高中数学竞赛教案讲义11圆锥曲线.docx
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高中数学竞赛教案讲义11圆锥曲线
2019-2020年高中数学竞赛教案讲义(11)圆锥曲线
一、基础知识
1.椭圆的定义,第一定义:
平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c).
第二定义:
平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 (0 第三定义: 在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2,c2: x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。 从原点出发的射线交圆c1于P,交圆c2于Q,过P引y轴的平行线,过Q引x轴的平行线,两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义可求得它的标准方程,若焦点在x轴上,列标准方程为 (a>b>0), 参数方程为(为参数)。 若焦点在y轴上,列标准方程为 (a>b>0)。 3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆 , a称半长轴长,b称半短轴长,c称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),(0,±b),(±c,0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为,与右焦点对应的准线为;定义中的比e称为离心率,且,由c2+b2=a2知0 椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。 4.椭圆的焦半径公式: 对于椭圆1(a>b>0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。 若P(x,y)是椭圆上的任意一点,则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex. 5.几个常用结论: 1)过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为 ; 2)斜率为k的切线方程为; 3)过焦点F2(c,0)倾斜角为θ的弦的长为 。 6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|,a>0)的点P的轨迹; 第二定义: 到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程: 中心在原点,焦点在x轴上的双曲线方程为 , 参数方程为(为参数)。 焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 。 8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在x轴上的双曲线 (a,b>0), a称半实轴长,b称为半虚轴长,c为半焦距,实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点为F1(-c,0),F2(c,0),对应的左、右准线方程分别为离心率,由a2+b2=c2知e>1。 两条渐近线方程为,双曲线与有相同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。 若a=b,则称为等轴双曲线。 9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线,F1(-c,0),F2(c,0)是它的两个焦点。 设P(x,y)是双曲线上的任一点,若P在右支上,则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a;若P(x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a. 2)过焦点的倾斜角为θ的弦长是。 10.抛物线: 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫焦点,直线l叫做抛物线的准线。 若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l相交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点F坐标为,准线方程为,标准方程为y2=2px(p>0),离心率e=1. 11.抛物线常用结论: 若P(x0,y0)为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|=; 2)过点P的切线方程为y0y=p(x+x0); 3)过焦点倾斜角为θ的弦长为。 12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为O,从O出发的射线为极轴记为Ox轴,这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点P,记|OP|=ρ,∠xOP=θ,则由(ρ,θ)唯一确定点P的位置,(ρ,θ)称为极坐标。 13.圆锥曲线的统一定义: 到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P,若0 这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。 例1已知定点A(2,1),F是椭圆的左焦点,点P为椭圆上的动点,当3|PA|+5|PF|取最小值时,求点P的坐标。 例2已知P,为双曲线C: 右支上两点,延长线交右准线于K,PF1延长线交双曲线于Q,(F1为右焦点)。 求证: ∠F1K=∠KF1Q. 2.求轨迹问题。 例3已知一椭圆及焦点F,点A为椭圆上一动点,求线段FA中点P的轨迹方程。 例4长为a,b的线段AB,CD分别在x轴,y轴上滑动,且A,B,C,D四点共圆,求此动圆圆心P的轨迹。 例5在坐标平面内,∠AOB=,AB边在直线l: x=3上移动,求三角形AOB的外心的轨迹方程。 3.定值问题。 例6过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F作B1B2轴,交双曲线于B1,B2两点,B2与左焦点F1连线交双曲线于B点,连结B1B交x轴于H点。 求证: H的横坐标为定值。 注: 本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。 例7设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在准线上,且BC//x轴。 证明: 直线AC经过定点。 例8椭圆上有两点A,B,满足OAOB,O为原点,求证: 为定值。 4.最值问题。 例9设A,B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点,且OAOB(O为原点),求|AB|的最大值与最小值。 例10设一椭圆中心为原点,长轴在x轴上,离心率为,若圆C: 1上点与这椭圆上点的最大距离为,试求这个椭圆的方程。 5.直线与二次曲线。 例11若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点,试求a的取值范围。 例12若直线y=2x+b与椭圆相交, (1)求b的范围; (2)当截得弦长最大时,求b的值。 三、基础训练题 1.A为半径是R的定圆⊙O上一定点,B为⊙O上任一点,点P是A关于B的对称点,则点P的轨迹是________. 