3=2,
∴AE===4,
在Rt△AED中,tan∠DAE===,
∵∠DBC=∠DAE,
∴tan∠DBC=.
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
综合练习
1、如图,AB是⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A,C,
PC交AB的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E.
∠EPD=∠EDO.
(2)若PC=6,tan∠PDA=,求OE的长.[中国教育出&
版*^#@网]
2、如图,AB是⊙0的直径,C是⊙0上的一点,直线MN经过
点C,过点A作直线MN的垂线,垂足为点D,且∠BAC=∠DAC.
(1)猜想直线MN与⊙0的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=6,cos=∠ACD=,求⊙0的半径.
3、已知:
如图,是的直径,是上一点,于点,过点作的切线,交的延长线于点,连结.
(1)求证:
与相切;
(2)连结并延长交于点,若,求的长.
4、如图,已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AB⊥CD,⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F.
(1)求证:
CD∥BF;
(2)若⊙O的半径为5,cos∠BCD=,求线段AD的长.
图11
A
C
B
D
E
F
O
P
5、如图11,PB为⊙O的切线,B为切点,直线PO交⊙O于点E,F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交⊙O于点A,延长AO与⊙O交于点C,连接BC,AF.
直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF,OD,OP之间的等量关系,并加以证明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和线段PE的长.
6、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K.
KE=GE;
(2)若=KD·
GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.
7、如图11,AB是⊙O的弦,D是半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于F,且CE=CB。
BC⊙O是的切线;
(2)连接AF、BF,求∠ABF的度数;
(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径。
8、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,过点O作
OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面积为5,求sin∠BOE的值.
参考答案:
1
【
1、
3、【解析】圆与直线的位置关系;
相似和三角函数
【答案】
连结OC
∵OD⊥BC
所以∠EOC=∠EOB
在△EOC和△EOB中
∴△EOC≌△EOB (SAS)
∴∠OBE=∠OCE=90°
∴BE与⊙O相切
过点D作DH⊥AB
∵△ODH∽△OBD
∴OD:
OB=OH:
OD=DH:
BD
又∵sin∠ABC=
∴OD=6
∴OH=4,OH=5,DH=2
又∵△ADH∽△AFB
∴AH:
AB=DH:
PB
13:
18=2:
FB
∴FB=
【点评】
(1)利用全等三角形求出角度为90°
,即得到相切的结论。
(2)利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。
4分析】
(1)由BF是圆O的切线,AB是圆O的直径,根据切线的性质,可得到BF⊥AB,然后利用平行线的判定得出CD∥BF
(2)由AB是圆O的直径,得到∠ADB=90º
,由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD,再根据三角函数cos∠BAD=cos∠BCD==
即可求出AD的长
【解析】
∵BF是圆O的切线,AB是圆O的直径
∴BF⊥AB
∵CD⊥AB
∴CD∥BF
(2)解:
∵AB是圆O的直径
∴∠ADB=90º
∵圆O的半径5
∴AB=10
∵∠BAD=∠BCD
∴ cos∠BAD=cos∠BCD==
∴=8
∴AD=8
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形,此题难度适中。
圆是一个特殊的几何体,它有很多独到的几何性质,知识点繁多而精粹。
圆也是综合题中的常客,不仅会联系三角形、四边形来考察,代数中的函数也是它的友好合作伙伴。
因此圆在中考中占有重要的地位,是必考点之一。
在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查,与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.
5【解析】
(1)要证PA是⊙O的切线,只要连接OB,再证∠PAO=∠PBO=90°
即可.
(2)OD,OP分别是Rt△OAD,Rt△OPA的边,而这两个三角形相似且这两边不是对应边,所以可证得OA2=OD·
OP,再将EF=2OA代入即可得出EF,OD,OP之间的等量关系.(3)利用tan∠F=,得出AD,OD之间的关系,据此设未知数后,根据AD=BD,OD=BC=3,AO=OC=OF=FD-OF,将AB,AC也表达成含未知数的代数式,再在Rt△ABC中运用勾股定理构建方程求解.
【答案】解:
如下图,连接OB,
∵PB是⊙O的切线,∴∠PBO=90°
∵OA=OB,BA⊥PO于D,∴AD=BD,∠POA=∠POB.
又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO.
∴∠PAO=∠PBO=90°
.∴直线PA为⊙O的切线.
