历年中考数学压轴题精选精析Word格式.doc
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∴
(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制!
由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知,∠MED=∠NED
又∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形DNEM为菱形.
过点D作DH⊥OA,垂足为H,
由题易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2,
设菱形DNEM的边长为a,
则在Rt△DHM中,由勾股定理知:
,∴
∴S四边形DNEM=NE·
DH=
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为.
【涉及知识点】轴对称四边形勾股定理
【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题,看一个图形的面积是否变化,关键是看决定这个面积的几个量是否变化,本题题型新颖是个不可多得的好题,有利于培养学生的思维能力,但难度较大,具有明显的区分度.
【推荐指数】★★★★★
(10浙江嘉兴)24.如图,已知抛物线y=-x2+x+4交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式;
(2)设P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一点,Q是OP的中点(O是原点),以PQ为对角线作正方形PEQF,若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S,求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值.
(10重庆潼南)26.(12分)如图,已知抛物线与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.
(10重庆潼南)26.解:
(1)∵二次函数的图像经过点A(2,0)C(0,-1)
解得:
b=-c=-1-------------------2分
∴二次函数的解析式为--------3分
(2)设点D的坐标为(m,0)(0<m<2)
∴OD=m∴AD=2-m
由△ADE∽△AOC得,--------------4分
∴DE=-----------------------------------5分
∴△CDE的面积=×
×
m
==
当m=1时,△CDE的面积最大
∴点D的坐标为(1,0)--------------------------8分
(3)存在由
(1)知:
二次函数的解析式为
设y=0则解得:
x1=2x2=-1
∴点B的坐标为(-1,0)C(0,-1)
设直线BC的解析式为:
y=kx+b
∴解得:
k=-1b=-1
∴直线BC的解析式为:
y=-x-1
在Rt△AOC中,∠AOC=900OA=2OC=1
由勾股定理得:
AC=
∵点B(-1,0)点C(0,-1)
∴OB=OC∠BCO=450
①当以点C为顶点且PC=AC=时,
设P(k,-k-1)
过点P作PH⊥y轴于H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k∣在Rt△PCH中
k2+k2=解得k1=,k2=-
∴P1(,-)P2(-,)---10分
②以A为顶点,即AC=AP=
过点P作PG⊥x轴于G
AG=∣2-k∣GP=∣-k-1∣
在Rt△APG中AG2+PG2=AP2
(2-k)2+(-k-1)2=5
解得:
k1=1,k2=0(舍)
∴P3(1,-2)----------------------------------11分
③以P为顶点,PC=AP设P(k,-k-1)
过点P作PQ⊥y轴于点Q
PL⊥x轴于点L
∴L(k,0)
∴△QPC为等腰直角三角形
PQ=CQ=k
由勾股定理知
CP=PA=k
∴AL=∣k-2∣,PL=|-k-1|
在Rt△PLA中
(k)2=(k-2)2+(k+1)2
k=∴P4(,-)------------------------12分
综上所述:
存在四个点:
P1(,-)
P2(-,)P3(1,-2)P4(,-)
(10四川宜宾)24.(本题满分l2分)将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B(–3,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当
△APE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与
(2)中△APE的最
大面积相等?
若存在,请求出点G的坐标;
若不存在,请说明理由.
24题图
(10浙江宁波)26、如图1、在平面直角坐标系中,O是坐标原点,□ABCD的顶点A的坐标为(-2,0),点D的坐标为(0,),点B在轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线与轴交于点F,与射线DC交于点G。
(1)求的度数;
(2)连结OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△,记直线与射线DC的交点为H。
①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:
△DEG∽△DHE;
y
x
G
F
(图1)
H
(图2)
(图3)
②若△EHG的面积为,请直接写出点F的坐标。
25、解:
(1)
(2)(2,)
(3)①略
②过点E作EM⊥直线CD于点M
∵CD∥AB
M
∵
∵△DHE∽△DEG
∴即
当点H在点G的右侧时,设,
解:
∴点F的坐标为(,0)
当点H在点G的左侧时,设,
,(舍)
∵△DEG≌△AEF
∴点F的坐标为(,0)
综上可知,点F的坐标有两个,分别是(,0),(,0)
(10江苏南通)28.(本小题满分14分)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,3)、B(2,0)两点,当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C(0,-2)的直线l与x轴平行,O为坐标原点.
(1)求直线AB和这条抛物线的解析式;
(2)以A为圆心,AO为半径的圆记为⊙A,判断直线l与⊙A的位置关系,并说明理由;
(3)设直线AB上的点D的横坐标为-1,P(m,n)是抛物线y=ax2+bx+c上的动点,当
△PDO的周长最小时,求四边形CODP的面积.
-1
(第28题)
1
2
3
4
-2
-4
-3
(10浙江义乌)24.如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示-,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?
若存在,请求出t的值;
M
O1
A1
B1
C1
(10浙江义乌)24.解:
(1)对称轴:
直线……………………………………………………..…1分
解析式:
或……………………………….2分
顶点坐标:
M(1,)……….…………………………………………..3分
(2)由题意得
3……………………………………..1分
得:
①…………….………………….……2分
②….………………………………………..………..3分
把②代入①并整理得:
(S>0)(事实上,更确切为S>6)4分
当时,解得:
(注:
S>0或S>6不写不扣
分)把代入抛物线解析式得∴点A1(6,3)………5分
(3)存在………………………………………………………………….…..……1分
解法一:
易知直线AB的解析式为,可得直线AB与对称轴的
交点E的坐标为
图1-1
P
Q
∴BD=5,DE=,DP=5-t,DQ=t
当∥时,
得………2分
下面分两种情况讨论:
设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G
①当时,如图1-1∵△FQE∽△FAG∴∠FGA=∠FEQ
∴∠DPQ=∠DEB易得△DPQ∽△DEB∴
∴得∴(舍去)…………………………3分
图1-2
②当时,如图1-2
∵△FQE∽△FAG∴∠FAG=∠FQE
∵∠DQP=∠FQE∠FAG=∠EBD
∴∠DQP=∠DBE易得△DPQ∽△DEB
∴
∴,∴
∴当秒时,使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分
(注:
未求出能得到正确答案不扣分)
解法二:
可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得
,
∴,.
