人教版高中物理知识点解析.doc
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必修一
第一章运动的描述
第二章匀变速直线运动
一、运动的描述
1、机械运动:
物体空间位置变化的运动。
2、参考系:
描述一个物体的运动时,选来作为标准的的物体。
参考系的选择是任意的,选择不同的物体作为参考系,可能得出不同的结论。
通常以地面为参考系。
3、质点:
不考虑物体的形状、大小,用来代替物体的有质量的点。
质点是一种理想化的模型,是科学的抽象。
物体能否看成质点,要具体问题具体分析。
4、时间和时刻:
时刻是指某一瞬间,用时间轴上的一个点来表示,它与状态量相对应;时间是指起始时刻到终止时刻之间的间隔,用时间轴上的一段线段来表示,它与过程量相对应。
5、位移和路程:
位移用来描述物体位置的变化,用由初位置指向末位置的有向线段表示,是矢量;路程是物体运动轨迹的长度,是标量。
5、速度:
用来描述质点运动快慢和方向的物理量,是矢量。
单位:
m/s。
(1)平均速度:
是位移与通过这段位移所用时间的比值,其定义式为,方向与位移的方向相同。
(2)瞬时速度:
是质点在某一时刻或通过某一位置的速度,瞬时速度简称速度,它可以精确描述运动。
瞬时速度的大小通常叫做速率。
瞬时速度保持不变的运动叫匀速直线运动。
6、加速度:
用量描述速度变化快慢的的物理量。
定义式:
;决定式:
。
加速度的单位:
m/s2。
加速度是矢量,其方向与速度的变化量方向相同(注意与速度的方向没有关系),由合外力的方向决定。
区分速度,速度的变化量和速度的变化率这三个不同概念。
(自主完成)
在直线运动中,加速度与速度方向相同时,物体加速;加速度与速度方向相反时,物体减速。
二、匀变速直线运动的规律
1、定义:
沿着一条直线,且加速度不变的运动,叫做匀变速直线运动。
2、匀变速直线运动的基本规律:
(1)速度公式:
;
(2)位移公式:
(3)速度、位移关系式:
;(4)平均速度公式:
注:
上述公式皆为矢量方程式,在应用时要规定正方向,将矢量运算转化为代数运算。
3、几个常用的推论:
(1)任意两个连续相等的时间T内的位移之差为恒量:
(2)某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度:
(3)一段位移中点的瞬时速度与初、末速度的关系为:
4、初速度为零的匀变速直线运动中的几个重要结论:
①1T末,2T末,3T末……瞬时速度之比为:
∶∶∶……=1∶2∶3∶……
②1T内,2T内,3T内……位移之比为:
∶∶∶……=1∶3∶5∶……
③第一个T内,第二个T内,第三个T内……第n个T内的位移之比为:
∶∶∶……=∶∶∶……
④通过连续相等的位移所用时间之比为:
∶∶∶……=
末速度为零的匀减速可以看成反向的匀加速运动来处理。
三、自由落体运动
1、定义:
物体只在重力作用下由静止开始的下落运动。
自由落体运动性质:
初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。
2、自由落体运动规律:
①速度公式:
②位移公式:
③速度—位移公式:
④下落到地面所需时间:
四、运动图象
描述物理规律常用的方法有三种:
文字语言、函数语言、图像语言。
图象具有形象、直观、通用的特点。
图像对物理规律的描述是通过“点”、“线”、“面”、“轴”、“斜”、“截”来完成的。
1、x—t图象
(1)物理意义:
反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律。
不是物体的运动轨迹。
(2)图像形状:
①匀速直线运动的x-t图象是一条直线;②匀变速直线运动的x-t图象是一条抛物线
(3)斜率:
图线上某点切线的斜率的大小表示物体速度的大小;斜率的正负表示速度的方向。
2、v—t图象
(1)物理意义:
反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。
