易错题之二次函数利润专项技巧与易错点分析Word下载.doc
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A.B.C.1D.E.
(1);
(2);
(3)若,,则;
下面我们主要研究利用二次函数模型解决最值问题。
它解题的一般步骤是:
(1)设定实际问题中的自变量和因变量(即函数);
如在“当AA为何值时,BB最大”的设问中,AA要设为自变量,BB要设为函数。
(2)列出函数与自变量之间的函数关系式;
这里的函数关系式要写成二次函数的顶点式(注意技巧)。
(3)找出自变量的取值范围,保证自变量具有实际意义;
(4)在自变量的取值范围内解答函数最值,并相应地写出答案。
二次函数中的利润型应用题
(一)熟悉基本公式和解题思路:
此类问题常用的公式是:
总利润=单件商品利润×
销售数量
设未知数时,总利润必然是函数y,自变量可能是涨价多少(或降价多少),也可能是最终的售价。
看下面的问题:
例(2015•营口,第16题3分)某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:
当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为 元时,该服装店平均每天的销售利润最大。
【解法一】:
设利润为y元,定价为x元。
根据题意得:
y=(x﹣15)[8+2(25-x)]=(x﹣15)(58-2x)
=﹣2x2+88x﹣870=﹣2(x﹣22)2+98
由x-150且58-2x>
0得15x<
29,x=22在此范围内。
∵a=﹣2<0,
∴抛物线开口向下,
∴当x=22时,y最大值=98.
故答案为:
22.
由于这个问题中存在诸多变量,许多同学想不明白,我看这样想行不行:
单件利润=售价-进价,进价是不变的,而售价现在变为x了,则单件利润就是(x-15)。
而这时数量变化依然是因为降价而造成的,始终有降价2元多卖4件这一关系,所以如果知道了降多少元,就必然知道多卖多少件。
那么降了多少元呢?
最初的售价是25元,降价后的售价是x元,那么之间的差值就是所降的价格,即降价为(25-x)。
我们知道降2元多卖4件,降1元多卖2件,现在降了(25-x)负全部元,那么就应该多卖2×
(25-x)件,注意这只是多卖的,总共卖的应该是原来卖的8件加上多卖的,即8+2(25-x)。
所以数量就是[8+2(25-x)]。
单利润知道了是x-15,销售数量也知道了是8+2(25-x),则总利润y=(x﹣15)[8+2(25-x)]。
【解法二】:
由于本题是一道填空题,所以只要明了二次函数的意义,就可以快速解题:
x﹣15=0得x=15;
58-2x=0得x=29。
其实在这里就已经能求出自变量x的取值范围了(15x<
29)。
下面根据抛物线的对称性,得顶点横坐标为x=22。
【解法三】:
设利润为y元,降价2x元,则定价为(25-2x)元。
y=(25﹣15-2x)(8+4x)=(10-2x)(8+4x)
10-2x=0得x=5;
8+4x=0得x=-2;
下面根据抛物线的对称性,得顶点横坐标为x=1.5。
由10-2x0且8+4x>
0及2x>
0得0<
x5,x=1.5在此范围内。
25-2x=22.
解法三有的同学总是想不好,因为变化的量太多,是吧,这么想:
这里设的是降低的价格,因为降价,所以单利润会有变动,又因为进价不变,那降多少元,利润就减少多少元,降价2x元,利润就减少2x元,所以单利润就减少2x元,即单利润变为:
(25-15-2x)元。
再想销售量:
因为降价卖的就多,那么数量怎么变?
原来一天8件,每降2元多卖4件,降2x元就应该多卖4x件,所以数量就变为:
(8+4x)件
最后得便得到了总利润:
综上三种解法,可以看出第二种解法较迅速并且不易出错。
练习1:
(2015•滨州,第22题10分)一种进价为每件40克的T恤,若销售单价为60元,则每周可卖出300件,为提高利益,就对该T恤进行涨价销售,经过调查发现,每涨价1元,每周要少卖出10件,请确定该T恤涨价后每周销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求出销售单价定为多少元时,每周的销售利润最大?
