22.3菱形的判定常考题(含有详细的答案解析)Word文件下载.doc
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1、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连接AD,在AD的延长线上取一点E,连接BE,CE.
(1)求证:
△ABE≌△ACE;
(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?
并说明理由.
2、如图,在▱ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,连接DE、BF、BD.
△ADE≌△CBF.
(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?
请证明你的结论.
3、(2007•娄底)如图,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
AE=DF;
(2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.
4、(2011•常州)已知:
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,BC=CD,AD⊥BD,E为AB中点,求证:
四边形BCDE是菱形.
5、如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.
△ABC≌△DCB;
(2)过点C作CN∥BD,过点B作BN∥AC,CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,并证明你的结论.
6如图,△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O,CE∥AB交MN于E,连接AE、CD.
AD=CE;
(2)填空:
四边形ADCE的形状是 _________ .
7如图△ABC与△CDE都是等边三角形,点E、F分别在AC、BC上,且EF∥AB
四边形EFCD是菱形;
(2)设CD=4,求D、F两点间的距离.
8(2007•双柏县)如图,在梯形纸片ABCD中,AD∥BC,AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点C落在AD上的点C处,折痕DE交BC于点E,连接C′E.
求证:
四边形CDC′E是菱形.
9已知:
如图,平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.
四边形AFCE是菱形.
10、如图,等边△ABC的边长为2,E是边BC上的动点,EF∥AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB,连接FP.
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段;
(不再另外添加辅助线)
(2)探究:
当点E在什么位置时,四边形EFPC是平行四边形?
并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形,请说明理由;
(1)
11若如图,在四边形ABCD中,点E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是BD、AC的中点,AB、CD满足什么条件时,四边形EGFH是菱形?
请证明你的结论。
l图,在△ABC中,∠ACB=90°
,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE.
l
(1)说明四边形ACEF是平行四边形;
l
(2)当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由。
l
答案与评分标准
一、选择题(共10小题)
1、(2008•天津)在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),B(﹣2,0),C(0,﹣2),D(2,0),则以这四个点为顶点的四边形ABCD是( )
考点:
坐标与图形性质;
菱形的判定。
分析:
画出草图,求得各边的长,再根据特殊四边形的判定方法判断.
解答:
解:
在平面直角坐标系中画出图后,可发现这个四边形的对角线互相平分,先判断为平行四边形,对角线还垂直,那么这样的平行四边形应是菱形.
故选B.
点评:
动手画出各点后可很快得到四边形对角线的特点.
2、用两个全等的等边三角形,可以拼成下列哪种图形( )
C、正方形 D、等腰梯形
等边三角形的性质;
专题:
操作型。
由题可知,得到的四边形的四条边也相等,得到的图形是菱形.
由于两个等边三角形的边长都相等,则得到的四边形的四条边也相等,
即是菱形.
本题利用了菱形的概念:
四边相等的四边形是菱形.
3、(2008•泰安)如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )
菱形的判定;
平行四边形的性质。
计算题。
菱形的判定方法有三种:
①定义:
一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②四边相等;
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
根据菱形的判定:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知:
①,③正确.
故选A.
本题考查菱形的判定,即对角线互相垂直的平行四边形是菱形,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
4、(2007•衢州)红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别在胸前,如图所示.红丝带重叠部分形成的图形是( )
A、正方形 B、等腰梯形
C、菱形 D、矩形
应用题。
首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条彩带宽度相同;
再由平行四边形的面积可得邻边相等,则重叠部分为菱形.
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,因为两条彩带宽度相同,
所以AB∥CD,AD∥BC,AE=AF.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF.又AE=AF.
∴BC=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
故选C.
本题利用了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形.
5、(2007•泸州)在同一平面内,用两个边长为a的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形是( )
等边三角形的性质。
用两个边长为a的等边三角形拼成的四边形,它的四条边长都为a,根据菱形的定义四边相等的四边形是菱形.
根据题意得,拼成的四边形四边相等,
则是菱形.
此题主要考查了等边三角形的性质,菱形的定义.
6、(2004•南京)用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )
A、等腰梯形 B、正方形
C、矩形 D、菱形
由于两个等边三角形的边长都相等,则得到的四边形的四条边也相等,即是菱形.
由题意可得:
得到的四边形的四条边相等,即是菱形.
故选D.
