第27章相似三角形全章导学案(共10份)Word文档格式.doc
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例题1.下列说法正确的是()
A.所有的平行四边形都相似B.所有的矩形都相似
C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似
例题2例1、如图,四边形ABCD和EFGH相似,
求角的大小和EH的长度.
F
E
H
G
D
C
B
A
例3.如图矩形草坪长20m,宽10m,沿草坪四周有1m宽的环形小路,小路内外边缘所成的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似?
三、巩固与应用:
1.课本第25、27页练习
2.下列所给的条件中,能确定相似的有()
(1)两个半径不相等的圆;
(2)所有的正方形;
(3)所有的等腰三角形;
(4)所有的等边三角形;
(5)所有的等腰梯形;
(6)所有的正六边形.A.3个B.4个C.5个D.6个
3.已知边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似,四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm,如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm,那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少?
4.已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且A1B1:
B1C1:
C1D1:
D1A1=7:
8:
11:
14,若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD的各边的长
5.如图的左边格点图中有一个四边形,请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.
6.如图,一个矩形ABCD的长AD=acm,宽AB=bcm,E、F分别是AD、BC的中点,连接E、F,所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似,求a:
b的值.
[来源:
学科网
四、小结:
:
1.相似多边形的意义;
2相似多边形的性质
五、作业:
必做:
P27练习T1、2、3、4、.选做:
《作业精编》相应练习.
27.2.1相似三角形的判定(1)
1.掌握相似三角形的定义,掌握平行线分线段成比例定理和推论,能应用定理及推论解题.
2.掌握相似三角形判定的预备定理,能运用它判定两个三角形相似.
【学习重点】掌握平行线分线段成比例定理和推论,掌握相似三角形判定的预备定理.
【学习难点】熟练应用定理及推论计算与证明.
学生自学课本第29-31页内容,并完成下列问题
1.三个角分别对应 ,三条边对应 的两个三角形是相似三角形.
△ABC∽△A′B′C′
,,
2.【实验探究1】:
如图1,任意画两条直线,,再画三条与,相交的平行线,,分别量度,,在上截得的两条线段AB,BC和在,上截得的两条线段DE,EF的长度,与相等吗?
任意平移,再量度AB,BC,DE,EF的长度,与还相等吗?
【归纳】平行线分线段成比例定理:
图1
图2
图3
两条直线被一组_______线所截,所得的对应线段 .
2.【实验探究2】如果把图中,两条直线相交,交点A刚落到,上,如图2、3,所得的对应线段的比会相等吗?
【归纳】平行线分线段成比例定理推论:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段________.
3.【实验探究3】在上面的图2,图3中,△ABC和△ADE相似吗?
你能用学过的知识说明吗?
【点拨】:
利用相似三角形的定义,说明△ABC和△ADE的三边对应成比例,三角对应相等.
【归纳】相似三角形判定的预备定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形
1.【交流1】在图1,图2,图3中,你能说出哪些成比例的线段?
如何寻找更简捷呢?
图4
图5
2.【交流2】如图,在中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请找出图中的相似三角形
3.如图4,在△ABC中,DE∥BC,AC=4,AB=3,EC=1.求AD和BD.
1.如图4,DE∥BC,则下列等式不成立的是()
A.B.
C.D.
2.已知:
如图5,若DE∥BC,,则 , .
[来源:
Zxxk.Com]
3.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:
△ADE∽△EFC.
4.如图,在▱ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则
EF:
FC等于( )
A.3:
2 B. 3:
1 C. 1:
1 D. 1:
2
5.如图,在中EF分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形有( )
A、2对B、3对C、4对D、5对
1.平行线分线段成比例定理和推论;
2.相似三角形判定的预备定理..
课本P42习题T4,5;
选做:
27.2.1相似三角形的判定(2)
1.掌握相似三角形的两条判定定理(SSS,SAS).
2.能运用相似三角形的两条判定理(SSS,SAS)判定两个三角形相似.