(2)图像形状:
①匀速直线运动的v-t图象是与横轴平行的直线;②匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜的直线。
(3)斜率:
图线上某点切线的斜率的大小表示物体运动的加速度的大小;斜率的正负表示加速度的方向。
(4)“面积”:
图象与坐标轴围成的面积的数值表示相应时间内的位移的大小;若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为正方向;若此面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为负方向。
注:
只有直线运动,才能画x—t图象、v—t图象。
说一说:
请大家看右图,并说说各图线的物理意义。
五、追及和相遇问题
两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是:
两物体能否同时到达空间某位置。
分析追击问题要注意要抓住一个条件,两个关系:
一个条件是两物体的速度满足的临界条件,如两物体距离最大、最小,恰好追上或恰好追不上等;两个关系是时间关系和位移关系,通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。
注:
若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。
第三章相互作用
一、力
1、力的概念:
力是物体与物体之间的相互作用,是物体发生形变和改变物体的运动状态(即产生加速度)的原因。
力是矢量。
2、四种基本相互作用:
引力相互作用、电磁相互作用、强相互作用、弱相互作用。
二、重力
(1)重力是由于地球对物体的吸引而产生的。
注:
重力是万有引力的一个分力。
在地球表面附近,可以认为重力近似等于万有引力。
(2)重力的大小:
地球表面:
;离地高处:
,其中。
(3)重力的方向:
竖直向下(不一定指向地心)。
(4)重心:
重力的等效作用点,重心的位置与物体的形状、质量分布有关,物体的重心不一定在物体上。
三、弹力
(1)概念:
发生弹性形变的物体由于要恢复形变而产生的力。
(2)产生条件:
①直接接触;②有弹性形变。
(3)弹力的方向:
与物体形变的方向相反,垂直于接触面指向被压或被支持的物体。
从几何角度可以抽象为点与面接触、面与面接触、点与线接触等。
①绳的拉力方向总是沿着绳且指向绳收缩的方向,且一根轻绳上的张力大小处处相等。
②轻杆既可产生压力,又可产生拉力,但方向不一定沿杆。
(4)弹力的大小:
一般情况下应根据物体的运动状态,利用平衡条件或牛顿运动定律来求解。
弹簧弹力可由胡克定律来求解。
胡克定律:
在弹性限度内,弹簧弹力的大小和弹簧的形变量成正比,即,为弹簧的劲度系数,它只与弹簧本身因素有关,单位是N/m。
四、摩擦力
(1)概念:
两个相互接触的物体,当它们发生相对运动或具有相对运动的趋势时,就会在接触面上产生阻碍相对运动或相对运动趋势的力。
(2)产生的条件:
①相互接触、挤压;②接触面粗糙;③有相对运动(滑动摩擦力)或相对运动的趋势(静摩擦力)。
(3)摩擦力的方向:
沿接触面切线方向,与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反,与物体运动的方向可以相同也可以相反。
(4)大小:
先要判明是何种摩擦力。
①滑动摩擦力大小:
利用公式进行计算,其中是物体的正压力,不一定等于物体的重力,甚至可能和重力无关。
②静摩擦力大小:
静摩擦力大小可在0与之间变化,一般应根据物体的运动状态由平衡条件或牛顿定律来求解。
五、力的合成与分解
1、合力与分力:
如果一个力作用在物体上,它产生的效果跟几个力共同作用产生的效果相同,这个力就叫做那几个力的合力,而那几个力就叫做这个力的分力。
(等效性)
2、力的合成与分解法则:
平行四边形定则或三角形定则。
3、力的合成:
(1)两个力、合力大小的取值范围为:
|-|≤F≤+;
(2)大小相等、互成的两个力的合力与分力大小相等,方向沿两分力夹角的角平分线。
4、力的分解:
(1)在实际问题中,通常将已知力按实际作用效果分解;
(2)按问题的需要进行分解;(3)正交分解。
正交分解:
正交分解的目的,是将物体受到的力整理到两个相互垂直的方向上,将矢量运算转化为代数运算,从而更方便地求合力或者列方程。
分解原则:
一般选共点力的作用点为原点,使尽量多的力“落”在坐标轴上,另外避免分解未知力。
分解方法:
物体受到多个力F1、F2、F3……,求合力F时,可以把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解
x轴上的合力Fx=Fx1+Fx2+Fx3+…;y轴上的合力Fy=Fy1+Fy2+Fy3+…
补充一、物体的受力分析
中学物理的实质就是解决物体在受力情况下如何运动的问题受力分析的重要性不在于高考中受力分析的具体题目数量,而在于它是解决问题的基础。
1、受力分析的依据:
(1)各种力产生的条件;
(2)物体的运动状态。
2、受力分析的步骤:
(1)明确研究对象;
(2)按“性质力”的顺序分析:
即按重力、弹力、摩擦力、其他力顺序分析;(3)检查受力示意图。
3、受力分析的一般方法:
整体法、隔离法。
注意事项:
(1)只分析周围物体对研究对象的力,不分析研究对象施加的力;
(2)合力与分力不能重复分析;(3)不要把“效果力”与“性质力”混淆重复分析;(4)不分析内力;(5)在难以确定物体的某些受力情况时,可假设该力存在,根据物体的运动状态,运用平衡条件或牛顿运动定律来求解。
补充二、共点力的平衡
(1)共点力:
作用在物体的同一点,或作用线相交于一点的几个力。
(2)平衡状态:
物体保持匀速直线运动或静止叫平衡状态,是加速度等于零的状态。
(3)共点力作用下的物体的平衡条件:
物体所受的合外力为零,即∑F=0,若采用正交分解法求解平衡问题,则平衡条件应为:
∑Fx=0,∑Fy=0。
(4)解决平衡问题的常用方法:
隔离法、整体法、图解法、相似三角形法、正交分解法等等。
第四章牛顿运动定律
一、牛顿第一定律
1、牛顿第一定律:
一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种运动状态为止。
对牛顿第一定律的理解:
(1)揭示了物体所具有的一个重要属性——惯性,即物体总保持原来的静止状态或匀速直线运动状态的性质;
(2)揭示了力的本质:
力是改变物体运动状态的原因,而不是维持物体运动的原因;
(3)揭示了不受力作用时物体的运动状态:
实际中不受外力作用的物体是不存在的,但当物体所受合外力为零时,其运动效果与不受外力时相同,物体都将保持静止或匀速直线运动状态不变;
(4)与牛顿第二定律的关系:
牛顿第一定律是牛顿第二定律的基础,不能简单地认为它是牛顿第二定律不受外力时的特例,牛顿第一定律定性地给出了力与运动的关系,牛顿第二定律定量地给出力与运动的关系。
2、惯性:
物体保持匀速直线运动状态或静止状态的性质
(1)惯性是物体的固有属性,即一切物体都有惯性,与物体的受力情况及运动状态无关。
因此说,人们只能“利用”惯性而不能“克服”惯性。
(2)质量是物体惯性大小的量度。
二、牛顿第二定律
牛顿第二定律:
物体的加速度跟其所受的外力的合力成正比,跟物体的质量成反比,加速度的方向跟合外力的方向相同,表达式:
(1)牛顿第二定律定量揭示了力与运动的关系:
已知受力情况可以分析运动情况;知道运动情况,可以分析受力情况。
加速度是联系二者的桥梁。
(2)牛顿第二定律的数学表达式是矢量式
(3)牛顿第二定律揭示的是力的瞬时效果。
即作用在物体上的力与加速度是瞬时对应关系,力变加速度就变,力撤除加速度就为零。
牛顿运动定律的应用:
1.运用牛顿运动定律解决的动力学问题常可以分为两种类型
(1)已知受力情况,要求物体的运动情况.如物体运动的位移、速度及时间等.
(2)已知运动情况,要求物体的受力情况(求力的大小和方向).