7、汶川地震后,吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”,号召市民为四川受灾的人们祈福.人们将绿丝带剪成小段,并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前,如图所示,绿丝带重叠部分形成的图形是( )
首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条丝带宽度相同;
8、能判定一个四边形是菱形的条件是( )
根据菱形的判定方法:
对角线互相垂直平分来判断即可.
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.只有D能判定为是菱形,
本题考查菱形对角线互相垂直平分的判定.
9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d,且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,则此四边形一定是( )
非负数的性质:
偶次方。
本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣d)2+(a﹣d)2=0,从而得出a=b=c=d,∴四边形一定是菱形.
整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad,
2(a2+b2+c2+d2)=2(ab+bc+cd+ad),)
∴(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣d)2+(a﹣d)2=0,
由非负数的性质可知:
(a﹣b)=0,(b﹣c)=0,(c﹣d)=0,(a﹣d)=0,
∴a=b=c=d,
∴四边形一定是菱形,
此题主要考查了菱形的判定,关键是整理配方式子,还利用了非负数的性质.
10、(2008•梅州)如图所示,圆O的弦AB垂直平分半径OC,则四边形OACB( )
A、是正方形 B、是长方形
C、是菱形 D、以上答案都不对
垂径定理;
根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解.
由垂径定理知,OC垂直平分AB,即OC与AB互相垂直平分,所以四边形OACB是菱形.
本题综合考查了垂径定理和菱形的判定方法.
二、填空题(共8小题)
11、(2009•青海)如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是 AC⊥BD或AB=BC或BC=CD或AB=AD (只填一个你认为正确的即可).
开放型。
根据平行四边形的性质和菱形的性质,可添加:
AC⊥BD或AB=BC,或BC=CD,或CD=DA,或AB=AD.
四边形ABCD的对角线互相平分,则四边形ABCD为平行四边形,
再依据:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形,
可添加:
AC⊥BD或AB=BC,或BC=CD,或CD=DA,或AB=AD(答案不唯一)
本题考查平行四边形及菱形的判定.菱形的判定方法有三种:
12、(2007•成都)如图,如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是 AB=AD或AC⊥BD .
∴可添加:
AB=AD或AC⊥BD.
因为一组邻边相等的平行四边形是菱形,对角线互相垂直平分的四边形是菱形,那么可添加的条件是:
本题考查菱形的判定,答案不唯一.
13、(2005•中原区)如图,平行四边形ABCD中,AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,使四边形AECF为菱形,则添加的一个条件可以是 AC⊥EF或AF=CF等 .(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”)
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形,由平行四边形的性质知,对角线互相平分,又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,可得:
当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形.
则添加的一个条件可以是:
AC⊥EF.
证明:
∵AD∥BC,
∴∠FAD=∠AFB,
∵AF是∠BAD的平分线,
∴∠BAF=FAD,
∴∠BAF=∠AFB,
∴AB=BF,
同理ED=CD,
∵AD=BC,AB=CD,
∴AE=CF,
又∵AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形,
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,
本题考查了菱形的判定,利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解,答案不唯一.
14、(2005•太原)在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,从
(1)AB=CD;
(1)
(2)(6) =>ABCD是菱形;
(3)(4)(5)@(3)(4)(6) =>ABCD是菱形.
(1)
(2)(6)⇒ABCD是菱形.
先由
(1)
(2)得出四边形是平行四边形,
再由(6)和
(2)得出∠DAC=∠DCA,
由等角对等边得AD=CD,
所以平行四边形是菱形.
(3)(4)(5)=>ABCD是菱形.
由对角线互相平分且垂直的四边形是菱形.
(3)(4)(6)=>ABCD是菱形.
由(3)(4)得出四边形是平行四边形,
再由(6)得出∠DAC=∠DCA,
本题考查菱形的判定.
15、若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件 AB=BC@AC⊥BD (写一个即可),使四边形ABCD是菱形.
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.据此判断即可.
因为一组邻边相等的平行四边形是菱形;
对角线互相垂直平分的四边形是菱形.可补充条件:
AB=BC或AC⊥BD.
主要考查了菱形的特性.菱形的特性:
菱形的四条边都相等;
菱形的对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.
16、在四边形ABCD中,给出四个条件:
①AB=CD,②AD∥BC,③AC⊥BD,④AC平分∠BAD,由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形,你认为这三个条件是 ①③④或②③④ .(写四个条件的不给分,只填序号)
全等三角形的判定与性质。
设AC与BD交于点E,由③AC⊥BD,④AC平分∠BAD可证得,Rt△AEB≌Rt△AED,
∴AB=AD,BE=DE,
再由∠BEC=∠DEC=90°
,CE=CE,证得Rt△BCE≌Rt△DCE,
再由①AB=CD,可根据四边相等的四边形是菱形而得证为菱形;
或者再由②AD∥BC,证得:
Rt△AED≌Rt△BCE,
∴AE=EC,
由对角线互相垂直平分的四边形是菱形而得证为菱形.
