九年级二次函数讲义Word格式.doc
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x1=x2
△=b2-4ac<
方程没有实数根。
注:
“<
”是双向推导,也就是说上面的规律反过来也成立,如:
告诉我们方程没有实数根,我们便可以得出△<
3、一元二次方程根与系数的关系(二次项系数不为0;
△≥0),韦达定理。
ax2+bx+c=0(a≠0)中,设两根为x1,x2,那么有:
因为:
ax2+bx+c=0(a≠0)化二次项系数为1可得,
所以:
韦达定理也描述为:
两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。
注意:
(1)在一元二次方程应用题中,如果解出来得到的是两个根,那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。
5、一元二次方程的求根公式:
任何一元二次方程都能用求根公式来求根,虽然使用起来较为复杂,但非常有效。
一、求二次函数的三种形式:
1.一般式:
y=ax2+bx+c,(已知三个点)
顶点坐标(-,)
2.顶点式:
y=a(x-h)2+k,(已知顶点坐标对称轴)
顶点坐标(h,k)
3.交点式:
y=a(x-x1)(x-x2),(有交点的情况)
与x轴的两个交点坐标x1,x2
对称轴为
二、abc作用分析
│a│的大小决定了开口的宽窄,│a│越大,开口越小,│a│越小,开口越大,
a,b的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y轴,当a,b同号时,对称轴x=-<
0,即对称轴在y轴左侧,当a,b异号时,对称轴x=->
0,即对称轴在y轴右侧,(左同右异y轴为0)c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置,c=0时,抛物线经过原点,c>
0时,与y轴交于正半轴;
c<
0时,与y轴交于负半轴,以上a,b,c的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出.
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>
0)
y=ax2+bx+c(a<
由a,b和c的符号确定
a>
0,开口向上
a<
0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.
x
y
二.专题精练
专题一:
二次函数与一元二次方程的关系
本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题.
考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围
一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.
例1根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c,为常数)的一个解的范围是( )
6.17
6.18
6.19
6.20
A. B.C.D.
考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:
有两个交点、一个交点、没有交点;
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
4
图1
例2已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示,则关于x的一元二次方程-x2+3x+m=0的解为________.
考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况
图2
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时,则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时,则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.
例3在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点的个数是()
A.3 B.2 C.1 D.0
专项练习3
1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是________.
2.已知二次函数的部分图象如图2所示,则关于的一元二次方程的解为.
3.已知函数的图象如图3所示,那么关于的方程的根的情况是()
图3
A.无实数根 B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根
图4
4.二次函数的图象如图4所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程的两个根.
(2)写出不等式的解集.
(3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围.
(4)若方程有两个不相等的实数根,求的取值范围.
专题二、探究几何图形中的二次函数关系
【例11】在梯形中,,,,点分别在线段上(点与点不重合),且,设,.
(1)求与的函数表达式;
(2)当为何值时,有最大值,最大值是多少?
A
E
D
F
C
B
课堂检测
1、二次函数的图像可以由二次函数的图像平移而得到,下列平移正确的是()
A.先向左平移2个单位,再向上平移1个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位;
C.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位D.先向右平移2个单位,再向下平移1个单位
2、在平面直角坐标系中,如果抛物线y=2x2不动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是()
A.y=2(x-2)2+2 B.y=2(x+2)2-2C.y=2(x-2)2-2 D.y=2(x+2)2+2
3、二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是()
A.向上、直线x=4、(4,5)B.向上、直线x=-4、(-4,5)
C.向上、直线x=4、(4,-5)D.向下、直线x=-4、(-4,5)
.
4、二次函数的图象如图所示,则下列关系式不正确的是()
A、<0B、>0C、>0D、>0
5、函数在同一直角坐标系内的图象大致是()
6、二次函数的图象如图4所示,
则下列说法不正确的是()
A. B.
C. D.
7、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出四个结论:
①b2>4ac;
②2a+b=0;
③a-b+c=0;
④5a<b.其中正确结论是( ).
A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
8、已知关于x的函数同时满足下列三个条件:
①函数的图象不经过第二象限;
②当时,对应的函数值;
③当时,函数值y随x的增大而增大.你认为符合要求的函数的解析式可以是:
(写出一个即可).
9、如右图,抛物线经过点,与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是y轴正半轴上一点,且△PAB是等腰三角形,试求点P的坐标.
《专题五。
形积问题》
形积专题
1.(中考变式)如图,抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为D。
交Y轴于C
求该抛物线的解析式与△ABC的面积。
2.(08湛江)如图所示,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C.
求A、B、C三点的坐标.过A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
三.课堂检测
1.已知函数y=ax2+bx+c,当x=3时,函数的最大值为4,当x=0时,y=-14,则函数关系式____.
2.请写出一个开口向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式.
3.函数的图象与轴的交点坐标是________.
4.抛物线y=(x–1)2–7的对称轴是直线..
5.二次函数y=2x2-x-3的开口方向_____,对称轴_______,顶点坐标________.
6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5,0),(-2,0),则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_______.
7.用配方法把二次函数y=2x2+2x-5化成y=a(x-h)2+k的形式为___________.
8.抛物线y=(m-4)x2-2mx-m-6的顶点在x轴上,则m=______.
9.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最小值为8,且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相同,则此函数关系式______.
快乐作业
1.抛物线y=-2(x-1)2-3与y轴的交点纵坐标为( )
(A)-3(B)-4(C)-5 (D)-1
2.将抛物线y=3x2向右平移两个单位,再向下平移4个单位,所得抛物线是( )
(A)y=3(x+2)2+4(B)y=3(x-2)2+4(C)y=3(x-2)2-4(D)y=3(x+2)2-4
3.抛物线y=x2,y=-3x2,y=x2的图象开口最大的是( )
(A)y=x2(B)y=-3x2(C)y=x2(D)无法确定
4.二次函数y=x2-8x+c的最小值是0,那么c的值等于( )
(A)4 (B)8 (C)-4 (D)16
5已知抛物线经过(-1,0),(0,-3),(2,-3)三点.
⑴求这条抛物线的表达式;
⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
6.如图,△OAB是边长为2的等边三角形,过点A的直线
(1)求点E的坐标;
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