二次根式知识点+例题分析+难题拓展+测试Word文档格式.docx
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知识点五:
二次根式的性质2
文字语言叙述为:
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,
即;
若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
例1化简
(1)
(2)(3)(4)
例2填空:
当a≥0时,=_____;
当a<
0时,=_______,并根据这一性质回答下列问题.
(1)若=a,则a可以是什么数?
(2)若=-a,则a是什么数?
(3)>
a,则a是什么数?
例3当x>
2,化简-.
知识点六:
与的异同点
1、不同点:
与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;
在中,而中a可以是正实数,0,负实数。
但与都是非负数,即,。
因而它的运算的结果是有差别的,
,而
2、相同点:
当被开方数都是非负数,即时,=;
时,无意义,而.
知识点七:
二次根式的乘除
1、乘法·
=(a≥0,b≥0)反过来:
=·
(a≥0,b≥0)
2、除法=(a≥0,b>
0)反过来,=(a≥0,b>
0)
(思考:
b的取值与a相同吗?
为什么?
不相同,因为b在分母,所以不能为0)
例1.计算
(1)4×
(2)×
(3)×
(4)×
例2化简
(1)
(2)(3)(4)
例3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:
(1)
=4×
×
=4=8
例4.计算:
(1)
(2)(3)(4)
例5.化简:
(1)
(2)(3)(4)
例6.已知,且x为偶数,求(1+x)的值.
3、最简二次根式应满足的条件:
(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式;
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
(熟记20以内数的平方;
因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式,然后再观察各个因式的指数是否是2(或2的倍数),若是则说明含有能开方的因式,则不满足条件,就不是最简二次根式)
例1.把下列二次根式化为最简二次根式
(1);
(2);
(3)
4、化简最简二次根式的方法:
(1)把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式,即分解因式;
(2)化去根号内的分母(或分母中的根号),即分母有理化;
(3)将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来.(此步需要特别注意的是:
开到根号外的时候要带绝对值,注意符号问题)
5.有理化因式:
一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①与;
②与;
③与;
④与.
说明:
利用有理化因式的特点可以将分母有理化.
13、同类二次根式:
被开方数相同的(最简)二次根式叫同类二次根式。
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。
如与
知识点八:
二次根式的加减
1、二次根式的加减法:
先把各个二次根式化为最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。
(合并方法为:
将系数相加减,二次根式部分不变),不能合并的直接抄下来。
例1.计算
(1)+
(2)+
例2.计算
(1)3-9+3
(2)(+)+(-)
例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(+y2)-(x2-5x)的值.
2、二次根式的混合运算:
先计算括号内,再乘方(开方),再乘除,再加减
3、二次根式的比较:
(1)若,则有;
(2)若,则有.
(3)将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大小
例4.比较3与4的大小
【典型例题】
1、概念与性质
例1、下列各式
1),
其中是二次根式的是_________(填序号).
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
(1);
(2)
例3、在根式1),
最简二次根式是()A.1)2)B.3)4)C.1)3)D.1)4)
例4、已知:
例5、已知数a,b,若=b-a,则(
)
A.a>
b
B.a<
b
C.a≥b
D.a≤b
2、二次根式的化简与计算
例1.将根号外的a移到根号内,得(
A.;
B.-;
C.-;
D.
例2.把(a-b)化成最简二次根式
例3、计算:
例4、先化简,再求值:
,其中a=,b=.
例5、如图,实数、在数轴上的位置,化简:
3、比较数值
(1)、根式变形法
当时,①如果,则;
②如果,则。
例1、比较与的大小。
(2)、平方法
例2、比较与的大小。
(3)、分母有理化法
通过分母有理化,利用分子的大小来比较。
例3、比较与的大小。
(4)、分子有理化法
通过分子有理化,利用分母的大小来比较。
例4、比较与的大小。
(5)、倒数法
例5、比较与的大小。
(6)、作差比较法
在对两数比较大小时,经常运用如下性质:
①;
②
例6、比较与的大小。
4、规律性问题
例1.观察下列各式及其验证过程:
,验证:
;
验证:
.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想的变形结果,并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n≥2,且n是整数)表示的等式,并给出验证过程.
