初一奥赛培训05:方程组的解法Word格式.doc
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11、将式子3x2+2x﹣5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式,试求代数式+(a+b)2+c的值
12、k为何值时,方程组有唯一一组解;
无解;
无穷多解?
13、若方程组的解满足x+y=0,试求m的值.
答案与评分标准
一、解答题(共13小题,满分120分)
考点:
解三元一次方程组。
专题:
计算题。
分析:
==2表示两个方程,即=2和=2,所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次方程组,然后用加减消元法和代入法解方程即可.
解答:
解:
将原方程组改写为:
,
由方程②得x=6+4y,代入①化简得
11y﹣4z=﹣19④,
由③得2y+3z=4⑤,
由④×
3+⑤×
4得:
33y+8y=﹣57+16,
∴y=﹣1.
将y=﹣1代入⑤,得z=2.将y=﹣1代入②,得x=2.
∴为原方程组的解.
点评:
本题的实质是考查三元一次方程组的解法.解题时主要运用了加减消元法和代入法.
多元一次方程组。
根据题意将x、y、z、u分别表示出来,然后以x为标准分别将未知数代入,继而可得出关于x的一元一次方程,解出后以此代入可得出各未知数的值.
由原方程组得:
∴x=5﹣2y=5﹣2(8﹣2z)=﹣11+4z,
=﹣11+4(11﹣2u),
=33﹣8u,
=33﹣8(6﹣2x),
=﹣15+16x,
即x=﹣15+16x,
解之得x=1.
将x=1代入⑧得u=4.
将u=4代入⑦得z=3.
将z=3代入⑥得y=2.
∴.
本题考查了多元一次方程组的解法,难度不大,但技巧性较强,通过本题同学们要掌握此题的解题思路,另外本题还可以按部就班的消元来解,只是相对麻烦一点.
先由①+②消去未知数y、z,再由②+③消去未知数z、u,然后③+④、④+⑤分别消去u、v和v、x,然后再5个方程相加,再用加减消元法和代入法求解即可.
分析注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程:
①+②得x+u=3,⑥
②+③得y+v=5,⑦
③+④得z+x=7,⑧
④+⑤得u+y=9.⑨
又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15.⑩
由⑩﹣⑥﹣⑦得z=7,
把z=7代入⑧得x=0,
把x=0代入⑥得u=3,
把u=3代入⑨得y=6,
把y=6代入⑦得v=﹣1.
本题的实质是考查多元一次方程组的解法,通过解方程组,了解消元的思想方法,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.解三元一次方程组的关键是消元.
通过观察题目,可以通过换元法,把方程组简单化,然后再进行消元,最后依次得解
令A=,B=,C=,原方程组化为:
由①+②得:
2A=7
A=④
把④代入②得:
+2B=5
B=⑤
把④,⑤代入②得:
C=⑥
分别把④、⑤、⑥代入A=,B=,C=,可得:
检验:
把x、y、z的值代入原方程组的分母,不使分母为零,所以所得的值为原方程组的解.
原方程组的解为:
熟练运用换元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”,从而简化方程组的求解过程.还要注意分式方程得解后要检验.
解分式方程。
分析一般想法是利用方程组求出x,y,z的值之后,代入所求的代数式计算.但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的,因此无法求出x,y,z的确定有限解,但我们可以利用加减消元法将原方程组变形.
①﹣②消去x得
=0,即=﹣1
①×
3+②消去y得
=0,即=﹣1;
5+②×
3消去z得
﹣=0,即=1
∴++=1﹣1﹣1=﹣1.
本题考查了解分式方程.注意消元法也是解分式方法的好办法.
解二元一次方程组。
先把①中y的值代入②,使方程变为只含x的一元一次方程,根据x的系数讨论方程组
(1)有唯一一组解;
(3)有无穷多组解时a的取值即可.
解由①得,2y=(1+a)﹣ax,③
将③代入②得,(a﹣2)(a+1)x=(a﹣2)(a+2),④
(1)当(a﹣2)(a+1)≠0,即a≠2且a≠﹣1时,方程④有唯一解x=,将此x值代入③有y=因而原方程组有唯一一组解;
(2)当(a﹣2)(a+1)=0且(a﹣2)(a+2)≠0时,即a=﹣1时,方程④无解,因此原方程组无解;
(3)当(a﹣2)(a+1)=0且(a﹣2)(a+2)=0时,即a=2时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有无穷多组解.
本题考查的是解一元一次方程组,此类题目与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论.但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零.
计算题;
方程思想。
将已知方程按a整理得(x+y﹣2)a=x﹣2y﹣5,要使这些方程有一个公共解,说明这个解与a的取值无关,即这个关于a的方程有无穷多个解,所以只须x+y﹣2=0且x﹣2y﹣5=0.联立以上两方程即可求出结果.
