中考翻折问题答案解析Word下载.doc
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如图③,在四边形ABCD中,∠B=120°
,∠D=90°
,AB=BC,AD=DC,连接AC,点E是CD上一点,沿AE折叠,使得点D正好落在AC上的F处,若BC=,直接写出DE的长.
8.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,联结BP、BH.
∠APB=∠BPH;
(2)求证:
AP+HC=PH;
(3)当AP=1时,求PH的长.
9.如图,折叠矩形纸片ABCD,使点B落在AD边上一点E处,折痕的两端点分别在边AB,BC上(含端点),且AB=6,BC=10,设AE=x.
(1)当BF的最小值等于 时,才能使点B落在AD上一点E处;
(2)当点F与点C重合时,求AE的长;
(3)当AE=3时,点F离点B有多远?
10.如图,三角形纸片中,AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm.沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,求△ADE的周长.
11.【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板,如何作15°
大小的角呢?
【实践操作】如图.
第一步:
对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开,得到AD∥EF∥BC.
第二步:
再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,得到折痕BM.折痕BM与折痕EF相交于点P.连接线段BN,PA,得到PA=PB=PN.
【问题解决】
(1)求∠NBC的度数;
(2)通过以上折纸操作,还得到了哪些不同角度的角?
请你至少再写出两个(除∠NBC的度数以外).
(3)你能继续折出15°
大小的角了吗?
说说你是怎么做的.
12.已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,点E、F分别在边AD、BC上,连接B、E,D、F.分别把Rt△BAE和Rt△DCF沿BE,DF折叠成如图所示位置.
(1)若得到四边形BFDE是菱形,求AE的长.
(2)若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线BD上,求AE的长.
13.如图1,矩形纸片ABCD的边长AB=4cm,AD=2cm.同学小明现将该矩形纸片沿EF折痕,使点A与点C重合,折痕后在其一面着色(如图2),观察图形对比前后变化,回答下列问题:
(1)GF FD:
(直接填写=、>、<)
(2)判断△CEF的形状,并说明理由;
(3)小明通过此操作有以下两个结论:
①四边形EBCF的面积为4cm2
②整个着色部分的面积为5.5cm2
运用所学知识,请论证小明的结论是否正确.
14.操作:
准备一张长方形纸,按下图操作:
(1)把矩形ABCD对折,得折痕MN;
(2)把A折向MN,得Rt△AEB;
(3)沿线段EA折叠,得到另一条折痕EF,展开后可得到△EBF.
探究:
△EBF的形状,并说明理由.
15.1)如图1,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCDE内点A′的位置,若∠A=40°
,求∠1+∠2的度数;
(2)通过
(1)的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系?
请写出这个数量关系,并说明这个数量关系的正确性;
(3)将图1中△ABC纸片的三个内角都进行同样的折叠.
①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时,如图2,则图中∠α+∠β+∠γ= ;
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ;
②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合,如图3,则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立?
请说明你的理由.
16.如图,长方形纸片ABCD,点E、F分别在边AB、CD上,连接EF,将∠BEF对折,点B落在直线EF上的B′处,得到折痕EC,将点A落在直线EF上的点A′处,得到折痕EN.
(1)若∠BEB′=110°
,则∠BEC= °
,∠AEN= °
,∠BEC+∠AEN= °
.
(2)若∠BEB′=m°
,则
(1)中∠BEC+∠AEN的值是否改变?
(3)将∠ECF对折,点E刚好落在F处,且折痕与B′C重合,求∠DNA′.
17.如图△ABC中,∠B=60°
,∠C=78°
,点D在AB边上,点E在AC边上,且DE∥BC,将△ADE沿DE折叠,点A对应点为F点.
(1)若点A落在BC边上(如图1),求证:
△BDF是等边三角形;
(2)若点A落在三角形外(如图2),且CF∥AB,求△CEF各内角的度数.
18.如图1,四边形OABC中,OA=a,OC=3,BC=2,∠AOC=∠BCO=90°
,经过点O的直线l将四边形分成两部分,直线l与
OC所成的角设为θ,将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠,点C落在点D处(如图1).