故填写①③④或②③④.
本题考查了菱形的判定,利用全等三角形的判定和性质来证明.
17、要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 平行四边 形,再说明 有一组邻边相等 (只需填写一种方法)
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.所以,要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等.
因为一组邻边相等的平行四边形是菱形,所以,要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等.
18、如图,四边形ABCD是平行四边形,AC、BD相交于点O,不添加任何字母和辅助线,要使四边形ABCD是菱形,则还需添加一个条件是 AB=BC(答案不唯一) (只需填写一个条件即可).
所以可添加AB=BC.
AB=BC或AC⊥BD等.
本题考查了菱形的判定,答案不唯一.
19、(2009•娄底)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连接AD,在AD的延长线上取一点E,连接BE,CE.
全等三角形的判定;
证明题。
由题意可知三角形三线合一,结合SAS可得△ABE≌△ACE.四边形ABEC相邻两边AB=AC,只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件,当AE=2AD(或AD=DE或DE=AE)时,根据对角线互相平分,可得四边形是平行四边形.
(1)证明:
∵AB=AC,点D为BC的中点,
∴∠BAE=∠CAE,
∵AE=AE
∴△ABE≌△ACE(SAS).
(2)解:
当AE=2AD(或AD=DE或DE=AE)时,四边形ABEC是菱形
理由如下:
∵AE=2AD,∴AD=DE,
又∵点D为BC中点,
∴BD=CD,
∴四边形ABEC为平行四边形,
∵AB=AC,
∴四边形ABEC为菱形.
本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理,比较容易.
20、(2008•贵阳)如图,在▱ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,连接DE、BF、BD.
平行四边形的性质;
证明题;
探究型。
(1)根据题中已知条件不难得出,AD=BC,∠A=∠C,E、F分别为边AB、CD的中点,那么AE=CF,这样就具备了全等三角形判定中的SAS,由此可得出△AED≌△CFB.
(2)直角三角形ADB中,DE是斜边上的中线,因此DE=BE,又由DE=BF,FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形.
在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,AD=BC,
∵E、F分别为AB、CD的中点,
∴AE=CF.
在△AED和△CFB中,
∴△AED≌△CFB(SAS);
若AD⊥BD,则四边形BFDE是菱形.
∵AD⊥BD,
∴△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°
.
∵E是AB的中点,
∴DE=AB=BE.
由题意可知EB∥DF且EB=DF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
∴四边形BFDE是菱形.
本题主要考查了全等三角形的判定,平行四边形的性质和菱形的判定等知识点.
21、(2007•娄底)如图,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.
全等三角形的判定与性质;
(1)利用AAS推出△ADE≌△DAF,再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF;
(2)先根据已知中的两组平行线,可证四边形DEFA是▱,再利用AD是角平分线,结合AE∥DF,易证∠DAF=∠FDA,利用等角对等边,可得AF=DF,从而可证▱AEDF实菱形.
(1)∵DE∥AC,∠ADE=∠DAF,
同理∠DAE=∠FDA,
∵AD=DA,
∴△ADE≌△DAF,
∴AE=DF;
(2)若AD平分∠BAC,四边形AEDF是菱形,
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴∠DAF=∠FDA.
∴AF=DF.
∴平行四边形AEDF为菱形.
考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况.
22、(2011•常州)已知:
由题意易得DE=BE,再证四边形BCDE是平行四边形,即证四边形BCDE是菱形.
∴△ABD是Rt△
∴BE=AB,DE=AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴BE=DE,
∴∠EDB=∠EBD,
∵CB=CD,
∴∠CDB=∠CBD,
∵AB∥CD,
∴∠EBD=∠CDB,
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD,
∵BD=BD,
∴△EBD≌△CBD(ASA),
∴BE=BC,
∴CB=CD=BE=DE,
∴菱形BCDE.(四边相等的四边形是菱形)
此题主要考查菱形的判定,综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质.
23、(2009•云南)如图,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.
全等三角形的判定。
(1)由SSS可证△ABC≌△DCB;
(2)BN=CN,可先证明四边形
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