七下实数辅导讲义(一)Word文档下载推荐.doc
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一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。
注意:
题型规律总结:
1、平方根是其本身的数是0;
算术平方根是其本身的数是0和1;
立方根是其本身的数是0和±
1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;
任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3、本身为非负数,有非负性,即≥0;
4、公式:
⑴()2=a(a≥0);
⑵=(a取任何数)。
5、区分()2=a(a≥0),与=
6.非负数的重要性质:
若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握)。
7.一般来说,被开方数扩大(或缩小)倍,算术平方根扩大(或缩小)倍,例如
8、.识记常用平方表:
12=
62=
112=
162=
212=
22=
72=
122=
172=
222=
32=
82=
132=
182=
232=
42=
92=
142=
192=
242=
52=
102=
152=
202=
252=
9.易混淆的三个数(自行分析它们):
(1)
(2)(3)
10、识记下列各式的值,结果保留4个有效数字:
【典型例题】
题型一、平方根定义的运用
例1、一个正数的平方根为和,求这个数?
变式1、已知和是m的平方根,求m的值?
变式2、已知某个数的平方根分别为和,求a和这个数?
(练习1)若一正数的平方根是与,求这个正数.
(练习2)已知的负的平方根是,的立方根是,求的平方根.
(练习3)一个数的平方根是和,求这个数.
例2、
(1)下列各数是否有平方根,请说明理由①(-3)2②02③-0.012
(2)下列说法对不对?
为什么?
① 4有一个平方根② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根④ 若a>0,a有两个平方根,它们互为相反数
例3、求下列各数的平方根:
(1)9
(2)(3)0.36(4)
变式3、.下列语句中,正确的是()
A.一个实数的平方根有两个,它们互为相反数B.负数没有立方根
C.一个实数的立方根不是正数就是负数D.立方根是这个数本身的数共有三个
变式4.下列说法正确的是( )
A.-2是(-2)2的算术平方根B.3是-9的算术平方根
C.16的平方根是±
4D.27的立方根是±
3
(练习)判断下列各题,并说明理由
⑴的平方根是. ()
⑵一定是正数. ()
⑶的算术平方根是. ()
⑷若,则. ()
⑸. ()
⑹是的平方根. ()
⑺的平方根是. ()
⑻若,则. ()
⑼若两个数平方后相等,则这两个数也一定相等. ()
⑽如果两个非负数相等,那么这两个数各自的算术平方根也一定相等. ()
⑾算术平方根一定是正数. ()
⑿没有算术平方根. ()
⒀的立方根是. ()
⒁是的立方根. ()
⒂. ()
⒃互为相反数的两个数的立方根互为相反数. ()
⒄正数有两个互为相反数的偶数次方根,任何数都有唯一的奇数次方根. ()
题型三、化简求值
例1、已知,化简:
变式1、若
例2已知实数在数轴上的对应点如图所示,化简
变式2、实数在数轴上的位置如图所示,化简:
=
变式3如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1,,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的实数为()A.-2B.2-C.-3D.3-
例3、当a<
0时,化简的结果是()
A0B-1C1D½
例4、化简下列各式:
(1)|-1.4|
(2)|π-3.142| (3)|-|
【变式1】化简:
(练习)
+
题型四、利用非负数的性质求代数式
三种常见的非负数:
注意:
(1)任何非负数的和仍是非负数;
(2)若几个非负数的和是0,那么这几个非负数均为0.
例1、已知实数x,y满足+(y+1)2=0,则x-y等于
【变式1】已知、b是有理数,且满足(-2)2+=0,则b的值为
【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
【变式3】已知(x-6)2++|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。
(练习1)已知+(x-2)2=0,则xy=()
A、0B、6C、D、
练习1)若和互为相反数,则的立方根为()
A、-2B、4C、2D、-4
练习1)若和互为相反数,则等于()
A、-2B、C、2D、
求被开方数中的未知数的值
例2若y=++2017,则x+y=
变式1、若,则x-y的值为()
A.-1B.1C.2D.3
变式2、若x、y都是实数,且y=,求xy的值
变式3、已知,求的值?
变式4、已知为实数,且满足,求的值.
(练习1)已知:
,求的平方根.
(练习2)已知为实数,,求.
(练习3)已知实数满足,求的值。
(练习4)已知实数与非零实数满足等式:
.求.
(练习5)在实数范围成立,那么的值是多少?
(练习6)若适合关系式,试确定的值.
题型五、解方程
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
题型六、整数部分和小数部分的探讨
例1、已知x是的整数部分,y是的小数部分,求的平方根。
变式1设m是的小数部分,n为的小数部分,求的值?