(1)若折叠后点D恰为AB的中点(如图2),则θ= ;
(2)若θ=45°
,四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后,点B落在点四边形OABC的边AB上的E处(如图3),求a的值.
19.在△ABC中,∠C=90°
,AC=6,BC=8,D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点,把△ABC沿着直线DE折叠,顶点B的对应点是B′.
(1)如图
(1),如果点B′和顶点A重合,求CE的长;
(2)如图
(2),如果点B′和落在AC的中点上,求CE的长.
20.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和D重合,折痕为EF.
(1)连接BE,求证:
四边形BFDE是菱形;
(2)若AB=8cm,BC=16cm,求线段DF和EF的长.
21.如图,矩形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度沿线段AB向点B运动,连接DP,把∠A沿DP折叠,使点A落在点A′处.求出当△BPA′为直角三角形时,点P运动的时间.
22.在矩形ABCD中,=a,点G,H分别在边AB,DC上,且HA=HG,点E为AB边上的一个动点,连接HE,把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE.如图1,当DH=DA时,
(1)填空:
∠HGA= 度;
(2)若EF∥HG,求∠AHE的度数,并求此时a的最小值;
23.如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,点B落在A1处.剪掉重叠部分;
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,点B1落在A2处.剪掉重叠部分;
…;
将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一:
如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;
情形二:
如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
(1)情形二中,∠B与∠C的等量关系 .
(2)若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C的等量关系 .
(3)如果一个三角形的最小角是4°
,直接写出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
答:
.
24.在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形纸片折叠,使点B与点D重合(如图),
(1)求证:
四边形BEDF是菱形;
(2)求折痕EF的长.
25.如图1,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK,KB交MN于O.
(1)若∠1=80°
,求∠MKN的度数;
(2)当B与D重合时,画出图形,并求出∠KON的度数;
(3)△MNK的面积能否小于2?
若能,求出此时∠1的度数;
若不能,试说明理由.
26.七年级科技兴趣小组在“快乐星期四”举行折纸比赛,折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面):
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为26厘米,回答下列问题:
(1)如果长方形纸条的宽为2厘米,并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米,那么在图②中,BM= 厘米;
在图④中,BM= 厘米.
(2)如果信纸折成的长方形纸条宽为2cm,为了保证能折成图④形状(即纸条两端均刚好到达点P),纸条长至少多少厘米?
纸条长最小时,长方形纸条面积是多少?
(3)如果不但要折成图④的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点P的长度相等,即最终图形是对称图形,假设长方形纸条的宽为x厘米,试求在开始折叠时(图①)起点M与点A的距离(用含x的代数式表示).(温馨提示:
别忘了用草稿纸来折一折哦!
)
27.将四张形状,大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形,请仔细观察重叠部分的图形特征,并解决下列问题:
(1)观察图①,②,③,④,∠1和∠2有怎样的关系?
并说明你的依据.
(2)猜想图③中重叠部分图形△MBD的形状(按边),验证你的猜想.
(3)若图④中∠1=60°
,猜想重叠部分图形△MEF的形状(按边),验证你的猜想.
28.如图,长方形纸片ABCD中,AB=10,将纸片折叠,使顶点B落在边AD上的E点处,折痕的一端G点在边BC上.
(1)如图
(1),当折痕的另一端F在AB边上且AE=5时,求AF的长;
(2)如图
(2),当折痕的另一端F在AD边上且BG=13时,求AF的长.
29.矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的B′处,再沿B′G折叠四边形,使B′D边与B′F重合,且B′D′过点F.已知AB=4,AD=1
(1)试探索EF与B′G的位置关系,并说明理由;
(2)若四边形EFGB′是菱形,求∠BFE的度数;
(3)若点D′与点F重合,求此时图形重叠部分的面积.
30.
