人教版初中数学推理与证明习题文档格式.doc
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如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°
,∠OAB=∠OCD=30°
,连接AC交BD的延长线于点M,请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由;
(3)拓展延伸
在
(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长。
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3.如图,在正方形ABCD中,点G在边BC上(不与点B,C重合),连接AG,作DE⊥AG,于点E,BF⊥AG于点F,设。
(1)求证:
AE=BF;
(2)连接BE,DF,设∠EDF=,∠EBF=求证:
(3)设线段AG与对角线BD交于点H,△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2,求的最大值.
3.【答案】
(1)因为四边形ABCD是正方形,所以∠BAF+∠EAD=90°
,又因为DE⊥AG,所以∠EAD+∠ADE=90°
,所以∠ADE=∠BAF,
又因为BF⊥AG,所以∠DEA=∠AFB=90°
,
又因为AD=AB所以Rt△DAE≌Rt△ABF,所以AE=BF
(2)易知Rt△BFG∽Rt△DEA,所以在Rt△DEF和Rt△BEF中,tanα=,tanβ=
所以ktanβ=====tanα所以
(3)设正方形ABCD的边长为1,则BG=k,所以△ABG的面积等于k因为△ABD的面积等于
又因为=k,所以S1=
所以S2=1-k-=所以=-k2+k+1=≤
因为0<k<1,所以当k=,即点G为BC中点时,有最大值
【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形
【解析】【分析】
(1)根据正方形的性质及垂直的定义,可证得∠ADE=∠BAF,∠ADE=∠BAF及AD=AB,利用全等三角形的判定,可证得Rt△DAE≌Rt△ABF,从而可证得结论。
(2)根据已知易证Rt△BFG∽Rt△DEA,得出对应边成比例,再在Rt△DEF和Rt△BEF中,根据锐角三角函数的定义,分别表示出tanα、tanβ,从而可推出tanα=tanβ。
(3)设正方形ABCD的边长为1,则BG=k,分别表示出△ABG、△ABD的面积,再根据=k,求出S1及S2,再求出S1与S2之比与k的函数解析式,求出顶点坐标,然后根据k的取值范围,即可求解。
4.如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点E、F分别在边AB、CD上,将正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A、D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,设BE=x,
(1)当AM=时,求x的值;
(2)随着点M在边AD上位置的变化,△PDM的周长是否发生变化?
如变化,请说明理由;
如不变,请求出该定值;
(3)设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求出S的最小值.
【答案】
(1)解:
由折叠性质可知:
BE=ME=x,∵正方形ABCD边长为1
∴AE=1-x,在Rt△AME中,∴AE2+AM2=ME2,即(1-x)2+=x2,解得:
x=.
(2)解:
△PDM的周长不会发生变化,且为定值2.连接BM、BP,过点B作BH⊥MN,
∵BE=ME,∴∠EBM=∠EMB,
又∵∠EBC=∠EMN=90°
,即∠EBM+∠MBC=∠EMB+∠BMN=90°
,∴∠MBC=∠BMN,
又∵正方形ABCD,∴AD∥BC,AB=BC,∴∠AMB=∠MBC=∠BMN,
在Rt△ABM和Rt△HBM中,
∵,
∴Rt△ABM≌Rt△HBM(AAS),∴AM=HM,AB=HB=BC,
在Rt△BHP和Rt△BCP中,
∴Rt△BHP≌Rt△BCP(HL),∴HP=CP,
又∵C△PDM=MD+DP+MP,=MD+DP+MH+HP,=MD+DP+AM+PC,=AD+DC,=2.
∴△PDM的周长不会发生变化,且为定值2.
(3)解:
过F作FQ⊥AB,连接BM,
∠BEF=∠MEF,BM⊥EF,
∴∠EBM+∠BEF=∠EMB+∠MEF=∠QFE+∠BEF=90°
∴∠EBM=∠EMB=∠QFE,
在Rt△ABM和Rt△QFE中,
∴Rt△ABM≌Rt△QFE(ASA),∴AM=QE,
设AM长为a,在Rt△AEM中,∴AE2+AM2=EM2,
即(1-x)2+a2=x2,∴AM=QE=,∴BQ=CF=x-,
∴S=(CF+BE)×
BC,=(x-+x)×
1,=(2x-),
又∵(1-x)2+a2=x2,
∴x==AM=BE,BQ=CF=-a,
∴S=(-a+)×
1,=(a2-a+1),=(a-)2+,
∵0<
a<
1,∴当a=时,S最小值=.
【考点】二次函数的最值,全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质,翻折变换(折叠问题)
(1)由折叠性质可知BE=ME=x,结合已知条件知AE=1-x,在Rt△AME中,根据勾股定理得(1-x)2+=x2,解得:
(2)△PDM的周长不会发生变化,且为定值2.连接BM、BP,过点B作BH⊥MN,根据折叠性质知BE=ME,由等边对等角得∠EBM=∠EMB,由等角的余角相等得∠MBC=∠BMN,由全等三角形的判定AAS得Rt△ABM≌Rt△HBM,根据全等三角形的性质得AM=HM,AB=HB=BC,又根据全等三角形的判定HL得Rt△BHP≌Rt△BCP,根据全等三角形的性质得HP=CP,由三角形周长和等量代换即可得出△PDM周长为定值2.
(3)过F作FQ⊥AB,连接BM,由折叠性质可知:
∠BEF=∠MEF,BM⊥EF,由等角的余角相等得∠EBM=∠EMB=∠QFE,由全等三角形的判定ASA得Rt△ABM≌Rt△QFE,据全等三角形的性质得AM=QE;
设AM长为a,在Rt△AEM中,根据勾股定理得(1-x)2+a2=x2,从而得AM=QE=,
BQ=CF=x-,根据梯形得面积公式代入即可得出S与x的函数关系式;
又由(1-x)2+a2=x2,得x==AM=BE,BQ=CF=-a(0<
1),代入梯形面积公式即可转为关于a的二次函数,配方从而求得S的最小值.
5.如图,在直角坐标系中,菱形的边在轴正半轴上,点,在第一象限,,边长.点从原点出发沿轴正半轴以每秒个单位长的速度作匀速运动,点从出发沿边以每秒个单位长的速度作匀速运动.过点作直线垂直于轴并交折线于,交对角线于,点和点同时出发,分別沿各自路线运动,点运动到原点时,和两点同时停止运动.
(1)当时,求线段的长;
(2)当为何值时,点与重合;
(3)设的面积为,求与的函数关系式及的取值范围.
5.解:
(1)在菱形中,,,当时,
,,,.
(2)当时,,时,到达点,到达点,点,在边上相遇.设秒时,重合,则,.
即秒时,,重合.
(3)①当时,且,,
②当时,,
③当时,,
④当时,
,到距离为,
到距离为,,,
综上与的函数关系式为
(注:
在第-段定义域写为,第二段函数的定义域写为照样给满分)
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