【学习重点】掌握相似三角形的两种判定方法(SSS,SAS),能运用它们进行证明.
【学习难点】熟练应用相似三角形判定定理及证题.
学生自学课本第32-34页内容,并完成下列问题
1.【温故知新】全等三角形的判定方法:
三边对应 的两个三角形全等.(简写为“边边边”或“SSS”)
两边和它们的夹角对应 的两个三角形全等.(可以简写成“边角边”或“SAS”)
2.【类比探究】相似三角形的判定方法:
猜想1:
三边对应 的两个三角形相似.
猜想2:
两边且夹角相等的两个三角形相似.
3.你能证明猜想1吗?
如图,在△ABC和△A′B′C′中,,求证:
△ABC∽△A′B′C′.
4.你能证明猜想2吗?
5.【归纳】
相似三角形判定定理1:
三边对应 的两个三角形相似.
相似三角形判定定理2:
两边且夹角相等的两个三角形相似.
(你能用几何语言描述吗)
1.在4×
4的正方形方格中,△ABC,△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.
2.如图,已知,则相等吗?
为什么?
3.如图所示,在正方形ABCD中,已知P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,求证:
AQ⊥PQ.
1.如图,在△ABC中,D为AB边上的一点,要使△ABC~△AED成立,还需要
添加一个条件为.
2.△ABC的三边长分别为2、、,△A1B1C1的两边长分别为1和,
当△A1B1C1的第三边长为时,△ABC~△A1B1C1.
2、如图,在大小为4×
4的正方形网格中,是相似三角形的是()
①②③④
A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④
.
3.如图,点O是△ABC内任意一点,连接AO、BO、CO,点E、F、D分别是BO、CO、AO的中点,求证:
△DEF∽△ABC.
1.相似三角形的判定定理;
2.能运用相似三角形的判定方法证明.
课本P42习题T2,3;
27.2.1相似三角形的判定(3)
1.掌握相似三角形的第三个判定定理(AA),掌握直角三角形相似的判定定理(H′L′);
2.能运用相似三角形的判定理(AA)证明两个三角形相似;
能运用判定定理(H′L′)证明两个直角三角,培养几何证明的推理和书写能力.
【学习重点】掌握相似三角形的两种判定方法(AA,H′L′),能运用它们进行证明和计算.
【学习难点】熟练应用相似三角形的判定定理进行证明和计算.
学生自学课本第35-36页内容,并完成下列问题
1.两个相似三角形的判定方法:
(1)三边 的两个三角形相似.
如上图,在△ABC和△A′B′C′中,如果 ,那么△ABC∽△A′B′C′
(2)两边且它夹角对 的两个三角形相似.
如上图,在△ABC和△A′B′C′,如果 ,那么△ABC∽△A′B′C′
2.思考一:
仔细观察我们文具中常用的含有30°
和60°
角的直角三角尺中的一大、一小两个直角三角形,它们有什么关系?
另一块含有45°
角的直角三角尺中的一大、一小两个直角三角形,它们又有什么关系?
由此你能猜想到什么结论呢?
答:
。
你能证明你的猜想吗?
如图,在△ABC和△A′B′C′中,,∠B=∠B′,求证:
思考二:
由直角三角形全等的判定定理HL,能否类比得到直角三角形相似的一个判定方法:
如果斜边和一条直角边成比例,那么这两个直角三角形相似.
你能证明这个结论吗?
3如图,已知∠ADE=∠C,AD=2,BD=3,AE=4,则AC=.
4.如图,Rt⊿ABC中,CD是斜边上的高,
(1)则图形中相似的三角形有⊿ ∽⊿,
⊿∽⊿,⊿∽⊿。
(2)试探究线段CD和AD、BD间的数量关系?
并说明理由.
1.相似三角形的判定定理3(AA)(用数学符号语言叙述):
.
2.直角三角形相似的判定定理(H′L′)(用数学符号语言叙述):
.