(1)操作发现:
,点D是BC上一点,沿AD折叠△ADC,使得点C恰好落在AB上的点E处,请写出AB、AC、CD之间的关系
,AB=BC,AD=DC,连接AC,点E是CD上一点,沿AE折叠,使得点D正好落在AC上的点F处,若BC=3,直接写出DE的长.
翻折问题---解答题综合
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
1.(2016•安徽模拟)△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中,A(0,﹣3),B(﹣2,0),O是坐标原点.
(2)若点M(x,y)在△AOB上,则它随上述两次变换后得到点M1,则点M1的坐标是 (x+3,﹣y) .
【分析】
(1)首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置,再向右平移3个单位找到对应点位置,然后再连接即可;
(2)根据关于x轴对称的点的坐标特点:
横坐标不变,纵坐标相反可得点M(x,y)关于x轴的对称图形上的点的坐标为(x,﹣y),再向右平移3个单位,点的横坐标+3,纵坐标不变.
【解答】解:
(1)如图所示:
(2)点M(x,y)关于x轴的对称图形上的点的坐标为(x,﹣y),再向右平移3个单位得到点M1的坐标是(x+3,﹣y).
故答案为:
(x+3,﹣y).
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换和轴对称变换,关键是掌握点的坐标的变化规律.
2.(2016•贵阳模拟)
(1)数学课上,老师出了一道题,如图①,Rt△ABC中,∠C=90°
(1)Rt△ABC中,根据sinB═=,即可证明∠B=30°
;
(2)求出∠FA′D的度数,利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数,在Rt△A'
FD中求出A'
F,得出A'
E,在Rt△A'
EG中可求出A'
G,利用翻折变换的性质可得出AG的长度.
(3)先判断出AD=AC,得出∠ACD=30°
,∠DAC=60°
,从而求出AD的长度,根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°
,在Rt△ADF中求出DF,继而得出FO,同理可求出EO,再由EF=EO+FO,即可得出答案.
【解答】
(1)证明:
Rt△ABC中,∠C=90°
,,
∵sinB==,
∴∠B=30°
(2)解:
∵正方形边长为2,E、F为AB、CD的中点,
∴EA=FD=×
边长=1,
∵沿过点D的抓痕将纸片翻折,使点A落在EF上的点A′处,
∴A′D=AD=2,
∴=,
∴∠FA′D=30°
,
可得∠FDA′=90°
﹣30°
=60°
∵A沿GD折叠落在A′处,
∴∠ADG=∠A′DG,AG=A′G,
∴∠ADG===15°
∵A′D=2,FD=1,
∴A′F==,
∴EA′=EF﹣A′F=2﹣,
∵∠EA′G+∠DA′F=180°
﹣∠GA′D=90°
∴∠EA′G=90°
﹣∠DA′F=90°
∴∠EGA′=90°
﹣∠EA′G=90°
﹣60°
=30°
则A′G=AG=2EA′=2(2﹣);
(3)解:
∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O,
∴AO=AD=CB=CO,
∴DA=,
∵∠D=90°
∴∠DCA=30°
∵AB=CD=6,
在Rt△ACD中,=tan30°
则AD=DC•tan30°
=6×
=2,
∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°
∴=tan30°
=,
∴DF=AD=2,
∴DF=FO=2,
同理EO=2,
∴EF=EO+FO=4.
【点评】本题考查了翻折变换的知识,涉及了含30°
角的直角三角形的性质、平行四边形的性质,综合考察的知识点较多,注意将所学知识融会贯通.
3.(2016•贵阳模拟)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是射线CB上的一个动点,把△DCE沿DE折叠,点C的对应点为C′.
(1)若点C′刚好落在对角线BD上时,BC′= 4 ;
(1)根据点B,C′,D在同一直线上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可;
(2)利用垂直平分线的性质得出CC′=DC′=DC,则△DC′C是等边三角形,进而利用勾股定理得出答案;
(3)利用①当点C′在矩形内部时,②当点C′在矩形外部时,分别求出即可.