不管哪种类型,一般总是先根据已知条件求出物体运动的加速度,然后再由此得出问题的答案。
2、应用牛顿运动定律解题的一般步骤
(1)认真分析题意,明确已知条件和所求量,搞清所求问题的类型.
(2)选取研究对象.所选取的研究对象可以是一个物体,也可以是几个物体组成的整体.同一题目,根据题意和解题需要也可以先后选取不同的研究对象.
(3)分析研究对象的受力情况和运动情况.
(4)当研究对象所受的外力不在一条直线上时:
如果物体只受两个力,可以用平行四边形定则求其合力;如果物体受力较多,一般把它们正交分解到两个方向上去分别求合力;如果物体做直线运动,一般把各个力分解到沿运动方向和垂直运动的方向上.
(5)根据牛顿第二定律和运动学公式列方程,物体所受外力、加速度、速度等都可根据规定的正方向按正、负值代入公式,按代数和进行运算.
(6)求解方程,检验结果,必要时对结果进行讨论.
三、牛顿第三定律
牛顿第三定律:
两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,作用在同一直线上。
(1)作用力、反作用力总是成对出现,同时产生、同时变化、同时消失;
(2)作用力和反作用力总是同种性质的力;
(3)作用力和反作用力分别作用在两个不同的物体上,各产生其效果,不可叠加。
区分一对作用力、反作用力与一对平衡力
一对作用力和反作用力
一对平衡力
作用对象
两个物体
同一个物体
作用时间
同时产生,同时消失
不一定同时产生或消失
力的性质
一定是同性质的力
不一定是同性质的力
力的大小关系
大小相等
大小相等
力的方向关系
方向相反且共线
方向相反且共线
四、超重和失重
1、超重:
物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)大于物体所受重力的现象。
处于超重状态的物体具有向上的加速度。
2、失重:
物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)小于物体所受重力的现象。
处于失重状态的物体具有向下的加速度。
当物体向下的加速度等于重力加速度g时,物体对支持物、悬挂物完全没有作用力,这种状态叫完全失重状态。
3、对超重和失重的理解:
①不管物体处于失重状态还是超重状态,物体本身的重力并没有改变,只是物体对支持物的压力(或对悬挂物的拉力)不等于物体本身的重力。
②超重或失重现象与物体的速度无关,只决定于加速度的方向。
“加速上升”和“减速下降”都是超重;“加速下降”和“减速上升”都是失重。
③在完全失重的状态下,平常一切由重力产生的物理现象都会完全消失,如单摆停摆、天平失效、浸在水中的物体不再受浮力、液体柱不再产生压强等。
必修二
第五章曲线运动
1、曲线运动
(1)物体作曲线运动的条件:
运动质点所受的合外力(或加速度)的方向跟它的速度方向不在同一直线上。
(2)曲线运动的特点:
质点在某一点的速度方向,就是通过该点的曲线的切线方向。
质点的速度方向时刻在改变,所以曲线运动一定是变速运动。
(3)曲线运动的轨迹:
做曲线运动的物体,其轨迹向合外力所指一方弯曲,若已知物体的运动轨迹,可判断出物体所受合外力的大致方向,如平抛运动的轨迹向下弯曲,圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等。
2、运动的合成与分解
(1)合运动与分运动的关系:
①等时性;②独立性;③等效性。
(2)运动的合成与分解的法则:
平行四边形定则。
(3)分解原则:
根据运动的实际效果分解,物体的实际运动为合运动。
3、平抛运动
(1)特点:
①具有水平方向的初速度;②只受重力作用,是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。
(2)运动规律:
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
①建立直角坐标系(一般以抛出点为坐标原点O,以初速度方向为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向);②由两个分运动规律来处理:
水平方向:
、;竖直方向:
、
任意时刻的速度:
、
任意时刻位置(相对出发点的位移):
、
运动时间:
(取决于竖直下落的高度)
水平射程:
(取决于下落的高度和初速度)
4、圆周运动
(1)描述圆周运动的物理量
①线速度:
描述质点做圆周运动的快慢,大小(s是t时间内通过弧长),方向为质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向。