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(>0),则动点的轨迹是________. 3.椭圆上有一点P,它到左准线的距离是10,它到右焦点的距离是________. 4.双曲线方程,则k的取值范围是________. 5.椭圆,焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=600,则ΔF1PF2的面积是________. 6.直线l被双曲线所截的线段MN恰被点A(3,-1)平分,则l的方程为________. 7.ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上,点A(2,8),且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合,则直线BC的斜率为________. 8.已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0,一条准线方程为5y+4=0,则双曲线方程为________. 9.已知曲线y2=ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个交点的直线的倾斜角为450,那么a=________. 10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点,的取值范围是________. 11.已知椭圆与双曲线有公共的焦点F1,F2,设P是它们的一个焦点,求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。 12.已知(i)半圆的直径AB长为2r;(ii)半圆外的直线l与BA的延长线垂直,垂足为T,设|AT|=2a(2a<);(iii)半圆上有相异两点M,N,它们与直线l的距离|MP|,|NQ|满足求证: |AM|+|AN|=|AB|。 13.给定双曲线过点A(2,1)的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2,求线段P1P2的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题 1.双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程是=0,则此双曲线的标准方程是_________. 2.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若A,B在抛物线准线上的射影分别是A1,B1,则∠A1FB1=_________. 3.双曲线的一个焦点为F1,顶点为A1,A2,P是双曲线上任一点,以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________. 4.椭圆的中心在原点,离心率,一条准线方程为x=11,椭圆上有一点M横坐标为-1,M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________. 5.4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆恰有一个公共点的_________条件. 6.若参数方程(t为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这条直线的方程是_________. 7.如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点,则m的范围是_________. 8.过双曲线的左焦点,且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条. 9.过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F,则直线l的倾斜角为_________. 10.以椭圆x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的三角形最多可作_________个. 11.求椭圆上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。 12.设F,O分别为椭圆的左焦点和中心,对于过点F的椭圆的任意弦AB,点O都在以AB为直径的圆内,求椭圆离心率e的取值范围。 13.已知双曲线C1: (a>0),抛物线C2的顶点在原点O,C2的焦点是C1的左焦点F1。 (1)求证: C1,C2总有两个不同的交点。 (2)问: 是否存在过C2的焦点F1的弦AB,使ΔAOB的面积有最大值或最小值? 若存在,求直线AB的方程与SΔAOB的最值,若不存在,说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1.在平面直角坐标系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆,则m的取值范围是_________. 2.设O为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,ΔOPQ面积为_________. 3.给定椭圆,如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P,Q两点,且OPOQ,则离心率e的取值范围是_________. 4.设F1,F2分别是双曲线(a>b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的动点,过F1作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,则M的轨迹为_________. 5.ΔABC一边的两顶点坐标为B(0,)和C(0,),另两边斜率的乘积为,若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________. 6.长为l(l<1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动,则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________. 7.已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一个交点分别为M1,M2,当M变动时,直线M1M2恒过一个定点,此定点坐标为_________. 8.已知点P(1,2)既在椭圆内部(含边界),又在圆x2+y2=外部(含边界),若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________. 9.已知椭圆的内接ΔABC的边AB,AC分别过左、右焦点F1,F2,椭圆的左、右顶点分别为D,E,直线DB与直线CE交于点P,当点A在椭圆上变动时,试求点P的轨迹。 10.设曲线C1: (a为正常数)与C2: y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。 (1)求实数m的取值范围(用a表示); (2)O为原点,若C1与x轴的负半轴交于点A,当0 11.已知直线l过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1.在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证: ∠GAC=∠EAC。 2.求证: 在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为1的闭折线,它的每个顶点坐标都是有理数。 3.