等腰三角形常用辅助线练习(含答案)Word文件下载.doc
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在△ABC中,BA=BC,
∵BA=BC,
∴∠A=∠C,
∵DF⊥AC,
∴∠C+∠FEC=90°
,
∠A+∠D=90°
∴∠FEC=∠D,
∵∠FEC=∠BED,
∴∠BED=∠D,
∴BD=BE,
即△DBE是等腰三角形.
4.如图,△ABC中,AB=AC,E在AC上,且AD=AE,DE的延长线与BC相交于F。
求证:
DF⊥BC.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵AD=AE,
∴∠D=∠AED,
∴∠ABC+∠D=∠ACB+∠AED,
∴∠ABC+∠D=∠ACB+∠CEF,
∴∠EFC=∠BFE=180°
×
=90°
∴DF⊥BC;
若把“AD=AE”与结论“DF⊥BC”互换,结论也成立。
∵DF⊥BC,
∴∠EFC=90°
∴∠C+∠CEF=∠B+∠D=90°
,
又∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠D=∠DEA
∴AD=AE;
若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换,结论依然成立。
5.如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,求证:
CM⊥MD.
连接AC,AD
∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED
∴△ABC≌△AED(SAS)
∴AC=AD
∵AM⊥CD
∴∠AMC=∠AMD=90°
∵AM=AM【公共边】
∴RT△ACM≌RT△ADM(HL)
∴CM=DM
6.如图,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于F,且AE=EF,求证:
BF=AC
过B点做AC的平行线交AD的延长线于G点
∵AD为中线,∴BD=CD
∵BG平行于AC,∴∠FGB=∠CAF,∠DBG=∠ACD
在△AFE和△GFB中
∵∠FGB=∠CAF,∠GFB=∠AFE
∴△AFE∽△GFB
∴∠FGB=∠FAE
∵AE=EF
∴∠FAE=∠AFE
∴∠BFG=∠G
∴△GFB为等腰三角形,且BF=BG
在△ADC和△GBD中
∵∠DBG=∠ACD,BD=CD,∠BDG=∠CDA
∴△ADC≌△GBD
∴BG=AC
∴BF=AC
7.已知:
如图,△ABC(AB≠AC)中,D、E在BC上,且DE=EC,过D点作DF∥BA,交AE于点F,DF=AC,求证:
AE平分∠BAC
延长AE,过D作DM‖AC交AE延长线于M
∴∠M=∠1
∠C=∠2
在△DEM与△CEA中
∠M=∠1
DE=CE
∴△DEM≌△CEA
∴DM=CA
又∵DF=CA
∴DM=DF
∴∠M=∠3
∵AB‖FD
∴∠3=∠4
∴∠4=∠1
∴AE平分∠BAC
8.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。
BD=CE
过D作DF∥AC交BC于F,
∵DF∥AC(已知),
∴∠DFC=∠FCE,∠DFB=∠ACB(平行线的性质),
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠ACB(等边对等角),
∴∠B=∠DFB(等量代换),
∴BD=DF(等角对等边),
∵BD=CE(已知),
∴DF=CE(等量代换),
∵∠DFC=∠FCE,∠DGF=∠CGE(已证),
∴△DFG≌△ECG(AAS),
∴DG=GE(对应边相等)
9.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC=CE,B是AD上一点,BE⊥CB 交CD于E,AC⊥DC,求证:
BE=1/2BC
过点A作AF⊥BC交BC于点F
因为:
△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠ABF=∠ACF…………
(1)
所以:
AF是BC上的垂直平分线,AF⊥BC,BF=CF=BC/2…………
(2)
BE⊥BC
BE//AF
∠DBE=∠BAF………………………………(3)
∠CBE=90°
∠DBE+∠ABF=90°
=∠ACF+∠ECB…………(4)
由
(1)和(4)知道:
∠DBE=∠ECB………………(5)
由(3)和(5)知道:
∠BAF=∠ECB
又因为:
AB=CE,∠BFA=∠EBC=90°
RT△BFA≌RT△EBC(角角边)
BF=EB…………………………………………(6)
由
(2)和(6)知道:
BE=BC/2
10.如图,AD为△ABC的角平分线,M为BC的中点,ME∥DA交BA延长线于E,求证:
BE=CF=1/2(AB+AC)
如图AD为△ABC的角平分线,M为BC的中点,ME//DA交BA的延长线于E。
你能运用“中线倍长的转化思想证明BE=CF=½
(AD+AC)吗?