(2)EF2=4OD·
OP.
证明:
∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°
,∠OPA+∠AOP=90°
∴∠OAD=∠OPA.∴△OAD∽△OPA.∴=,即OA2=OD·
又∵EF=2OA,∴EF2=4OD·
(3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3.
设AD=x,∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x-3.
在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x-3)2=x2+32.
解之得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去).
AD=4,OA=2x-3=5.
∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°
而AC=2OA=10,BC=6,
∴cos∠ACB==.
∵OA2=OD·
OP,
∴3(PE+5)=25.
∴PE=.
【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识,综合性很强,并富有探究性.要证某线是圆的切线,若已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可;
若此线与圆的切点未知,可以过圆心作这条直线的垂线段(即为垂直),再证半径即可.另外,与圆有关的探究、计算问题,多与相似三角形和勾股定理有关,上来从这方面着手分析思考,有利于思路的快速打开.
6、解析:
利用切线的性质和等边对等角可以证明∠EGK=∠EKG,然后根据等角对等边,即可证明第
(1)小题;
对于第
(2)小题,可以先由等积式得到比例式,然后得到三角形相似,根据角的关系可以判断两条直线的位置关系;
对于第(3)小题,可以先利用方程的思想求出相关线段的长,然后利用三角函数求FG的长。
答案:
(1)如下图,连接OG,
∵EG是⊙O的切线∴OG⊥GE∴∠OGK+∠EGK=90°
∵CD⊥AB∴∠OAG+∠AKH=90°
∵OG=OA∴∠OGK=∠OAG∴∠EGK=∠AKH=∠EKG∴KE=GE;
(2)AC∥EF
理由如下:
∵=KD·
GE,GE=KE∴
∴△KGD∽△KGE
∴∠KGD=∠E
∠KGD=∠C
∴∠E=∠C
∴AC∥EF
(3)∵在
(2)的条件下,
∴∠CAF=∠F,∠E=∠C
∵sinE=
∴sinC=,sinF=,tanE=tanC=
连接BG,过G作GN⊥AB于N,交⊙O于Q
则弧BQ=弧BG
∴∠BGN=∠BAG
设AH=3k,则CH=4k
于是BH=,OG=
∵EG是切线,CD⊥AB
∴∠OGF=90°
∴∠FOG+∠F=∠E+∠F
∴∠FOG=∠E
∴NG=OGsin∠FOG==
∴BN=OB-ON=OG-OGcos∠FOG=
∴BG=
Q
N
本题的第(3)小题是一道大型综合题,且运算量较大,属于较难题;
但是,前两个小题比较基础,同学们应争取做对。
7、【解析】
(1)连接OB,证OB⊥BC,即证∠OBE+∠EBC=90°
。
通过OA=OB,CE=CB,∠AED=∠BEC,可将∠OBE、∠EBC分别转化为∠A、∠AED,结合CD⊥OA可证∠OBE+∠EBC=90°
;
(2)连接OF,由CD垂直平分OA得AF=OF=OA,再结合圆心角与圆周角关系易求∠ABF的度数;
,∴
(3)作CG⊥BE于G,得∠A=∠ECG,CG是BE垂直平分线,由CD=15,BE=10,sinA=,可求EG、CE、CG、DE长度,通过△ADE∽△CGE可求AD,从而计算半径OA。
连接OB。
∵OA=OB,∴∠A=∠OBE。
∵CE=CB,∴∠CEB=∠EBC,∵∠AED=∠EBC,∴∠AED=∠EBC,又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°
,∴BC⊙O是的切线;
(2)∵CD垂直平分OA,∴OF=AF,又OA=OF,∴OA=OF=AF,∴∠O=60°
,∴∠ABF=30°
(3)作CG⊥BE于G,则∠A=∠ECG。
∵CE=CB,BD=10,∴EG=BG=5,∵sinECG=sinA=,∴CE=13,CG=12.又CD=15,∴DE=2。
∵ADE∽△CGE,∴,即,∴AD=,∴OA=,即⊙O的半径是。
【点评】本题将多个知识点结合在一起,问题设计层层递进,梯度鲜明,是一道中档偏上的题,有一定区分度.我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形,以及在不能直接根据已知条件解决问题时,要学会运用转化的思想。
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- 中考 数学 锐角三角 函数 综合 训练