参考答案:
y=(x﹣40)[300﹣10(x﹣60)]=﹣10x2+1300x﹣36000
练习2:
利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。
当每吨售价为260元时,月销售量为45吨。
该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。
经市场调查发现:
当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨。
综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。
(1)当每吨售价是240元时,月销售量为______;
(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元?
(3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?
(4)小静说:
“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?
请说明理由。
(1)60吨
(2)200元(3)售价定为每吨210元时月利润最大(4)售价定为每吨160元时月销售额最大(用二次函数或举反例均可)
练习3:
某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;
如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)。
设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?
最大的月利润是多少元?
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?
根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?
参考答案注意事项:
(1)y=(50+x-40)(210-10x)=-10(x-5.5)2+2402.5
∵50+x≤65且x>
∴0<
x≤15且x为整数【这里尤其要注意x必须是整数)
∴当x=5或6时(不是5.5),y=2400(元);
50+x=55或56(元)
∴当售价定为每件55或56元,月利润最大,最大的月利润是2400元。
(2)当售价定为每件51或60元,每个月的利润为2200元。
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时,每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时,每个月的利润不低于2200元)。
练习4:
某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元
注意:
“为了投资少而获利大”每次提高2元
总结:
利用二次函数解决最大利润,最大销量等问题,关键是通过题意,确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围。
(二)会处理自变量的取值范围在对称轴一侧的问题
例某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱。
求该批发商平均每天的销售利润y(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?
最大利润是多少?
解答:
y=(x-40)[90-3(x-50)]=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200
∵40≤x≤55,90-3(x-50)>
∴40≤x≤55
∵抛物线开口向下,在对称轴直线x=60的左侧,y随x的增大而增大
∴当x=55时,y最大=1125
答:
关系式为y=-3x2+360x-9600,每箱苹果的销售价为55元时,可以获得最大利润,最大利润是1125元。
练习:
某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克,物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:
y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w(元).
(1)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?
(2)该农户想要每天获得不低于150元的销售利润,销售价应定为多少?
2819225——28(25、26、27、28)
根据函数解析式求出的最值是理论值,与实际问题中的最值不一定相同,需考虑自变量的取值范围。
所以确定出二次函数的解析式后,要根据题意列不等式组求出自变量x的取值范围。
如果取值范围在对称轴的一侧,要根据抛物线的增减性找出二次函数的最值。
(三)二次函数与一次函数的综合
例2(2015•鄂州,第23题10分)鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元。
物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每千克30元。
日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数,且当x=60时,y=80;
x=50时,y=100。
在销售过程中,每天还要支付其他费用450元.
(1)y与x的关系式为_________,自变量x的取值范围是_________。
(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式。
(3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?
最大获利是多少元?
(1)y=﹣2x+200(30≤x≤60)
(2)W=(x﹣30)(﹣2x+200)﹣450=﹣2x2+260x﹣6450
(3)W=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2(x﹣65)2+2000,
∵30≤x≤60,
∴x=60时,w有最大值为1950元,
∴当销售单价为60元时,该公司日获利最大,最大获利是1950元。
某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售单价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
若把销售单价x与日销售量y作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x是_______函数。
(1)直接写出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式为______;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售单价应定为多少元?
此时每日销售利润是多少元?
(3)若销售单价不得超过20元,每日的销售利润最大是多少?
(4)若销售利润不低于125元,销售单价应如何确定?
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元;
市场调查发现,若每箱以45元的价格销售,平均每天销售105箱;
每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.假定每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间满足一次函数关系式.
(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?
“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(x≧30)存在如下图所示的一次函数关系.
(1)试求出y与x的函数关系式;
(2)设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?
(3)根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出).
