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位置
两个分支分别位于
一、三象限
二、四象限
变化趋势
在每个象限内,y随x
的增大而减小
的增大而增大
是轴对称图形,直线y
x是它的两条对称轴
对称性
是中心对称图形,对称中心为坐标原点
3.反比例函数的性质(与正比例函数对比)
函数解析式
正比例函数y=kx(k≠0)
(k≠0)
自变量的
取值范围
全体实数
x≠0
图象
直线,经过原点
双曲线,与坐标轴没有交点
图象位置(性质)
当k>0时,图象经过一、三象限;
当当k>0时,图象的两支分别位于一、
三
k<0时,图象经过二、四象限.象限;
当k<0时,图象的两支分别位
于二、四象限.
(1)当k>0时,在每个象限内
y随x
(1)当k>0时,y随x的增大而增大;
当k<0时,在每个象
的增大而减小;
性质
当k<0时,y随x的增大而减小.
(2)
限内y随x的增大而增大.
(2)
越大,
越大,图象越靠近
y轴.
图象的弯曲度越小,曲线越平直.
注:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.
(2)
正比例函数
与反比例函数
,
当
时,两图象没有交点;
时,两图象必有两个交点,
且这两个交点关于原点成中心对称.
(3)
反比例函数与一次函数的联系.
4.反比例函数中比例系数k的几何意义
(1)过双曲线(k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得矩形的面积为.
(2)过双曲线(k≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点和原点,所得三角
形的面积为
二、典型例题分析
1.反比例函数定义
【例1】如果函数y
kx2k2k2的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么
k的
值是多少?
1.反比例函数y
2的图像位于(
)
A.第一、二象限
B.第一、三象限C.第二、三象限
D.第二、四象限
2.若双曲线y=-x经过点A(m,-2m),则m的值为(
A.3
B.3
C.±
3
D.±
3.已知某反比例函数的图象经过点(m,n),则它一定也经过点()
A.(m,-n)B.(n,m)C.(-m,n)D.(︱m︱,︱n︱)
4.(2007陕西)在△ABC的三个顶点A(2,3),B(4,5),C(3,2)中,可能在
反比例函数y
k(k0)的图象上的点是
.
5.若点P(4,m)关于y轴对称的点在反比例函y=(x≠0)的图象上,则m
的值是
2.反比例函数的表示
【例2】已知yy1y2,y1与x成正比例,y2与x2成反比例,且
x2时和x3时,y的值都是19,求y与x间的函数解析式
1.若y与x成反比例,x与z成正比例,则y是z的()
A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、不能确定
2.已知y与(x2)成反比例关系,且当x1时,y4,
则y关于x的函数解析式为
3.已知y与x成正比例(比例系数为k),y
与x成反比例(比例系数为
k),若函数yy1y2
的图象经过点(
1,2),(2,1),则8k1
5k2
3.反比例函数的增减性问题.
【例3】在反比例函数y
1的图像上有三点x1
,y1
,x2,y2,x3
,y3。
若x1x2
x3则下列各式正确的是(
A.y3
y1
y2B.y3y2y1C.y1
y2
y3D.y1y3
1.在反比例函数图象上有两点A(,),B(),当时,有
,则m的取值范围是().
A.m<0B.m>0C.m<0.5D.m>0.5
2:
已知反比例函数的图象上两点A(,),B(,),当时,
有,则m的取值范围是_________.
3:
若反比例函数上,有三点A(,),B(,),C(,),且
,则,,的大小关系是________.
4.设有反比例函数yk1,(x1,y1)、(x2,y2)为其图象上的两点,若x10x2
时,y1y2,则k的取值范围是___________
4.反比例函数与图象的面积问题.
(1)求函数解析式
1.如图,P是反比例函数图象在第二象限上的一点,且矩形PEOF的面积为3.求这个反
函数的解析式.