(10安徽省卷)23.如图,已知△ABC∽△,相似比为(),且△ABC的三边长分别为、、(),△的三边长分别为、、。
⑴若,求证:
;
⑵若,试给出符合条件的一对△ABC和△,使得、、和、、进都是正整数,并加以说明;
⑶若,,是否存在△ABC和△使得?
请说明理由。
26.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(,0)、(0,4),抛物线经过B点,且顶点在直线上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.
26.解:
(1)由题意,可设所求抛物线对应的函数关系式为…(1分)
∴
∴……………………………………………………………(3分)
∴所求函数关系式为:
…………(4分)
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5……………………………………(5分)
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0).…………(6分)
当时,
∴点C和点D在所求抛物线上.…………………………(7分)
(3)设直线CD对应的函数关系式为,则
.
∴………(9分)
∵MN∥y轴,M点的横坐标为t,
∴N点的横坐标也为t.
则,,……………………(10分)
∵,∴当时,,
此时点M的坐标为(,).………………………………(12分)
24.(本小题满分12分)
(第24题)
在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y=+1,
点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物
线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点
P(t,0)在x轴上.
(1)写出点M的坐标;
(2)当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1:
2时,求t的值.
24.(本小题满分12分)
(1)∵OABC是平行四边形,∴AB∥OC,且AB=OC=4,
∵A,B在抛物线上,y轴是抛物线的对称轴,
∴A,B的横坐标分别是2和–2,
代入y=+1得,A(2,2),B(–2,2),
∴M(0,2),---2分
(2)①过点Q作QH^x轴,设垂足为H,则HQ=y,HP=x–t,
由△HQP∽△OMC,得:
即:
t=x–2y,
∵Q(x,y)在y=+1上,∴t=–+x–2.---2分
当点P与点C重合时,梯形不存在,此时,t=–4,解得x=1±
当Q与B或A重合时,四边形为平行四边形,此时,x=±
2
∴x的取值范围是x¹
1±
且x¹
±
2的所有实数.---2分
②分两种情况讨论:
1)当CM>
PQ时,则点P在线段OC上,
∵CM∥PQ,CM=2PQ,
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍,即2=2(+1),解得x=0,
∴t=–+0–2=–2.---2分
2)当CM<
PQ时,则点P在OC的延长线上,
∵CM∥PQ,CM=PQ,
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍,即+1=2´
2,解得:
x=±
.---2分
当x=–时,得t=–––2=–8–,
当x=时,得t=–8.---2分
24.(本题l4分)如图,在RtAABC中,∠ACB=90°
,AC=3,BC=4,过点B作射线BBl∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF上AC交射线BB1于F,G是EF中点,连结DG.设点D运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度;
(2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值;
(3)以DH所在直线为对称轴,线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′.
①当t>
时,连结C′C,设四边形ACC′A′的面积为S,求S关于t的函数关系式;
②当线段A′C′与射线BB,有公共点时,求t的取值范围(写出答案即可).
28.(本题满分11分)如图1,已知矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;
抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0)
(1)当x取何值时,该抛物线的最大值是多少?
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①当时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5,若有可能,求出此时N点的坐标;
若无可能,请说明理由.
图1第28题图图2
28.(本题满分11分)
解:
(1)因抛物线经过坐标原点O(0,0)和点E(4,0)
故可得c=0,b=4
所以抛物线的解析式为…………………………………………1分
由
得当x=2时,该抛物线的最大值是4.…………………………………………2分
(2)①点P不在直线ME上.
已知M点的坐标为(2,4),E点的坐标为(4,0),
设直线ME的关系式为y=kx+b.
于是得,解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8.…………………………………………3分
由已知条件易得,当时,OA=AP=,…………………4分
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.[来源:
Zxxk.Com]
∴当时,点P不在直线ME上.……………………………………5分
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
∵点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,
∴OA=AP=t.
∴点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t)…………………………………6分
∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),
∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,∴PN=-t2+3t
…………………………………………………………………………………7分
(ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,∴S=DC·
AD=×
3×
2=3.
(ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD,AD⊥CD,
∴S=(CD+PN)·
AD=[3+(-t2+3t)]×
2=-t2+3t+3…………………8分
当-t2+3t+3=5时,解得t=1、2…………………………………………………9分
而1、2都在0≤t≤3范围内,故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5
综上所述,当t=1、2时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积为5,
当t=1时,此时N点的坐标(1,3)………………………………………10分
当t=2时,此时N点的坐标(2,4)………………………………………11分
说明:
(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合.(故在阅卷时没有(ⅰ),只有(ⅱ)也可以,不扣分)
28.(本题满分12分)已知:
函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.
(1)求这个函数关系式;
(2)如图所示,设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A,P为图象上的一点,若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B,求P点的坐标;
(3)在
(2)中,若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M,试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上,若在抛物线上,求出M点的坐标;
若不在,请说明理由.
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