3.结论:
在Rt⊿ABC中,如果CD是斜边上的高,那么高CD把Rt⊿ABC分成两个与它都相似的三角形,并且,,.(我们称之为射影定理)
4.例题:
例题1.课本第35页例题2
例2.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,证明:
△ADE∽△EFC.
例题3.如图所示,在正方形ABCD的边长是4,点P在BC上的点,Q是CD的中点,并且AQ⊥PQ,求BP的长.
1.下列说法是否正确?
⑴所有的直角三角形都相似. ⑵所有的等边三角形都相似.
⑶所有的等腰直角三角形都相似.⑷有一个角相等的两等腰三角形相似.
2.已知在△ABC中,AB=12,AC=8,点D在,并且AD=3,点E在,
当AE= 时,△ABC与△ADE相似?
3.弦AB和CD相交于⊙O内一点P,试探究PA、PB、PC、PD
之间的数量关系.
4.已知:
如图,△ABC的高AD、BE交于点F.[来源:
学科网ZXXK]
求证:
.
1.相似三角形的判定定理3(AA),直角三角形相似的判定定理(H′L′);
2.能正确运用相似三角形的判定方法进行证明和计算.
课本P42习题T4,7,9;
六.课后练习:
1、如图,D是BC上一点,∠ADC=∠BAC,则下列结论中正确的是()
A△ABC∽△DACB△ABC∽△DAB.C△ABD∽△ACD.D以上结论都不对
2.如图,P为AB上一点,在下列条件中:
(1)∠ACP=∠B;
(2)∠APC=∠ACB;
(3);
(4),能使△APC∽△ACB的条件是。
学
3、如图,在⊿ABC中,点D在AB上,E在AC上,若∠C=∠ADE,
且AB=5,AC=4,AD=x,AE=y,则y与x的函数关系是
4、如图所示,已知∠1=∠2=∠3,则下列关系式正确的是()
A、B、
C、D、
5、如图,在⊿ABC中,AD⊥BC于D,下列条件
(1)∠B+∠DAC=90°
(2)∠B=∠DAC;
(3),其中能判定⊿ABC是直角三角形有()[来源:
学。
科。
网Z。
X。
K]
A1个B2个C3个D0个
6、如图,在⊙O中,AB=AC,则⊿ABD∽,若AC=12,AE=8,则AD=。
7、如图所示,若∠1=∠2=∠B,则图中有组相似三角形。
8、如图,已知CD是斜边Rt⊿ABC的斜边上的高线,其中AD=9cm,BD=4cm,那么CD等于
cm.
9、如图所示,点D在Rt⊿ABC的斜边上AB上的一点,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F,若AF=15,BE=10,则四边形DECF的面积为。
10、如图,已知⊙O的弦AB、CD相交于P,AP=6,BP=2,CP=4,则PD=。
11、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB上一点,且ED平分∠ADC,
EC平分∠BCD,则下列结论中:
(1)∠ADE=∠EDC;
(2)DE⊥EC;
(3);
(4)CD=AD+BC。
其中正确的有
13、如图,D是AC上一点,BE∥AC,AE分别交BD、BC于点F、G,∠1=∠2。
14、如图所示,已知⊿ABC中AB=AC,AD是中线,P为AD上一点,过点C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F。
15.已知:
如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F,若AB=4,AD=5,AE=6,求DF的长.
16.已知:
如图,BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高.
(1)求证:
AC•BC=BE•CD;
(2)若CD=6,AD=3,BD=8,求⊙O的直径BE的长
27.2.2相似三角形的性质(1)
1.掌握相似三角形的相似比与对应高、中线、角平分线、周长,面积的比存在的等量关系
2.能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算.
【学习重点】相似三角形性质定理的探索、理解及应用
【学习难点】综合应用相似三角形的性质与判定
学生自学课本第37页内容,并完成下列问题
1.相似三角形的对应角______,对应边.
2.相似三角形的判定方法有那些?
两边和它们的夹角对应 的两个三角形相似.