2.(2007山东枣庄)反比例函数yk的图象如图所示,点M是该函x
数图象上一点,MN垂直于x轴,垂足是点N,如果S△MON=2,则k的值为()
(A)2(B)-2
(C)4(D)-4
(2)求图形面积的问题
1.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点,分别以A、B两点为圆心,画
与y轴相切的两个圆,若点A的坐标为(1,2),求图中两个阴影面积的和.
(3)求特殊点组成图形的面积
1.如图,反比例函数y=与一次函数y=-x+2的图象相交于A、B两点.
(1)
求A、B两点的坐标;
求△AOB的面积.
5.k的几何意义及应用
1.点P为反比例函数图象上一点,如图,若阴影部分的面积是
12个
(平方单位),则解析式为
2.如图,反比例函数
ykx(k0)
相交于A、B
的图象与直线
两点,AC∥y轴,BC∥x轴,则△ABC的面积等于
个面积单位.
如图,已知双曲线
(x>0)经过矩形OABC边AB的中点F,交BC于点E,且四边
形OEBF的面积为
2,则k=______________。
A
C
E
B
O
F
(第2题图)
(第3题图)
6.反比例函数和一次函数的综合
例1.函数y=与y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()
1.已知反比例函数y=x(k≠0),当x<0时,y随x的增大而增大,那么一次
函数y=kx-k的图象经过(
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限
kb
2.已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则反比例函数
y=x
的图象在(
A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限
3.在同一坐标系中,函数yx和ykx3的图像大致是()
ABCD
4.(2007浙江宁波)如图,是一次函数y=kx+b与反比例函数
y=
2的图像,则关于
x的方程kx+b=2的解为()
(A)x
l=1,x2
=2
(B)x
l=-2,x2=-1
(C)x
=-2
(D)x
l=2,x2=-1
5.已知反比例函数y=x(k≠0),当x<0时,y随x的增
大而增大,那么一次函数y=kx-k的图象经过()
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限
6.(2007湖北潜江)如图,反比例函数y5的图象与直线ykx(k0)相
交于B两点,AC∥y轴,BC∥x轴,则△ABC的面积等于个面积单位.
例2.如图,已知A(-4,2)、B(n,-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点.
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
解:
(1)∵点A(-4,2)和点B(n,-4)都在反比例函数y=的图象上,
∴解得
又由点A(-4,2)和点B(2,-4)都在一次函数y=kx+b的图象上,
∴反比例函数的解析式为,一次函数的解析式为y=-x-2.
(2)x的取值范围是x>2或-4<x<0.
例3.直线y=k1x+b与双曲线y=只有—个交点A(1,2),且与x轴、y轴分别交于B,
C两点,AD垂直平分OB,垂足为D,求直线、双曲线的解析式.
∵点A(1,2)在上
∴,∴
∴双曲线的解析式为
∵AD垂直平分OB,
∴OD=1,OB=2
∴B(2,0)
∵A(1,2),B(2,0)在直线上
∴
解得
∴直线解析式为.
例4.如图,已知直线与双曲线交于A、B两点,且点A的横坐
标为4.
(1)求k的值;
(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积;
(1)∵点A横坐标为4,∴当=4时,=2.
∴点A的坐标为(4,2).
∵点A是直线与双曲线的交点,
∴k=4×
2=8.
(2)解法一:
如图,
∵点C在双曲线上,当=8时,=1
∴点C的坐标为(1,8).
过点A、C分别做轴、轴的垂线,垂足为M、N,
得矩形DMON.
S矩形ONDM=32,S△ONC=4,S△CDA=9,S△OAM=4.
S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.
解法二:
过点C、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,
∵点C在双曲线上,当=8时,=1.
∵点C、A都在双曲线上,
∴S△COE=S△AOF=4.
∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.
∴S△COA=S梯形CEFA.
∵S梯形CEFA=×
(2+8)×
3=15,∴S△COA=15.
