最新人教版九年级数学知识点总结(2017)Word下载.doc
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⑷若等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
21.2.2公式法
知识点一公式法解一元二次方程
(1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为x=,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
(2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
(3)公式法解一元二次方程的具体步骤:
①方程化为一般形式:
ax2+bx+c=0(a≠0),一般a化为正值
②确定公式中a,b,c的值,注意符号;
③求出b2-4ac的值;
④若b2-4ac≥0,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,则方程无实数根(有虚数根--高中学)。
知识点二一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,
即△=b2-4ac.
△>0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
根的
判别式
△=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
△<0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
21.2.3因式分解法
知识点一因式分解法解一元二次方程
(1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法。
(2)因式分解法的详细步骤:
①移项,将所有的项都移到左边,右边化为0;
②把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式;
③令每一个因式分别为零,得到一元一次方程;
④解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二用合适的方法解一元一次方程
方法名称
理论依据
适用范围
直接开平方法
平方根的意义
形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
因式分解法
当ab=0,则a=0或b=0
一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=,,x1x2=
21.3实际问题与一元二次方程
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)审:
是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的等量关系。
(2)设:
是指设元,也就是设出未知数。
(3)列:
就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。
(4)解:
就是解方程,求出未知数的值。
(5)验:
是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
(6)答:
写出答案。
知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型
(1)数字问题
三个连续整数:
若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-1,x+1。
三个连续偶数(奇数):
若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法:
设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是100a+10b+c.
(2)增长率问题
设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低
后的等量关系为a
(1)2=b。
(3)利润问题
利润问题常用的相等关系式有:
①总利润=总销售价-总成本;
②总利润=单位利润×
总销
售量;
③利润=成本×
利润率
(4)图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数
式表示出来,建立一元二次方程。
22.二次函数知识点归纳
一、相关概念及定义
1二次函数的概念:
一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:
和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2二次函数的结构特征:
(1)等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
(2)是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
二、二次函数各种形式之间的变换
1二次函数用配方法可化成:
的形式,其中.
2二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①;
②;
③;
④;
⑤.
三、二次函数解析式的表示方法
1一般式:
(,,为常数,);
2顶点式:
3两根式:
(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
4注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
四、二次函数图象的画法
1五点绘图法:
利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:
顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
2画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
五、二次函数的性质
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大;
时,随的增大而减小;
时,有最小值.
向下
时,有最大值.
六、二次函数的性质
七、二次函数的性质:
X=h
八、二次函数的性质
九、抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
1的符号决定抛物线的开口方向:
当时,开口向上;
当时,开口向下;
相等,抛物线的开口大小、形状相同.
2对称轴:
平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.
3顶点坐标:
4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
十、抛物线中,与函数图像的关系
1二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴当时,抛物线开口向上,越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵当时,抛物线开口向下,越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
总结:
3常数项
⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法
1公式法:
,∴顶点是,对称轴是直线.
2配方法:
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.
3运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
十二、用待定系数法求二次函数的解析式
1一般式:
.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
2顶点式:
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
3交点式:
已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:
.
十三、直线与抛物线的交点
1轴与抛物线得交点为(0,).
2与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
3抛物线与轴的交点:
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
4平行于轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
5一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点;
③方程组无解时与没有交点.
6抛物线与轴两交点之间的距离:
若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故
十四、二次函数图象的对称:
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1关于轴对称
关于轴对称后,得到的解析式是;
关于轴对称后,得到的解析式是;
2关于轴对称
3关于原点对称
关于原点对称后,得到的解析式是;
4关于顶点对称
关于顶点对称后,得到的解析式是;
关于顶点对称后,得到的解析式是.