例3、已知a>
b>
0,a+b=6,则的值为()
A.B.2C.D.
例4、甲、乙两个同学化简时,分别作了如下变形:
甲:
==;
乙:
=。
其中(
)A.甲、乙都正确
B.甲、乙都不正确C.只有甲正确
D.只有乙正确
课堂练习:
1.使式子有意义的条件是。
2.当时,有意义。
3.若有意义,则的取值范围是。
4.当时,是二次根式。
5.在实数范围内分解因式:
。
6.若,则的取值范围是。
7.已知,则的取值范围是。
8.化简:
的结果是。
9.当时,。
10.把的根号外的因式移到根号内等于。
11.使等式成立的条件是。
12.若与互为相反数,则。
13.在式子中,二次根式有()A.2个B.3个C.4个D.5个
14.下列各式一定是二次根式的是()
A.B.C.D.
15.若,则等于()
16.若,则()
17.若,则化简后为()
A.B.
C.D.
18.能使等式成立的的取值范围是()
19.计算:
的值是()
A.0B.C.D.或
21.若,求的值。
22.当取什么值时,代数式取值最小,并求出这个最小值。
24.已知,求的值。
25.已知为实数,且,求的值。
26.化简:
1.当,时,。
2.若和都是最简二次根式,则。
3.计算:
4.计算:
5.长方形的宽为,面积为,则长方形的长约为(精确到0.01)。
6.下列各式不是最简二次根式的是()
A.B.C.D.
7.已知,化简二次根式的正确结果为()
8.对于所有实数,下列等式总能成立的是()
A.B.
C.D.
9.和的大小关系是()
A.B.C.D.不能确定
10.对于二次根式,以下说法中不正确的是()
A.它是一个非负数B.它是一个无理数
C.它是最简二次根式D.它的最小值为3
11.计算:
21.3二次根式的加减
1.下列根式中,与是同类二次根式的是()
A.B.C.D.
2.下面说法正确的是()
A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B.与是同类二次根式
C.与不是同类二次根式D.同类二次根式是根指数为2的根式
3.与不是同类二次根式的是()
A.B.C.D.
4.下列根式中,是最简二次根式的是()
5.若,则化简的结果是()
A.B.C.3D.-3
6.若,则的值等于()
A.4B.C.2D.
7.若的整数部分为,小数部分为,则的值是()
A.B.C.1D.3
8.下列式子中正确的是()
A.B.
C.D.
9.在中,与是同类二次根式的是。
10.若最简二次根式与是同类二次根式,则。
11.一个三角形的三边长分别为,则它的周长是cm。
12.若最简二次根式与是同类二次根式,则。
13.已知,则。
14.已知,则。
15.。
16.计算:
⑴.⑵.
⑶.⑷.
17.计算及化简:
⑴.⑵.
⑶.⑷.
18.已知:
,求的值。
19.已知:
20.已知的值。
一、选择题(每题2分,共20分)
1.下列各式中一定是二次根式的是()
A.B.C.D.
2.如果是二次根式,那么应满足的条件是()
A.B.C.≥D.≤
3.当x=3时,在实数范围内没有意义的是()
A.B.C.D.
4.化简二次根式得()
A.B.C.18D.6
5.等式成立的条件是()
A.B.C.D.
6.下列各式计算正确的是()
A.B.
C.D.
7.若,则等于()
A.B.C.D.
8.化简等于()
A.B.C.D.