7.反比例函数图象上、下平移;
关于坐标轴对称;
关于坐标原点中心对称;
绕原点顺(逆)
时针旋转90后的解析式
1.如图,一次函数y
xb与反比例函数y
A、B两点,若已知一个交
的图象相交于
点为A(2,1),则另一个交点B的坐标为(
A.(2,-1)
B.(-2,-1)
C.(-1,-2)
D.(1,2)
2.反比例函数的图象经过点M(3,),将其图象向上平移
2个单位后,得到的图象所对应的函数解析式为
3.若将反比例函数y的图象绕原点O逆时针旋转90后经过点A(-2,3),则反比例
函数的解析式为:
8.反比例函数与一次函数、方程、不等式的综合问题
1.已知k1<0<k2,则函数y=k1x和y
k2
的图象大致是(
).
D
2.如图,已知直线
y1x
m与x轴、y轴分别交于点
A、B,
(第24题图)
与双曲线y2k(x<
0)分别交于点C、D,且点C的坐标为(-1,2).
错误!
未找到引用源。
分别求出直线及双曲线的解析式;
求出点D的坐标;
利用图象直接写出当x在什么范围内取值时,y1y2.
9.求双曲线与直线交点问题;
数形结合等思想方法的应用
1.反比例函数中y=5,当x<
2时,y的取值范围是
;
当y≥-1时,x的取值范围是
2.一次函数y=kx+b与反比例函数
2的图象如图,则关于
x的
2的解为(
方程kx+b=
(B)x=-2,x=-1
(A)x=1,x=2
l
(C)x=1,x=-2
(D)x=2,x=-1
(第26题图)
3.如图,利用函数图象解不等式x
则不等式的解集为
4.不解方程,利用函数的图象判断方程
解的个数为
(第27题图)
5.如图,已知直线
x与双曲线
(k
0)
交于A,B两点,且点A的横坐标为
4.
k(k
(2)若双曲线y
0)上一点C的纵坐标为
8,
求△AOC的面积;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y
0)于P、Q
两点(P点在第一象限),若由点A、B、P、Q为顶点组
29图
成的四边形面积为24,求点P的坐标.
10.反比例函数中的综合问题及探究性问题
1.将x1
中,所得函数值记为
y1,将y1的值代入x
中,
代入反比例函数
得到
x2
的值;
并将
的值
2的值再次代入函数
2,再将
代入x
y21中得到x3
,并再次将x3
代入函数y
y3,,
如此继续下去.
未找到引用源。
完成下表.
观察上表,你发现了什么规律?
猜想y2007=.
2.如图,已知点A在反比例函数的图象上,
(第2题图)
ABx轴于点B,
点C(0,1),且
ABC的面积是3,求反比例函数的解析式.
3.已知点A(a,b),且ab0,AM⊥y轴于点M,点N(c,0)在
x轴上,AMN的面积是3个平方单位,探究点
A在怎样
的函数图象上运动,并求出这个函数的解析式.
(第3题图)
(通过举例实践、探究、认知)
4.如图,正方形ABCD的边长是2,E、F分别在BC、CD两边上,
且E、F与BC、CD两边的端点不重合,AEF的面积是1,
设BE=x,DF=y,求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围.
5.已知点(2,a)在反比例函数
(x0)的图象上.点
第4题图
B是
点A(2,a)关于直线y
x的对称点,
(1)求点A、B的坐标;
(2)光线由点A发出,照射到x轴上的点C,若反射光线恰好经过点B,求点C的坐标.
第5题图
6.如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点
A、C分别在x轴、y轴上,
点B在函数y
(k>0,x>0)的图象上,点P(m,n)是函数y
(k>0,x>0)的图象上任
意一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为
E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外
的部分的面积为
S.
⑴求B点坐标和k的值;
时,求点P的坐标;
⑵当S
⑶写出S关于m的函数关系式.
OA
n
第6题图
7.已知正比例函数ykx(k
0)和反比例函数
的图象交于点A(a,b),点B在正比
例函数ykx的图象上,点C在反比例函数y
的图象上,且B、C两点的纵坐标都是k,
(本题中所有的
k都表示同一个量)设BC的长记作S,
(1)当k=2,a=3时,求反比例函数的解析式;
(2)求S关于a的函数解析式及
a的取值范围,并说明
S与
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