高考数学总复习提素能高效题组训练75Word下载.docx
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②③正确,故选C.
C
3.(2013年泉州质检)设α,β,γ是三个互不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ
B.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若α⊥β,m⊥α,则m∥β
D.若α∥β,m⊄β,m∥α,则m∥β
对于A,若α⊥β,β⊥γ,α,γ可以平行,也可以相交,A错;
对于B,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m,n可以平行,可以相交,也可以异面,B错;
对于C,若α⊥β,m⊥α,则m可以在平面β内,C错;
D正确.
D
4.(2013年青岛模拟)如图所示,b,c在平面α内,a∩c=B,b∩c=A,且a⊥b,a⊥c,b⊥c,若C∈a,D∈b,E在线段AB上(C,D,E均异于A,B),则△ACD是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
∵a⊥b,b⊥c,a∩c=B,
∴b⊥面ABC,
∴AD⊥AC,故△ACD为直角三角形.
5.(2012年高考浙江卷)已知矩形ABCD,AB=1,BC=
,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.
对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F,在图
(1)中,由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.在图
(2)中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,又∵AC∩AE=A,∴BD⊥面ACE,∴BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.
对于选项B,若AB⊥CD,又∵AB⊥AD,AD∩CD=D,∴AB⊥面ADC,∴AB⊥AC,由AB<
BC可知存在这样的等腰直角三角形,使得直线AB与直线CD垂直,故B正确.
对于选项C,若AD⊥BC,又∵DC⊥BC,AD∩DC=D,
∴BC⊥面ADC,∴BC⊥AC.已知BC=
,AB=1,BC>
AB,∴不存在这样的直角三角形.∴C错误.
由上可知D错误,故选B.
二、填空题
6.(2013年南昌调研)已知平面α,β和直线m,给出条件:
①m∥α;
②m⊥α;
③m⊂α;
④α∥β.当满足条件________时,有m⊥β.(填所选条件的序号)
若m⊥α,α∥β,则m⊥β.故填②④.
②④
7.如图PA⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:
①AE⊥BC;
②EF⊥PB;
③AF⊥BC;
④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号是________.
①AE⊂平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA⇒AE⊥BC,
故①正确,②AE⊥PB,AF⊥PB⇒EF⊥PB,故②正确,③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC,则AF∥AE与已知矛盾,
故③错误,由①可知④正确.
①②④
8.(2013年淮北模拟)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是棱PC,PD的中点,则
①棱AB与PD所在的直线垂直;
②平面PBC与平面ABCD垂直;
③△PCD的面积大于△PAB的面积;
④直线AE与直线BF是异面直线.
以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
由条件可得AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD,故①正确;
∵PA⊥平面ABCD,
∴平面PAB、平面PAD都与平面ABCD垂直,
故平面PBC不可能与平面ABCD垂直,②错;
S△PCD=
CD·
PD,S△PAB=
AB·
PA,
由AB=CD,PD>PA知③正确;
由E,F分别是棱PC,PD的中点可得EF∥CD,
又AB∥CD,所以EF∥AB,故AE与BF共面,故④错.
①③
9.(2013年哈尔滨三校联考)如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是________.
如图,过D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK,
∵平面ABD⊥平面ABC,
DK⊥AB,
∴DK⊥平面ABC,∴DK⊥AF.
∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.
容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.
∴t的取值范围是
.
三、解答题
10.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD是正方形,DM⊥PC,垂足为M.
(1)求证:
BD⊥平面PAC;
(2)求证:
平面MBD⊥平面PCD.
证明:
(1)连接AC,
∵底面ABCD是正方形,
∴BD⊥AC.
∵PA⊥底面ABCD,
BD⊂平面ABCD,
∴PA⊥BD.
∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
(2)由
(1)知BD⊥平面PAC,
∵PC⊂平面PAC,∴BD⊥PC,
∵DM⊥PC,BD∩DM=D,
∴PC⊥平面DBM.
∵PC⊂平面PDC,
∴平面MBD⊥平面PCD.
11.(2013年泉州模拟)如图所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.
B1D1∥平面A1BD;
MD⊥AC;
(3)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
(1)证明:
由直四棱柱,得BB1∥DD1,
又∵BB1=DD1,
∴BB1D1D是平行四边形,
∴B1D1∥BD.
∵BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD
∴B1D1∥平面A1BD.
(2)证明:
∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴BB1⊥AC.
又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D.
而MD⊂平面BB1D,∴MD⊥AC.
(3)当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,如图所示.
∵N是DC的中点,BD=BC,
∴NB⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,
而平面ABCD⊥平面DCC1D1,
∴BN⊥平面DCC1D1.
又可证得O是NN1的中点,
∴BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四边形.
∴BN∥OM,∴OM⊥平面CC1D1D.
∵OM⊂平面DMC1,
∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.
12.(能力提升)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(1)求出该几何体的体积;
EM∥平面ABC;
(3)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE?
若存在,确定点N的位置;
若不存在,请说明理由.
由题意,EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,
AE∥DC,AE=2,
DC=4,AB⊥AC,且AB=AC=2.
(1)∵EA⊥平面ABC,∴EA⊥AB,又AB⊥AC,
∴AB⊥平面ACDE.
∴四棱锥BACDE的高h=AB=2,梯形ACDE的面积S=6,
∴VBACDE=
Sh=4,即所求几何体的体积为4.
∵M为DB的中点,取BC中点G,连接EM,MG,AG,
∴MG∥DC,且MG=
DC,
∴MG平行且等于AE,
∴四边形AGME为平行四边形,
∴EM∥AG,又AG⊂平面ABC,EM⊂平面ABC,
∴EM∥平面ABC.
(3)由
(2)知,EM∥AG,
又∵平面BCD⊥底面ABC,AG⊥BC,
∴AG⊥平面BCD.
∴EM⊥平面BCD,又∵EM⊂平面BDE,
∴平面BDE⊥平面BCD.
在平面BCD中,过M作MN⊥DB交DC于点N,
∴MN⊥平面BDE,点N即为所求的点,
△DMN∽△DCB,
∴
=
,即
,
∴DN=3,∴DN=
∴边DC上存在点N,满足DN=
DC时,有NM⊥平面BDE.
[因材施教·
学生备选练习]
1.(2013年西安质检)如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°
,∠BAD=90°
,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列命题正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
在平面图形中CD⊥BD,折起后仍有CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,故CD⊥平面ABD,CD⊥AB.又AB⊥AD,故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D选项正确.易知选项A、B、C错误.
2.正四棱锥SABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为________.
如图,取CD的中点F、SC的中点G,连接EF,EG,FG,设EF交AC于点H,易知AC⊥EF,
又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,
∴AC⊥GH,GH∩EF=H,
∴AC⊥平面EFG.
故点P的轨迹是△EFG,其周长为
+
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