9.等式成立的条件是()
A.B.C.D.且
10.当时,化简的结果是()
二、填空题(每题3分,共24分)
11.如果是二次根式,则的取值范围是。
12.若,则代数式=。
13.化简=,=,=。
14.计算=。
15.已知,则。
16.若与是同类二次根式,则=。
17.成立的条件是。
18.若,则=。
三、解答题(共56分)
19.分别指出取哪些实数时,式子有意义。
(每小题3分,共6分)
(2);
20.计算(每小题4分,共16分)
(2)
(3)(4)
21.已知,,计算的值。
(5分)
22.已知实数满足,求的值。
23.若,,求代数式的值。
(6分)
24.已知求的值。
25.已知,求的值。
综合、运用、诊断
一、填空题
11.表示二次根式的条件是______.
12.使有意义的x的取值范围是______.
13.已知,则xy的平方根为______.
14.当x=-2时,=________.
二、选择题
15.下列各式中,x的取值范围是x>2的是().
A. B. C. D.
16.若,则x-y的值是().
A.-7 B.-5 C.3 D.7
三、解答题
17.计算下列各式:
(1)
(2) (3) (4)
18.当a=2,b=-1,c=-1时,求代数式的值.
拓广、探究、思考
19.已知数a,b,c在数轴上的位置如图所示:
化简:
的结果是:
______________________.
20.已知△ABC的三边长a,b,c均为整数,且a和b满足试求△ABC的c边的长.
9.定义运算“@”的运算法则为:
则(2@6)@6=______.
10.已知矩形的长为,宽为,则面积为______cm2.
11.比较大小:
(1)_____;
(2)______;
(3)-_______-.
12.若成立,则a,b满足的条件是().
A.a<0且b>0 B.a≤0且b≥0 C.a<0且b≥0 D.a,b异号
13.把根号外的因式移进根号内,结果等于().
14.计算:
(1)_______;
(2)_______;
(3)_______;
(4)_______.
15.若(x-y+2)2与互为相反数,求(x+y)x的值.
16.化简:
(1)________;
(2)_________.
7.化简二次根式:
(1)________
(2)_________(3)_________
8.计算下列各式,使得结果的分母中不含有二次根式:
(1)_______
(2)_________(3)__________(4)__________
9.已知则______;
_________.(结果精确到0.001)
10.已知,,则a与b的关系为().
A.a=b B.ab=1 C.a=-b D.ab=-1
11.下列各式中,最简二次根式是().
12.计算:
(1)
(2) (3)
13.当时,求和xy2+x2y的值.
14.观察规律:
……并求值.
(2)_______;
(3)_______.
15.试探究与a之间的关系.
12.已知二次根式与是同类二次根式,(a+b)a的值是______.
13.与无法合并,这种说法是______的.(填“正确”或“错误”)
14.在下列二次根式中,与是同类二次根式的是().
三、计算题
15. 16.
17. 18.
四、解答题
19.化简求值:
,其中,.
20.当时,求代数式x2-4x+2的值.
21.探究下面的问题:
(1)判断下列各式是否成立?
你认为成立的,在括号内画“√”,否则画“×
”.
①() ②()
③() ④()
(2)你判断完以上各题后,发现了什么规律?
请用含有n的式子将规律表示出来,并写出n的取值范围.
(3)请你用所学的数学知识说明你在
(2)题中所写式子的正确性.
13.
(1)规定运算:
(a*b)=|a-b|,其中a,b为实数,则_______.
(2)设,且b是a的小数部分,则________.
14.与的关系是().
A.互为倒数 B.互为相反数 C.相等 D.乘积是有理式
15.下列计算正确的是().
A. B.
C. D.
16. 17.
18. 19.
20.已知求
(1)x2-xy+y2;
(2)x3y+xy3的值.
21.已知,求的值.
22.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们说这两个代数式互为有理化因式.如:
与,与互为有理化因式.
试写下列各式的有理化因式:
(1)与______;
(2)与______;
(3)与______;
(4)与______;
(5)与______;
(6)与______.
23.已知求.(精确到0.01)
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- 二次 根式 知识点 例题 分析 难题 拓展 测试