圆(全)知识点习题及答案Word文档格式.doc
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垂径定理及推论:
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.
(5)平行弦夹的弧相等.
5.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心:
是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.
(2)三角形的外心:
是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.
(3)三角形重心:
是三角形三边中线的交点,在三角形内部;
它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示.
(4)垂心:
是三角形三边高线的交点.
6.切线的判定、性质:
(1)切线的判定:
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质:
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长:
从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理:
从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
7.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.
8.直线和圆的位置关系:
设⊙O半径为R,点O到直线l的距离为d.
(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>
R.
(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R.
(3)直线l和⊙O有两个公共点直线l和⊙O相交d<
9.圆和圆的位置关系:
设的半径为R、r(R>
r),圆心距.
(1)没有公共点,且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>
R+r.
(2)没有公共点,且的每一个点都在外部内含d<
R-r
(3)有唯一公共点,除这个点外,每个圆上的点都在另一个圆外部外切d=R+r.
(4)有唯一公共点,除这个点外,的每个点都在内部内切d=R-r.
(5)有两个公共点相交R-r<
10.两圆的性质:
(1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点.
11.圆中有关计算:
圆的面积公式:
,周长C=2πR.
圆心角为n°
、半径为R的弧长.
,半径为R,弧长为l的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为l的圆柱的体积为,侧面积为2πRl,全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为l,高为h的圆锥的侧面积为πRl,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
一、知识点
1、与圆有关的角——圆心角、圆周角
(1)图中的圆心角;
圆周角;
(2)如图,已知∠AOB=50度,则∠ACB=度;
(3)在上图中,若AB是圆O的直径,则∠AOB=度;
3、点和圆的位置关系有三种:
点在圆,点在圆,点在圆;
例:
已知圆的半径r等于5厘米,点到圆心的距离为d,
(1)当d=2厘米时,有dr,点在圆
(2)当d=7厘米时,有dr,点在圆
(3)当d=5厘米时,有dr,点在圆
4、直线和圆的位置关系有三种:
相、相、相.
已知圆的半径r等于12厘米,圆心到直线l的距离为d,
(1)当d=10厘米时,有dr,直线l与圆
(2)当d=12厘米时,有dr,直线l与圆
(3)当d=15厘米时,有dr,直线l与圆
5、圆与圆的位置关系:
已知⊙O1的半径为6厘米,⊙O2的半径为8厘米,圆心距为d,
则:
R+r=,R-r=;
(1)当d=14厘米时,因为dR+r,则⊙O1和⊙O2位置关系是:
(2)当d=2厘米时,因为dR-r,则⊙O1和⊙O2位置关系是:
(3)当d=15厘米时,因为,则⊙O1和⊙O2位置关系是:
(4)当d=7厘米时,因为,则⊙O1和⊙O2位置关系是:
(5)当d=1厘米时,因为,则⊙O1和⊙O2位置关系是:
6、切线性质:
(1)如图,PA是⊙O的切线,点A是切点,则∠PAO=度
(2)如图,PA、PB是⊙O的切线,点A、B是切点,
则=,∠=∠;
7、圆中的有关计算
(1)弧长的计算公式:
若扇形的圆心角为60°
,半径为3,则这个扇形的弧长是多少?
解:
因为扇形的弧长=
所以==(答案保留π)
(2)扇形的面积:
例6:
①若扇形的圆心角为60°
,半径为3,则这个扇形的面积为多少?
(3)圆锥:
圆锥的母线长为5cm,半径为4cm,则圆锥的侧面积是多少?
∵圆锥的侧面展开图是形,展开图的弧长等于
∴圆锥的侧面积=
8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点;
三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点;
基础练习一。
1.⊙O的半径为6,线段OP的长度为8,则点P与圆的位置关系是().
A.点在圆上B.点在圆外C.点在圆内D.无法确定
2.如图,DE是⊙O直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则CD=________,OC=_________.
图2图3
3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=,则∠BCD= ( )
A.B.C.D.