(练习1)若a是的整数部分,b是的小数部分,则=;
(练习2)若;
题型六关于平方根、立方根的求值
例1、求下列各式的值
(1);
(2);
(3);
(4)
解
(1)因为,所以±
=±
9.
例2
(1)64的立方根是
(2)下列说法中:
①都是27的立方根,②,③的立方根是2,④。
正确的有()
A、1个B、2个C、3个D、4个
(练习1)已知,,求的值(为正整数).
(练习2)已知是n-m+3的算术平方根,是m+2n的立方根,求B-A的平方根.
题型八、探索找规律
1 (盐城市)现规定一种新的运算“※”:
a※b=ab,如3※2=32=9,则※3=( )
2 (资阳市)若“!
”是一种数学运算符号,并且1!
=1,2!
=2×
1=2,3!
=3×
2×
1=6,4!
=4×
3×
1,…,则的值为()A. B.99!
C.9900 D.2!
3.如果有理数a,b满足∣ab-2∣+∣1-b∣=0,
试求+…+的值.
4.观察思考下列计算过程:
∵11=121,∴=11;
同样:
∵111=12321,∴=111;
…由此猜想:
=
5.已知,。
直接写出下列各式的值:
(1)_______
(2)________(3)______(4)______
6、.观察:
猜想等于什么,并通过计算验证你的猜想;
那么=___________;
题型八实数比较大小的方法
1、方法一:
差值比较法
差值比较法的基本思路是设a,b为任意两个实数,先求出a与b的差,再根据当a-b﹥0时,得到a﹥b。
当a-b﹤0时,得到a﹤b。
当a-b=0,得到a=b。
例1、比较1-与1-的大小。
3、方法二:
商值比较法
商值比较法的基本思路是设a,b为任意两个正实数,先求出a与b得商。
当<1时,a<b;
当>1时,a>b;
当=1时,a=b。
来比较a与b的大小。
例2、比较与的大小。
4、方法三:
平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a>0,b>0时,可由>得到a>b来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。
例3、比较2与3的大小
5、方法四:
估算法
估算法的基本是思路是设a,b为任意两个正实数,先估算出a,b两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。
例4、比较与的大小。
(练1)估计的大小应在().
(A)7—8之间(B)8.0—8.5之间
(C)8.5—9.0之间(D)9—10之间
(练2)天安门广场的面积约为44万平方米,请你估计一下,它的百万之一大约相当( )
A、教室地面的面积 B、黑板面的面积
C、课桌面的面积D、铅笔盒面的面积
(练3)实数和的大小关系是()
A. B.
C. D.
(练4)将,,用不等号连接起来为()
A.<
<
B.<
<
C.<
D.<
(练5)已知:
A. B.
C. D.
实数有关的综合问题(材料阅读问题)
1、我们知道:
任意一个有理数与无理数的和为无理数,任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数,而零与无理数的积为零.由此:
如果ax+b=0,其中a、b为有理数,x为无理数,那么a=0且b=0.
运用上述知识,解决下列问题:
(1)如果,其中a、b为有理数,那么a= ,b= ;
(2)如果,其中a、b为有理数,求a+2b的值.
2、在没有带开方功能的计算器的情况下,我们可以用下面的方法得到(n为正整数)的近似值(k为正整数),并通过迭代逐步减小的值来提高的精确度。
以求的近似值为例,迭代过程如下:
(1)先估计的范围并确定迭代的初始值a1:
取。
(2)通过计算和得到精确度更高的近似值:
(说明:
,此题中记,以下结果都要求写成小数形式。
)
k=1时,=____________,________,______;
k=2时,________________(精确到0.001),____-___=____,
_______________;
单元综合演练(A)
一、选择题
1.、在3.12578,-,,,5.27,中,无理数的个数是()
A.1B.2C.3D.4
2、16的算术平方根是()
AB2CD4
3、36的平方根是()
(A)6(B)(C)(D)
4、下列说法正确的是()
A.的立方根是±
B.-25的立方根不存在
C.2的平方根是D.-25的平方根不存在
5、下列各式中,无意义的是()
A.B.C.D.
6、若有意义,则是一个()。
A.正实数B.负实数C.非正实数D.非负实数
7、估计的大小应在().