(1)y=-20x+1000
(2).x=35.
即当销售单价为元/千克时,每天可获得最大利润.
(3)或.
(2015•湖北)为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来领前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现;
当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式;
(2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P(元)最大?
(3)为稳定物价,有关管理部门限定:
这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒?
(1)由题意得,y=700﹣20(x﹣45)=﹣20x+1600;
(2)P=(x﹣40)(﹣20x+1600)=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20(x﹣60)2+8000,
(3)由题意,得﹣20(x﹣60)2+8000=6000,解得x1=50,x2=70.
∵∴50≤x≤58.
∵在y=﹣20x+1600中,y随x的增大而减小
∴当x=58时,y最小值=﹣20×
58+1600=440,即超市每天至少销售粽子440盒.
既有一次函数又有二次函数,要分清、认准变量字母,不能混淆。
注意哪个函数需要用待定系数法,哪个需要根据题意进行计算得出。
要处理好这些字母之间的“亲属”关系,沉得住气,认真仔细地将题目中所提供的信息加工梳理,有条不紊地进行“抽丝剥茧”,最终解决问题。
(三)分段函数及其最值的讨论
例2(2015•黄石第23题8分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召,利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店.该店购进一种今年新上市的饰品进行销售,饰品的进价为每件40元,售价为每件60元,每月可卖出300件.市场调查反映:
调整价格时,售价每上涨1元每月要少卖10件;
售价每下降1元每月要多卖20件。
为了获得更大的利润,现将饰品售价调整为60+x(元/件)(x>0即售价上涨,x<0即售价下降),每月饰品销量为y(件),月利润为w(元)。
(1)直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)如何确定销售价格才能使月利润最大?
求最大月利润;
(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格?
(1)由题意可得:
y=(且x为整数)
(2)由题意可得:
w=
化简得:
在0≤x≤30时,x=5可得W最大=6250;
在-20≤x<
0时,因为x为整数所以x=2或3可得W最大,此时W最大一定<
6125<
6250。
故当x=5即销售价格为65元时,利润最大,最大利润为6250元
(3)由题意得w≥6000,如图,令w=6000,
即6000=﹣10(x﹣5)2+6250;
6000=﹣20(x+)2+6125,
解得:
x1=﹣5,x2=0,x3=10,
∴当﹣5≤x≤10时,即将销售价格控制在55元到70元之间(含55元和70元)才能使每月利润不少于6000元。
某专卖店经市场调查得知,一种商品的月销售量Q(单位:
吨)与销售价格x(单位:
万元/吨)的关系可用下图的一条折线表示.
(1)写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系;
(2)如果该商品的进价为5万元/吨,除去进货成本外,专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元,问该商品每吨定价多少万元时,销售该商品的月利润最大?
并求月利润的最大值.
根据市场调查,某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图
(1)中的一条折线表示,销售量Q与时间t的关系用图
(2)中的线段表示(t为正整数)
(1)分别写出图1表示的价格P与时间t的函数关系式,图2表示的销售量Q与时间t的函数关系式.
(2)求这种商品的销售额S(销售额=销售量×
价格)的最大值及此时的时间.
此类问题涉及分段函数,如何分段,怎样表达每个分段函数是个难点;
必须对不同的最值进行比较、整理、归纳才能得出最终的结论;
注意考虑各段内的自变量取值范围,结果是否满足各段自变量的取值范围。
这是解此类综合应用题目的特点。
对于“二次函数值不小于某某”这类题型,先令“其值等于某某”,然后再利用函数的草图得出x的取值范围。
此类题型计算量大,做时要耐心细致。
(2015•江苏南通,第26题10分)某网店打出促销广告:
最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变;
若一次性购买超过10件时,每多买1件,所买的每件服装的售价均降低3元.已知该服装成本是每件200元,设顾客一次性购买服装x件时,该网店从中获利y元.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多?