4.如图,AB是⊙O的直径,BC、CD、DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD=( )
A.105°
B.120°
C.135°
D.150°
图4
5.如果一个圆的半径是8cm,圆心到一条直线的距离也是8cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.不能确定
6.下列命题正确的是()
A.经过半径外端的直线是圆的切线
B.直线和圆有公共点,则直线和圆相交
C.过圆上一点有且只有一条圆的切线
D.圆的切线垂直于半径
7.如图,PA切⊙O于点A,若∠APO=30°
,OP=2,则⊙O半径是()
A. B.1 C.2 D.4
8.圆心距为2的两圆相切,其中一个圆的半径为1,则另一个圆的半径为( )
A.1
B.3
C.1或2
D.1或3
1.答案:
B知识点:
点与圆的位置关系中考中占的分值3
2.答案:
3,1知识点:
垂径定理及其推论中考中占的分值3
3.答案:
与圆有关的角中考中占的分值3
4.答案:
圆心角、弧、弦、弦心距的关系
中考中占的分值3
5.答案:
C知识点:
直线和圆的位置关系中考中占的分值3
6.答案:
切线的判定方法中考中占的分值3
7.答案:
B知识点:
圆的切线的性质中考中占的分值3
8.答案:
D知识点:
两圆的五种位置关系
圆的练习
一、选择题
1.下列三个命题:
①圆既是轴对称图形又是中心对称图形;
②垂直于弦的直径平分弦;
③相等的圆心角所对的弧相等.其中真命题的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
2.下列命题中,正确的个数是( )
⑴直径是弦,但弦不一定是直径;
⑵半圆是弧,但弧不一定是半圆;
⑶半径相等的两个圆是等圆;
⑷一条弦把圆分成的两段弧中,至少有一段是优弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如果两个圆心角相等,那么( )
A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等
C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对
4.⊙O中,∠AOB=∠84°
,则弦AB所对的圆周角的度数为( )
A.42°
B.138°
C.69°
D.42°
或138°
5.如图,已知A、B、C是⊙O上的三点,若∠ACB=44°
.则∠AOB的度数为( )
A.44°
B.46°
C.68°
D.88°
6.如图,如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,错误的是( )
A.CE=DE
B.
C.∠BAC=∠BAD
D.AC>AD
7.如图,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是( )
A.4
B.6
C.7
D.8
8.如图,A、B、C三点在⊙O上,∠AOC=100°
,则∠ABC等于( )
A.140°
B.110°
C.120°
D.130°
9.如图,⊙O的直径CD垂直于弦EF,垂足为G,若∠EOD=40°
则∠DCF等于( )
A.80°
B.50°
C.40°
D.20°
10.如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围( )
A.3≤OM≤5
B.4≤OM≤5
C.3<OM<5
D.4<OM<5
二、填空题
1.如图,AB为⊙O直径,E是中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=_____.
2.如图,⊙O中,若∠AOB的度数为56°
,∠ACB=_________.
3.如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠BDC=25°
,则∠BOC=________.
4.如图,等边ΔABC的三个顶点在⊙O上,BD是直径,则∠BDC=________,∠ACD=________.若CD=10cm,则⊙O的半径长为________.
5.如图所示,在⊙O中,AB是⊙O的直径,∠ACB的角平分线CD交⊙O于D,则∠ABD=______度.
6.(山西)如图,在“世界杯”足球比赛中,甲带球向对方球门PQ进攻,当他带球冲到A点时,同样乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式:
第一种是甲直接射门;
第二种是甲将球传给乙,由乙射门.仅从射门角度考虑,应选择________种射门方式.
三、解答题
1.如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD,分别交AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等,说明理由.
2.如图,在⊙O中,C、D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,M、N在⊙O上.
(1)求证:
=;
(2)若C、D分别为OA、OB中点,则成立吗?
3.如图,已知AB=AC,∠APC=60°
(1)求证:
△ABC是等边三角形.
(2)若BC=4cm,求⊙O的面积
基础达标
1.A2.C3.D4.D5.D 6.D7.D8.D9.D10.A
1.82.28°
3.50°
4.60°
,30°
,10cm5.456.第二
1.AN=BM理由:
过点O作OE⊥CD于点E,
则CE=DE,且CN∥OE∥DM.
∴ON=OM,∴OA-ON=OB-OM,
∴AN=BM.
2.
(1)连结OM、ON,在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON,
∵OA=OB,AC=DB,∴OC=OD,∴Rt△OCM≌Rt△ODN,
∴∠AOM=∠BON,∴
(2)
提示:
同上,在Rt△OCM中,,同理
,
.
3.
(1)证明:
∵∠ABC=∠APC=60°
,
又,∴∠ACB=∠ABC=60°
,∴△ABC为等边三角形.
(2)解:
连结OC,过点O作OD⊥BC,垂足为D,
在Rt△ODC中,DC=2,∠OCD=30°
设OD=x,则OC=2x,∴4x2-x2=4,∴OC=
⊙O的面积
圆的基础测试题
一、选择题:
1.有4个命题:
①直径相等的两个圆是等圆;
②长度相等的两条弧是等弧;
③圆中最大的弧是过圆心的弧;
④一条弦把圆分为两条弧,这两条弧不可能是等弧.