②角速度:
描述质点绕圆心转动的快慢,大小(单位rad/s),是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度。
其方向在中学阶段不研究。
③周期T:
做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期;频率f:
做圆周运动的物体单位时间内沿转过的圈数叫做频率。
④、、、的关系:
、、
⑤向心加速度:
描述物体线速度方向改变快慢。
大小:
,方向总是指向圆心,时刻在变化。
⑥向心力:
总是指向圆心,产生向心加速度,向心力只改变线速度的方向,不改变速度的大小;大小
注:
向心力是根据力的效果命名的。
在分析做圆周运动的质点受力情况时,千万不可在物体受力之外再添加一个向心力。
(2)匀速圆周运动:
线速度的大小恒定,角速度、周期和频率都是恒定不变的,向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的,是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动。
(3)变速圆周运动:
速度大小方向都发生变化,不仅存在着向心加速度(改变速度的方向),而且还存在着切向加速度(方向沿着轨道的切线方向,用来改变速度的大小)。
一般而言,合加速度方向不指向圆心,合力不一定等于向心力。
合外力在指向圆心方向的分力充当向心力,产生向心加速度;合外力在切线方向的分力产生切向加速度。
第六章万有引力定律
1、开普勒行星运动定律
①开普勒第一定律(轨道定律):
所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
②开普勒第二定律(面积定律):
对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等的面积。
(近日点速率最大,远日点速率最小)
③开普勒第三定律(周期定律):
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等。
2、万有引力定律:
自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间的距离r的二次方成反比。
公式:
(适用于质点间万用引力的计算)
(英国物理学家卡文迪许测得)
3、应用万有引力定律分析天体的运动
①基本方法:
把天体的运动看成是匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供。
即:
,得:
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算。
②天体质量M、密度的估算:
测出卫星绕天体匀速圆周运动的半径和周期,由,得:
,
当卫星沿天体表面运行时,,则:
③、卫星的环绕速度、角速度、周期与半径的关系
由得:
,越大,速度越小;
由得:
,越大,角速度越小;
由得:
,r越大,周期T越大。
4、三种宇宙速度
①第一宇宙速度:
,它是卫星的最小发射速度,也是地球卫星的最大环绕速度。
②第二宇宙速度(脱离速度):
,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
③第三宇宙速度(逃逸速度):
,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
(4)地球同步卫星
所谓地球同步卫星,是相对于地面静止的,这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上,且绕地球运动的周期等于地球的自转周期,即T=24h=86400s,离地面高度。
同步卫星的轨道一定在赤道平面内,并且只有一条。
所有同步卫星都在这条轨道上,以大小相同的线速度,角速度和周期运行着。
第六章机械能
一、功
1、功的定义:
力和作用在力的方向上通过的位移的乘积。
是描述力对空间积累效应的物理量,是过程量。
定义式:
,其中是力,s是力的作用点的位移(对地),θ是力与位移间的夹角。
2、功的大小的计算方法:
①恒力的功可根据进行计算,本公式只适用于恒力做功
②利用动能定理计算力的功,特别是变力所做的功。
③摩擦力、空气阻力做功的计算:
功的大小等于力和路程的乘。
二、功率
1、功率的概念:
功率是表示力做功快慢的物理量,是标量。
2、功率的计算
①平均功率:
P=W/t(定义式)表示时间t内的平均功率,不管是恒力做功,还是变力做功,都适用。
②瞬时功率:
,和分别表示t时刻的功率和速度,α为两者间的夹角。
③额定功率与实际功率:
额定功率、发动机正常工作时的最大功率;实际功率:
发动机实际输出的功率,它可以小于额定功率,但不能长时间超过额定功率。
三、两种机车起动方式
①以恒定功率P启动:
机车的运动过程是先作加速度减小的加速运动,后以最大速度作匀速直线运动;
②以恒定牵引力(即以恒定加速度)启动:
机车先作匀加速运动,当功率增大到额定功率时速度为,而后开始作加速度减小的加速运动(此过程功率恒定),最后以最大速度作匀速直线运动。
四、动能及动能定理
1、物体由于运动而具有的能量叫做动能。
表达式:
。
动能是状态量、标量。
2、动能定理:
力在一个过程中对物体做的功,等于物体在这个过程中动能的变化。
动能定理的表达式:
。
(1)应用动能定理只考虑初、末状态,没有守恒条件的限制,也不受力的性质和物理过程的变化的影响。
所以,凡涉及力和位移,而不涉及力的作用时间的动力学问题,都可以用动能定理分析和解答,而且一般都比用牛顿运动定律和机械能守恒定律简捷。
(2)当物体的运动是由几个物理过程所组成,又不需要研究过程的中间状态时,可以把这几个物理过程看作一个整体进行研究,从而避开每个运动过程的具体细节,具有过程简明、方法巧妙、运算量小等优点。
五、重力势能
1、定义:
地球上的物体具有跟它的高度有关的能量,叫做重力势能,EP=mgh。
①重力势能是地球和物体组成的系统共有的,而不是物体单独具有的。
②重力势能的大小和零势能面的选取有关。
③重力势能是标量,但有“+”、“-”之分。
2、重力做功的特点:
重力做功只决定于初、末位置间的高度差,与物体的运动路径无关;WG=mgh。
3、做功跟重力势能改变的关系:
重力做功等于重力势能的减少量。
即WG=Ep2-Ep1。
六、机械能守恒定律
1、动能和势能(重力势能、弹性势能)统称为机械能,E=Ek+Ep。
2、机械能守恒定律:
在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能和势能可以相互转化,而总的机械能保持不变。
3、机械能守恒定律的表达式:
4、系统机械能守恒的三种表示方式:
①、系统初态的总机械能E1等于末态的总机械能E2,即E1=E2
②、系统减少的总重力势能等于系统增加的总动能,即=
③、若系统只有A、B两物体,则A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能,即=。
注:
解题时究竟选取哪一种表达形式,应根据题意灵活选取;需注意的是:
选用①式时,必须规定零势能参考面,而选用②式和③式时,可以不规定零势能参考面,但必须分清能量的减少量和增加量。
5、判断机械能是否守恒的方法
①用做功来判断:
分析物体或物体受力情况(包括内力和外力),明确各力做功的情况,若对物体或系统只有重力或弹簧弹力做功,没有其他力做功或其他力做功的代数和为零,则机械能守恒。
②用能量转化来判定:
若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化,则物体系统机械能守恒。
③对一些绳子突然绷紧,物体间非弹性碰撞等问题,除非题目特别说明,机械能必定不守恒,完全非弹性碰撞过程机械能也不守恒。
七、功能关系
能是物体做功的本领.也就是说是做功的根源.功是能量转化的量度.究竟有多少能量发生了转化,用功来量度,二者有根本的区别,功是过程量,能是状态量.
常见的功能关系:
(1)、当只有重力(或弹簧弹力)做功时,物体的机械能守恒。
(2)、重力对物体做的功等于物体重力势能的减少:
。
(3)、合外力对物体所做的功等于物体动能的变化:
(动能定理)
(4)、除了重力、弹力之外的其他力对物体所做的功等于物体机械能的变化:
(5)一对滑动摩擦力对系统做总功是系统机械能转化为内能的量度,即:
f·S相=Q
选修3-1
第一章电场
1、电荷
(1)自然界中存在两种电荷:
正电荷与负电荷。
(2)电荷守恒定律:
电荷既不能被创造也不能被消灭,它只能从一个物体转移到另一个物体,或者从物体的一部分转移到另一部分,系统的电荷代数和不变。
2、库仑定律
(1)内容:
在真空中两个点电荷间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比,跟它们之间
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