5关于点对称
关于点对称后,得到的解析式是
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
十五、二次函数图象的平移
1.平移步骤:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;
值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
1.三点式。
(1)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(,0),B(,0),C(0,-3)三点,求抛物线的解析式。
(2)已知抛物线y=a(x-1)2+4,经过点A(2,3),求抛物线的解析式。
2.顶点式。
(1)已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A(2,1),求抛物线的解析式。
(1)已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。
3.交点式。
(1)已知抛物线与x轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
(2)已知抛物线线与x轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。
4.定点式。
(1)在直角坐标系中,不论a取何值,抛物线经过x轴上一定点Q,直线经过点Q,求抛物线的解析式。
(2)抛物线y=x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。
(3)抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。
5.平移式。
(1)把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到抛物线y=a(x-h)2+k,求此抛物线解析式。
(2)抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.
6.距离式。
(1)抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。
(2)已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点,与轴交于C点,且AB=BC,求此抛物线的解析式。
7.对称轴式。
(1)抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍,求抛物线的解析式。
(2)已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B(点A在点B左边)两点,交y轴于点C,且OB-OA=OC,求此抛物线的解析式。
8.对称式。
(1)平行四边形ABCD对角线AC在x轴上,且A(-10,0),AC=16,D(2,6)。
AD交y轴于E,将三角形ABC沿x轴折叠,点B到B1的位置,求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
(2)求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴(或x轴)对称的抛物线的解析式。
9.切点式。
(1)已知直线y=ax-a2(a≠0)与抛物线y=mx2有唯一公共点,求抛物线的解析式。
(2)直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A(2,1),求抛物线的解析式。
10.判别式式。
(1)已知关于X的一元二次方程(m+1)x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根,求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。
(2)已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
23旋转
23.1图形的旋转
知识点一旋转的定义
在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,就叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二旋转的性质
旋转的特征:
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前后的图形全等。
理解以下几点:
(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
(2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等。
(3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置。
知识点三利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质:
(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(2)对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为:
①连:
即连接图形中每一个关键点与旋转中心;
②转:
即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)
③截:
即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;
④接:
即连接到所连接的各点。
23.2中心对称
知识点一中心对称的定义
中心对称:
把一个图形绕着某一个点旋转180°
,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。
注意以下几点:
中心对称指的是两个图形的位置关系;
只有一个对称中心;
绕对称中心旋转180°
两个图形能够完全重合。
知识点二作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形,关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。
最后将对称点按照原图形的形状连接起来,即可得出成中心对称图形。
知识点三中心对称的性质
有以下几点:
(1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心平分;
(2)关于中心对称的两个图形能够互相重合,是全等形;
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或共线)且相等。
知识点四中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°
,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
知识点五关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中,如果两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)。
24圆
24.1圆
24.1.1圆
知识点一圆的定义
圆的定义:
第一种:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。
固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。
第二种:
圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知:
第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。
知识点二圆的相关概念
(1)弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。
(2)弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(3)等圆:
等够重合的两个圆叫做等圆。
(4)等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。
24.1.2垂直于弦的直径
知识点一圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二垂径定理
C
M
A
B
D
(1)垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
如图所示,直径为CD,AB是弦,且CD⊥AB,
AM=BM
垂足为MAC=BC
AD=BD
垂径定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
如上图所示,直径CD与非直径弦AB相交于点M,
CD⊥AB
AM=BMAC=BC
AD=BD
注意:
因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。
24.1.3弧、弦、圆心角
知识点弦、弧、圆心角的关系
(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。
(3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。
24.1.4圆周角
知识点一圆周角定理
(1)圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
(2)圆周角定理的推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°
的圆周角所对弦是直径。
(3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。
“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的,否则就不成立了,因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点二圆内接四边形及其性质
圆内接多边形:
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质:
圆内接四边形的对角互补。
24.2点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1点和圆的位置关系
知识点一点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有:
点在圆外,点在圆上,点在圆内三种。
(2)用数量关系表示:
若设⊙O的半径是r,点P到圆的距离OP=d,则有:
点P在圆外d>r;
点p在圆上d=r;
点p在圆内d<r
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