其中真命题是…………………………………………………………………()
(A)①③(B)①③④(C)①④(D)①
2.如图,点I为△ABC的内心,点O为△ABC的外心,∠O=140°
,则∠I为()
(A)140°
(B)125°
(C)130°
(D)110°
3.如果正多边形的一个外角等于60°
,那么它的边数为…………………………()
(A)4(B)5(C)6(D)7
4.如图,AB是⊙O的弦,点C是弦AB上一点,且BC︰CA=2︰1,连结OC并延长
交⊙O于D,又DC=2厘米,OC=3厘米,则圆心O到AB的距离为…………()
(A)厘米(B)厘米(C)2厘米(D)3厘米
5.等边三角形的周长为18,则它的内切圆半径是………………………………()
(A)6(B)3(C)(D)
6.如图,⊙O的弦AB、CD相交于点P,PA=4厘米,PB=3厘米,PC=6厘米,EA切⊙O于点A,AE与CD的延长线交于点E,AE=2厘米,则PE的长为()
(A)4厘米(B)3厘米(C)厘米(D)厘米
7.一个扇形的弧长为20p厘米,面积是240p厘米2,则扇形的圆心角是……………()
(A)120°
(B)150°
(C)210°
(D)240°
8.两圆半径之比为2︰3,当两圆内切时,圆心距是4厘米,当两圆外切时,圆心距为()
(A)5厘米(B)11厘米(C)14厘米(D)20厘米
9.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是……()
(A)60°
(B)90°
(C)120°
(D)180°
10.如图,等腰直角三角形AOB的面积为S1,以点O为圆心,OA为半径的弧与以AB
为直径的半圆围成的图形的面积为S2,则S1与S2的关系是………………………()
(A)S1>S2(B)S1<S2(C)S1=S2(D)S1≥S2
11.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和3,两圆相交于点A、B,且AB=2,则
O1O2=______.
12.已知四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形,其周长为20,则梯形的中位线长为_____.
13.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°
,⊙O过A、B两点,且与BC切于点B,
与AC交于D,连结BD,若BC=-1,则AC=______.
14.用铁皮制造一个圆柱形的油桶,上面有盖,它的高为80厘米,底面圆的直径为50厘米,那么这个油桶需要铁皮(不计接缝)厘米2(不取近似值).
15、已知两圆的半径分别为3和7,圆心距为5,则这两个圆的公切线有_____条.
16.如图,以AB为直径的⊙O与直线CD相切于点E,且AC⊥CD,BD⊥CD,
AC=8cm,BD=2cm,则四边形ACDB的面积为______.
17.如图,PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C,⊙O的半径长为6cm,PO=10cm,
则△PDE的周长是_____。
18.一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等,则此正方形与正六边形的面积之比为_______。
19.如图,已知PA与圆相切于点A,过点P的割线与弦AC交于点B,与圆相交于点D、
E,且PA=PB=BC,又PD=4,DE=21,则AB=______.
20.如图,在□ABCD中,AB=4,AD=2,BD⊥AD,以BD为直径的⊙O交AB于E,交CD于F,则□ABCD被⊙O截得的阴影部分的面积为_____。
三、判断题
21.点A、B是半径为r的圆O上不同的两点,则有0<AB≤2r………………()
22.等腰三角形顶角平分线所在直线必过其外接圆的圆心…………………………()
23.直角梯形的四个顶点不在同一个圆上………………………………………()
24.等边三角形的内心与外心重合………………………………………………()
25.两圆没有公共点时,这两个圆外离……………………………………………()
四、解答题与证明题
26.(8分)如图,△ABC内接于⊙O,AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D,
BE与AC相交于点F,且CB=CE,
求证:
(1)BE∥DG;
(2)CB2-CF2=BF·
FE.
27.(8分)如图,⊙O表示一个圆形工件,图中标注了有关尺寸,且MB︰MA=1︰4,
求工件半径的长
28.(8分)已知:
如图
(1),⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,经过A点的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点(C、D不与B重合),连结BD,过点C作BD的平行线交⊙O1于点E,连BE.
(1)求证:
BE是⊙O2的切线;
(2)如图
(2),若两圆圆心在公共弦AB的同侧,其他条件不变,判断BE和⊙O2的位置关系(不要求证明).
图1图2
29.(12分)如图,已知CP为⊙O的直径,AC切⊙O于点C,AB切⊙O于点D,并与CP的延长线相交于点B,又BD=2BP.
(1)PC=3PB;
(2)AC=PC.
30.(14分)如图,已知O是线段AB上一点,以OB为半径的⊙O交线段AB于点C,以线段OA为直径的半圆交⊙O于点D,过点B作AB垂线与AD的延长线交于点E,连结CD.若AC=2,且AC、AD的长是关于x的方程x2-kx+4=0的两个根.
(1)证明AE切⊙O于点D;
(2)求线段EB的长;
(3)求tan∠ADC的值.
九年级圆的基础测试题参考答案
1、 2、3、4、5、6、7、8、9、10、
11、2±
12、513、214、5250p厘米2 15、216、40cm217、16cm18、4︰919、920、.
21、正确22、正确23、正确24、正确25、错误
26、
(1)∵CG为⊙O的切线,
∴∠EBC=∠GCE.
∵CB=CE,∴.
∴∠EBC=∠E.∴∠E=∠GCE.∴GC∥EB.
(2)∵∠EBC=∠E=∠A,∠FCBO为公共角,
∴△CBF∽△CAB.
∴CB2=CF·
CA=CF·
(CF+AF)=CF2+CF·
AF.
由相交弦定理,得CF·
FA=BF·
FE,
∴CB2=CF2+BF·
FE.即CB2-CF2=BF·
27、
18
把OM向两方延长,分别交⊙O于C、D两点.设⊙O的半径为R.
从图中知,AB=15cm.
又MB︰MA=1︰4,
∴MB=×
15=3(cm)
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