(A)7—8之间(B)8.0—8.5之间(C)8.5—9.0之间(D)9—10之间
8、的平方根是()
A、B、C、D、
9、下列各式正确的是()
A、=±
4 B、=4 C、=-3 D、=
10、下列结论正确的是()
A、B、
C、D、
11、下列运算中,错误的是()
①,②,③④
A.1个B.2个C.3个D.4个
12、下列说法中错误的是()
A.负数没有立方根B.1的立方根是1
C.平方根是D.零的立方根是零
13、下列命题中,正确的个数有()
①1的算术平方根是1;
②(-1)2的算术平方根是-1;
③一个数的算术平方根等于它本身,这个数只能是零;
④-4没有算术平方根.毛
A.1个B.2个C.3个D.4个
14、一个数的平方根和它的立方根相等,则这个数是()
A、1 B、0 C、1或0 D、1或0或-1
15、两个连续自然数,前一个数的算术平方根是x,则后一个数的算术平方根是()
A、x+1 B、x+1 C、 D、
16、下列说法正确的是()
A.无限小数是无理数B.不循环小数是无理数
C.无理数的相反数还是无理数D.两个无理数的和还是无理数
17、下列说法正确的是().
A.一个数的立方根一定比这个数小B.一个数的算术平方根一定是正数
C.一个正数的立方根有两个D.一个负数的立方根只有一个,且为负数
18、下列说法正确的有()
①无理数包括正无理数,0和负无理数;
②无理数都可以用数轴上的点表示;
③数轴上的点表示无理数;
④实数与数轴上的点是一一对应关系.
A.1个 B.2个 C.3个D.4个
二、填空题
19、的相反数是;
绝对值是;
20、比较大小:
π3.14,-1.5;
21、在与之间,整数个数是个;
22、在数轴上一个点到原点距离为,则这个数为;
23、表示的算术平方根;
的立方根为;
24、的算术平方根是,的立方根是;
25、的算术平方根为______;
的平方根是________,
26、如果的平方根是±
4,那么x=,的平方根是;
27、已知+(x-2)2=0,则xy=___________
28、若,,则的值为________;
29、若,则x= .若,则x=
30、在两个连续整数和之间,,那么ab的的平方根是.
31、一个正数的两个平方根是,则.
32、若x-2的平方根为±
2,3x+y+1的立方根为3,则x2+y2平方根为_________.
三、解答题
33、计算:
(1)
(2)(4)
(3)解方程
(1)
(2)
35、若和互为相反数,求的立方根值.
36、已知是n-m+3的算术平方根,是m+2n的立方根,求B-A的平方根.
单元综合演练(B)
一、填空题
1、(-0.7)2的平方根是 2、若=25,=3,则a+b=
3、已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4,则a的值是
4、=____________
5、若m、n互为相反数,则=_________
6、若,则a______0
7、若有意义,则x的取值范围是
8、16的平方根是±
4”用数学式子表示为
9、大于-,小于的整数有______个。
10、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4,则a=_____,x=_____。
11、当时,有意义。
12、当时,有意义。
13、当时,有意义。
14、当时,式子有意义。
15、若有意义,则能取的最小整数为
二、选择题
1.9的算术平方根是()
A.-3B.3C.±
3D.81
2.下列计算正确的是()
A.=±
2B.=9
C.D.
3.下列说法中正确的是()
A.9的平方根是3B.的算术平方根是±
2
C.的算术平方根是4D.的平方根是±
4.64的平方根是()
A.±
8B.±
4C.±
2D.±
5.4的平方的倒数的算术平方根是()
A.4B.C.-D.
6.下列结论正确的是()
ABCD
7.以下语句及写成式子正确的是()
A、7是49的算术平方根,即B、7是的平方根,即
C、是49的平方根,即D、是49的平方根,即±
8.下列语句中正确的是()
A、的平方根是B、的平方根是
C、的算术平方根是D、的算术平方根是
9.下列说法:
(1)是9的平方根;
(2)9的平方根是;
(3)3是9的平方根;
(4)9的平方根是3,其中正确的有()
A.3个B.2个 C.1个D.4个
10.下列语句中正确的是()
A、任意算术平方根是正数B、只有正数才有算术平方根
C、∵3的平方是9,∴9的平方根是3D、是1的平方根
三、利用平方根解下列方程.
(1)(2x-1)2-169=0;
(2)4(3x+1)2-1=0;
四、解答题
1、求的平方根和算术平方根。
2、计算的值
3、若,求的值。
4、若a、b、c满足,求代数式的值。
5、已知,求7(x+y)-20的立方根。
6、已知实数满足,求的值;
7、已知:
,其中是整数,且,求的值.
8、阅读材料:
学习了无理数后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动:
估算的近似值.
小明的方法:
∵,设(),∴,
∴,∴,解得,∴.
(上述方法中使用了完全平方公式:
,下面可参考使用)
问题:
(1)请你依照小明的方法,估算__________(结果保留两位小数);
(2)请结合上述具体实例,概括出估算的公式:
已知非负整数、、,若,且,则__________(用含、的代数式表示).
(3)请用
(2)中的结论估算的近似值.
解:
18
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