试试看。
延长EM,使EM=MG,连接CG
∵点M是BC的中点
∴BM=CM
∵∠BME=∠CMG
∴△BME≌△CMG(SAS)
∴BE=CG
∠E=∠G
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∵ME∥DA
∴∠BAD=∠E
∠CAD=∠AFE
∴∠E=∠AFE
∴AE=AF
∵∠AFE=∠CFG
∴∠G=∠CFG
∴CF=CG
(2)求证有误,若是BE=CF=1/2(AB+AC),则结论可证
∵BE=AB+AE
∴2BE=2AB+2AE
∵CF=BE
AC=CF+AF
AE=AF
∴2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE=AB+BE+AE=AB+(CF+AE)
∵AC=AF+CF
∴2BE=AB+AC
∴BE=CF=1/2(AB+AC)
11.如图,已知△ABC中,AD⊥BC,∠ABC=2∠C.试说明AB+BD=CD的理由。
在DC上截取DE=BD,连接AE
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADE=90度
∵AD=AD
∴RT△ADB≌RT△ADE(SAS)
∴AB=AE
∠ABC=∠AEB
∵∠AEB=∠C+∠EAC
∵∠ABC=2∠C
∴∠EAC=∠C
∴AE=CE
∴AB=CE
∵CD=CE+DE
∴AB+BD=CD
12.已知:
如图,AD是△ABC的角平分线,且AC=AB+BD.
求证:
∠B=2∠C.
在AC上作AE=AB,连结DE
∵AC=AB+BD=AE+CE
∴BD=CE
∵AD是角平分线
∴∠BAD=∠EAD
又∵AB=AE,AD=AD
∴△ABD≌△EAD
∴∠B=∠AED,BD=DE=CE
∴∠EDC=∠C,∠AED=2∠C
即:
∠B=2∠C
13.如图所示,已知在△ABC中AD是∠A的平分线,且∠B=2∠C.求证:
AC=AB+BD.
延长AB到E,使AC=AE,连接DE
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠DAC(角平分线的定义)
∵公共边ADAC=AE∠BAD=∠DAC
∴△ACD≌△AED(两边及其夹角对应相等的两个三角形全等)
∴∠ACB=∠DEA(全等三角形形的对角相等)
∵∠BDE+∠DEB=∠CBA∠CBA=2∠ACB∠ACB=∠DEA
∴∠BDE=∠DEA
∴BD=BE(等角对等边)
∵AB+BE=AEAC=AEBD=BE
∴AB+BD=AC
14.如图,点E是等边△ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠BDE。
求∠BDE的度数
连接CE,
∵AC=BC,AE=BE,CE为公共边,
∴△BCE≌△ACE,
∴∠BCE=∠ACE=30°
又BD=AC=BC,∠DBE=∠CBE,BE为公共边,
∴△BDE≌△BCE,
∴∠BDE=∠BCE=30°
15.如图,已知在△ABC中,AB=BC=CA,E是AD上一点,并且EB=BD=DE.求证:
BD+DC=AD.
提示:
证明△ABE≌△BCD即可
16.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°
,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E,
CT=BE
方法一:
作DF‖BC交AB于F,则
∵∠AFD=∠B=∠ACD,AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边
∴△AFD≌△ACD,AF=AC
∵AF=AC,AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边
∴△ACT≌△AFT,TF⊥AF,TF‖CM
∵DF‖CT‖BE,TF‖CD,DE‖BF
∴四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形
∴CT=DF=BE
方法二:
作TF⊥AB于F,则
∵∠CDT=∠ADM=90°
-∠DAM=90°
-∠DAC=∠CTD
∴∠CDT=∠CTD,CT=CD
∵AT为∠BAC的角平分线,TF⊥AB
∴CT=TF=CD
∵DE‖BF,TF‖CD,TF=CD
∴△CDE≌△TFB,CE=TB
∴CE-TE=TB-TE,CT=BE
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