相似三角形判定定理3:
对应 的两个三角形相似.
直角三角形相似的判定定理:
3.回顾交流:
读图,思考回答如下问题
(1)三角形中有哪几条主要线段?
(2)全等三角形具有哪些性质?
(3)全等三角形对应边上的高、中线、角平分线相等吗?
请说明。
二、合作、交流、展示
例1、已知:
如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,AD与A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高,求证:
【结论】:
相似三角形对应高的比等于。
【思考】:
如果两个三角形是直角三角形,钝角三角形时结果还成立吗?
试试看!
2、证明:
相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应中线、对应角平分线的比等于。
P
3、电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=5m,
(1)若点P到CD的距离为3m。
求P到AB的距离?
(2)若PE⊥CD于D交AB于F,EF=1m,求PF
1、若两个相似三角形的相似比是2∶3,则它们的对应高的比是,
对应中线的比是,对应角平分线的比是.
2、若△ABC∽△A′B′C′,BC=3.6cm,B′C′=6cm,AE是△ABC的一条中线,AE=2.4cm,则△A′B′C′中对应中线A′E′的长是.
3、某人拿着一把分度值为厘米的小尺,站在距电线杆30m的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上12cm的长度恰好遮住电线杆,已知臂长为60cm.求电线杆的高.
4、已知在△ABC中,BC=120mm,BC边上的高为80mm,在这个三角形内有一个内接正方形,正方形的一边在BC上,另两个顶点分别在边AB、AC上.求这个正方形的边长
相似三角形的对应高,对应中线,对应角平分线的比等于相似比
必做:
P39练习T1,2,3选做:
27.2.2相似三角形的性质(2)
1.掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系;
掌握定理的证明方法
2.灵活运用相似三角形的判定和性质,解决相关问题
【学习重点】相似三角形的周长的比等于相似比,面积之比等于相似比的平方
【学习难点】综合运用相似三角形的性质解题
1.相似三角形的性质:
(1)相似三角形的对应角
,对应边
。
(2)相似三角对应角的平分线比
、对应边上的中线比
、对应边上的高的比
2.
(1)如果△ABC∽△A'
B'
C'
的相似比为2,那么△ABC与的周长比是多少?
面积比呢?
(2)如果△ABC∽△A'
的相似比为k,那么△ABC与的周长比是多少?
【结论】相似三角形的周长比等于.
相似三角形的面积比等于.
1.如图,DE∥BC,AB=30m,BD=18m,△ABC的周长为80m,面积为100m2,求△ADE的周长和面积。
2.某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下两底分虽为10m,20m的梯形空地上种植花木,如图所示,AD∥BC,AC与BD相交于M.
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/,当△AMD地带种满花后,共花了160元,请计算种满△BMC地带所需的费用;
(2)在
(1)的条件下,若其余地带有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择种,单价分别为12元/和10元/,问应选择种哪种花可以刚好用完所筹集的资金?
1.、三角形三边之比为2:
5:
4,如果另一个与它相似的三角形的周长等于55cm,求另一个三角形的三边长为.
2、已知:
梯形ABCD中,AB∥DC,AC与BD交于点O,若=5cm2,=20cm2,则=,=.
3、已知两个相似三角形的一对对应边分别长为32cm和12cm.
(1)若它们的周长差为40cm,求这两个三角形的周长.
(2)若它们的面积差为500cm2,求这两个三角形的面积.
4.锐角△ABC中,BC=6,S△ABC=12,两动点M,N分别在边AB,AC上滑动,且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y>0)
(1)△ABC中边BC上高AD=________;
(2)当x=________时,PQ恰好落在边BC上(如图1);
(3)当PQ在△ABC外部时(如图2),求y关于x的函数关系式(注明x的取值范围),并求出x为何值时y最大,最大值是多少?
相似多边形的周长比等于,面积比等于
课本P42习题T4,5,6;
《作业精编》相应练习
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- 27 相似 三角形 全章导学案 10