(1)如图1,∵点B,C′,D在同一直线上,
∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4;
4;
(2)如图2,连接CC′,
∵点C′在AB的垂直平分线上,
∴点C′在DC的垂直平分线上,
∴CC′=DC′=DC,则△DC′C是等边三角形,
设CE=x,易得DE=2x,
由勾股定理得:
(2x)2﹣x2=62,
解得:
x=2,
即CE的长为2;
(3)作AD的垂直平分线,交AD于点M,交BC于点N,分两种情况讨论:
①当点C′在矩形内部时,如图3,
∵点C′在AD的垂直平分线上,
∴DM=4,
∵DC′=6,
MC′=2,
∴NC′=6﹣2,
设EC=y,则C′E=y,NE=4﹣y,
故NC′2+NE2=C′E2,
即(6﹣2)2+(4﹣y)2=y2,
y=9﹣3,
即CE=9﹣3;
②当点C′在矩形外部时,如图4,
∴NC′=6+2,
设EC=z,则C′E=a,NE=z﹣4
即(6+2)2+(z﹣4)2=z2,
z=9+3,
即CE=9+3,
综上所述:
CE的长为9±
3.
【点评】此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识;
利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键.
4.(2015•南充)如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合;
(1)由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°
,由折叠的性质和等角的余角相等,可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC,所以△AMP∽△BPQ∽△CQD;
(2)先证明MD=MQ,然后根据sin∠DMF==,设DF=3x,MD=5x,表示出AP、BP、BQ,再根据△AMP∽△BPQ,列出比例式解方程求解即可.
(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=90°
根据折叠的性质可知:
∠APM=∠EPM,∠EPQ=∠BPQ,
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°
∵∠APM+∠AMP=90°
∴∠BPQ=∠AMP,
∴△AMP∽△BPQ,
同理:
△BPQ∽△CQD,
根据相似的传递性,△AMP∽△CQD;
(2)∵AD∥BC,
∴∠DQC=∠MDQ,
∠DQC=∠DQM,
∴∠MDQ=∠DQM,
∴MD=MQ,
∵AM=ME,BQ=EQ,
∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM,
∵sin∠DMF==,
∴设DF=3x,MD=5x,
∴BP=PA=PE=,BQ=5x﹣1,
∵△AMP∽△BPQ,
∴,
x=(舍)或x=2,
∴AB=6.
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用,在求AB长的问题中,关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式.
5.(2015•漳州)如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将该矩形沿AE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作分、FG∥CD,交AE于点G连接DG.
(1)根据折叠的性质,易知DG=FG,ED=EF,∠1=∠2,由FG∥CD,可得∠1=∠3,易证FG=FE,故由四边相等证明四边形DEFG为菱形;
(2)在Rt△EFC中,用勾股定理列方程即可CD、CE,从而求出的值.
由折叠的性质可知:
DG=FG,ED=EF,∠1=∠2,
∵FG∥CD,
∴∠2=∠3,
∴FG=FE,
∴DG=GF=EF=DE,
∴四边形DEFG为菱形;
设DE=x,根据折叠的性质,EF=DE=x,EC=8﹣x,
在Rt△EFC中,FC2+EC2=EF2,
即42+(8﹣x)2=x2,
x=5,CE=8﹣x=3,
∴=.
【点评】本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理,熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键.
6.(2015•江西校级模拟)如图1,一张菱形纸片EHGF,点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点,连接AD、DC、CB、AB、DB,且AD=,AB=;
(1)由对折可知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,利用等角关系可求出∠BAD=90°
,同理可求出∠ADC=∠ABC=90°
.即可得出四边形ADCB是矩形.
(2)由对折可知S菱形EHGF=2S矩形ADCB即可求出EHGF的面积,由对折可得出点A,C为中点,连接AC,得FG=AC=BD.利用勾股定理就可得出边长.
由对折可知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,
∴2(∠PAB+∠PAD)=180°
即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°
同理可得,∠ADC=∠ABC=90°
∴四边形ADCB是矩形.
由对折可知:
△AEB≌△APB,
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