(1)
y=
=(且x为整数)
(2)在0≤x≤10时,y=100x,当x=10时,y有最大值1000;
在10<x≤30时,y=﹣3x2+130x=-3(x-)2+,
∵x为整数,根据抛物线的对称性得x=22时,y有最大值1408.
∵1408>1000,
∴顾客一次购买22件时,该网站从中获利最多。
四川汶川大地震发生后,我市某工厂A车间接到生产一批帐篷的订单,要求必须在12天(含12天)内完成.已知每顶帐篷的成本价为800元,该车间平时每天能生产帐篷20顶.为了加快进度,车间采取工人分批日夜加班,机器满负荷运转的生产方式,生产效率得到了提高.这样,第一天生产了22顶,以后每天生产的帐篷都比前一天多2顶.由于机器损耗等原因,当每天生产的帐篷达到30顶后,每增加1顶帐篷,当天生产的所有帐篷,平均每顶的成本就增加20元.设生产这批帐篷的时间为x天,每天生产的帐篷为y顶.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)若这批帐篷的订购价格为每顶1200元,该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区.设该车间每天的利润为W元,试求出W与x之间的函数关系式,并求出该项车间捐献给灾区多少钱?
(1)y=2x+20(1≤x≤12且x为整数)
(2)当1≤x≤5时,第x天营业额W=y×
(1200-800)=(2x+20)×
400=800x+8000,
当x=5时,W最大,W最大=12000(元)。
当6≤x≤12时,
每顶成本为800+(2x+20-30)×
20=600+40x,
每顶利润为1200-(600+40x)=600-40x,
则W=y×
(600-40x)
=(2x+20)×
=-80(x-2.5)2+12500
当x=6时,W最大时,W最大=11520。
综上所述,W最大为12000(元)。
我市某服装厂生产的服装供不应求,A车间接到生产一批西服的紧急任务,要求必须在12天(含12天)内完成.为了加快进度,车间采取工人分批日夜加班,机器满负荷运转的生产方式,生产效率得到了提高,每天生产的西服数量y(套)与时间x(天)的关系如下表:
平均每套西服的成本z(元)与时间x(天)的关系式为:
请解答下列问题.
(1)求每天生产的西服数量y(套)与x(天)之间的关系式及成本z(元)与x(天)之间的关系式.
(2)已知这批西服的订购价格为每套1570元,设该车间每天的利润为W(元),试求出日利润W(元)与时间x(天)之间的函数关系式,并求出哪一天该车间获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)在实际销售中,从第6天起,该厂决定每销售一套西服就捐赠利润a(元)给希望工程。
厂方通过销售记录发现,每天扣除捐赠后的日销售利润(元)随时间(天)的增大而增大,求a的取值范围。
(1)y=2x+20
1≤x≤5且x为整数时z=800x+8000
6≤x≤12且x为整数时z=80x2+1200x+4000
(2)当1≤x≤5时,W=2340x+23400,
当x=5时,W最大,W最大=35100(元)。
当≤x≤12时,W=-80x2+1940x+27400
当x=12时,W最大时,W最大=39160。
综上,W最大为39160(元)
(3)捐款后利润为W=-80x2+1940x+27400-a(2x+20)
=-80x2+(1940-2a)x+27400-20a
由题意知其顶点横坐标必须不小于12
已知某商品的进价为每件40元,现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:
如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;
每降价1元,每星期可多卖出20件.若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%,则销售单价定为多少时,商场可获得最大利润?
56≤x≤64涨价时:
y=(x-40)(900-10x)(60≤x≤90)x=64时y最大6150;
降价时y=(x-40)[300+20(60-x)](40≤x≤60)x=57.5时y最大6125综上定价为64元时最大6150元
二次函数中的面积型应用题
例1(2015•温州)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,则能建成的饲养室面积最大为 m2
(此类题一般都)设垂直于墙的材料长为x米
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