将方程化为a的表达式:
(x+y﹣2)a=x﹣2y﹣5,
由于x,y的值与a的取值无关,即这个关于a的方程有无穷多个解,
所以有,
解得.
本题考查了关于x的方程ax=b有无穷解的条件:
a=b=0,此知识点超出初中教材范围,属于竞赛题型.同时考查了二元一次方程组的解法.本题关键在于将已知方程按a整理以后,能够分析得出这个方程的解与a的取值无关,即这个关于a的方程有无穷多个解,从而转化为求解关于x、y的二元一次方程组.
二元一次方程组的解。
根据题意,用代入法列出方程即可解出答案.
因为甲只看错了方程①中的a,所以甲所得到的解为,
应满足无a的正确的方程②,即4×
(﹣3)﹣b×
(﹣1)=﹣2.③
同理,,应满足正确的方程①,即a×
5+5×
4=13.④
解由③,④联立的方程组得:
∴原方程组应为:
解得:
.
本题考查了二元一次方程组的解,属于基础题,关键掌握用代入法求解方程.
解三元一次方程组;
两个方程组都可以运用加减消元法和代入法解得.
(1)原方程组变形为,
由②×
2﹣①×
3得:
x+13y=60④,
由③+②得:
x+2y=16⑤,
由④﹣⑤得:
y=4,
把y=4代入⑤得x=8,
把x、y的值代入②得:
z=6,
∴原方程组的解为;
(2)原方程组变形为:
由①×
3﹣②得y=x,
把它代入①得:
x1=0,x2=20,
∴y1=0,y2=30,
∴原方程组的解为(不符合题意,舍去),
原方程的解为.
本题考查了三元一次方程组和二元一次方程组的解法.主要运用了加减消元法和代入法.
代数式求值。
本题的方程组为对称轮换式,把5个方程相加得x1+x2+x3+x4+x5=31,要求x4、x5,就分别与④⑤相减即可.
①+②+③+④+⑤得6x1+6x2+6x3+6x4+6x5=186
解得x1+x2+x3+x4+x5=31⑥
④﹣⑥得:
x4=17,
⑤﹣⑥得:
x5=65,
∴3x4+2x5=3×
17+2×
65=181.
本题考查了代数式的求值,代数式中涉及的字母为方程组的未知数,虽然方程组比较复杂,但有一定的规律,需要观察规律求解.
将式子3x2+2x﹣5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式,则说明3x2+2x﹣5=a(x+1)2+b(x+1)+c,整理变形,根据等式左右两边系数相等的原则,可以求出a、b、c的值,进而代入代数式化简即可.
由题意得,3x2+2x﹣5=a(x+1)2+b(x+1)+c,
即:
3x2+2x﹣5=ax2+(2a+b)x+(a+b+c)
所以a=3,2a+b=2,a+b+c=﹣5,
解得,a=3,b=﹣4,c=﹣4,
将a、b、c的值代入代数式,
得,+(a+b)2+c=(3﹣4)2﹣4=1+1﹣4=﹣2.
本题考查了求代数式的值,将已知条件整理变形,求得所求代数式中未知数的值是解题的关键.
分类讨论。
先将方程组整理成二元一次方程组的一般形式,再根据二元一次方程组的解的三种情况进行分析,从而得出结果.
原方程组可化为,
①当,即k≠﹣2时,原方程组有唯一一组解;
②当=≠,即k无论取什么值,都不能使原方程组无解;
③当==,即k=﹣2时,原方程组有无穷多解.
本题考查了二元一次方程组的解的三种情况,这个知识点在初中教材大纲中不涉及,属于竞赛题型,有一定难度.关于x、y的二元一次方程组的解有如下三种情况:
①当x的系数与y的系数不成比例即≠时,原方程组有唯一一组解;
②当x的系数与y的系数成比例但与常数项不成比例即=≠时,原方程组无解;
③当x的系数与y的系数及常数项都成比例即==时,原方程组有无穷多组解.
由题意知x+y=0和方程组有公共解,然后用加减消元法和代入法解方程即可.
由题意知x+y=0和方程组有公共解,
∴3x+4y=m﹣4变形为:
m=3x+4y+4,
把它代入x﹣2y=3m+2得:
16x+28y=﹣29,
又∵x+y=0,∴x=﹣y,
把它代入16x+28y=﹣29得:
y=﹣,
∴x=,
把x、y的值代入m=3x+4y+4得:
m=﹣
本题的实质是考查三元一次方程组的解法.需要对三元一次方程组的定义有一个深刻的理解.方程组有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组,叫三元一次方程组.通过解方程组,了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法,从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法.解三元一次方程组的关键是消元.
参与本试卷答题和审题的老师有:
王岑;
HLing;
bjf;
zhangCF;
CJX;
mrlin;
mengcl;
caicl;
ZHAOJJ。
(排名不分先后)
菁优网
2012年2月4日
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