以B0和B1为焦点的椭圆与ΔAB0B1的边ABi交于Ci(i=0,1),在AB0的延长线上任取点P0,以B0为圆心,B0P0为半径作圆弧交C1B0的延长线于Q0;以C1为圆心,C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1;B1为圆心,B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1;以C0为圆心,C0Q1为半径作圆弧Q1,交AB0的延长线于。 求证: (1)点与点P0重合,且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0; (2)P0,Q0,P1,Q1共圆。 4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度v0和不同发射角(即发射方向与x轴正向之间的夹角)α(α∈[0,π],α≠)射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有这些抛物线组成一个抛物线族,若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直,则称这个交点为正交点。 证明: 此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的方程(确定变量取值范围)。 5.直角ΔABC斜边为AB,内切圆切BC,CA,AB分别于D,E,F点,AD交内切圆于P点。 若CPBP,求证: PD=AE+AP。 6.已知BCCD,点A为BD中点,点Q在BC上,AC=CQ,又在BQ上找一点R,使BR=2RQ,CQ上找一点S,使QS=RQ,求证: ∠ASB=2∠DRC。 答案: 基础训练题 1.圆。 设AO交圆于另一点是A关于的对称点。 则因为AB,所以P在以为直径的圆上。 2.圆或椭圆。 设给定直线为y=±kx(k>0),P(x,y)为轨迹上任一点,则 。 化简为2k2x2+2y2=m2(1+k2). 当k≠1时,表示椭圆;当k=1时,表示圆。 3.12.由题设a=10,b=6,c=8,从而P到左焦点距离为10e=10×=8,所以P到右焦点的距离为20-8=12。 4.-2 5.设两条焦半径分别为m,n,则因为|F1F2|=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即(m+n)2-3mn=144.所以, 6.3x+4y-5=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则两式相减得-(y1+y2)(y1-y2)=0.由 ,得。 故方程y+1=(x-3). 7.-4.设B(x1,y1),C(x2,y2),则=0,所以y1+y2=-8,故直线BC的斜率为 8.=1。 由渐近线交点为双曲线中心,解方程组得中心为(2,1),又准线为,知其实轴平行于y轴,设其方程为=1。 其渐近线方程为=0。 所以y-1=(x-1).由题设,将双曲线沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原点,其标准方程为=1。 由平移公式平移后准线为,再结合,解得a2=9,b2=16,故双曲线为=1。 9.2.曲线y2=ax关于点(1,1)的对称曲线为(2-y)2=a(2-x), 由得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,从而= =1,所以a=2. 10.(2,]。 设P(x1,y1)及,由|PF1|=ex1+a |PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1,所以,即。 因,所以,所以即2 11.解: 由对称性,不妨设点P在第一象限,由题设|F1F2|2=4=4c2,又根据椭圆与双曲线定义 解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2. 在ΔF1PF2中,由余弦定理 从而 又sin∠F1PF2= 所以 12.解: 以直线AB为x轴,AT的中垂线为y轴建立直角坐标系,则由定义知M,N两点既在抛物线y2=4ax上,又在圆[x-(a+r)]2+y2=r2上,两方程联立得x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0,设点M,N坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a,|AN|=|NP|=x2+a.|AB|=2r,所以 |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|. 得证。 13.解: 若直线l垂直于x轴,因其过点A(2,1),根据对称性,P1P2的中点为(2,0)。 若l不垂直于x轴,设l的方程为y-1=k(x-2),即 y=kx+1-2k.① 将①代入双曲线方程消元y得 (2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0.② 这里且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)>0, 设x1,x2是方程②的两根,由韦达定理 ③ 由①,③得y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k) =k(x1+x2)+2(1-2k)=④ 设P1P2的中点P坐标(x,y),由中点公式及③,④得 消去k得 点(2,0)满足此方程,故这就是点P的轨迹方程。 高考水平测试题 1.由椭圆方程得焦点为,设双曲线方程,渐近线为由题设,所以a2=3b2,又,c2=a2+b2.所以b2=12,a2=36. 2.900。 见图1,由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|,有∠1=∠BFB1,∠2=∠AFA1,又∠1=∠3,∠2=∠4,所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。 3.相切,若P(x,y)在左支上,设F1为左焦点,F2为右焦点,M为PF1中点,则|MO|=|PF2|=(a-ex),又|PF1|=-a-ex,所以两圆半径之和(-a-ex)+a=(a-ex)=|MO|,所以两圆外切。 当P(x,y)在右支上时,同理得两圆内切。 4.与F1对应的另一条准线为x=-11,因|MF1|与M到直线x=-11距离d1之比为e,且d1=|xm+11|=10.所以,所以|MF1|= 5.充要。 将y=2x+1代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2(1-b2)=0.① 若Δ=(4a2)2-4(b2+4a2)a2(1-b2)=0,则直线与椭圆仅有一个公共点,即b2+4a2=1;反之,4a2+b2=1,直线与椭圆有一个公共点。 6.y=2(x-1)。 消去参数得(y-2m)2=4(x-m),焦点为它在直线y=2(x-1)上。 7.1≤m<5。 直线过定点(0,1),所以0≤1.又因为焦点在x轴上,所以5>m,所以1≤m<5。 8.3.双曲线实轴长为6,通径为4,故线段端点在异支上一条,在同支上有二条,一共有三条。 9.或。 设直线l: y=kx与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx代入椭圆方程得(1+3k2)x2-6x+3=0,由韦达定理得 ① ② 因F(1,0),AFBF,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即 x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0.③ 把①,②代入③得,所以倾斜角为或 10.3.首先这样的三角形一定存在,不妨设A,B分别位于y轴左、右两侧,设CA斜率为k(k>0),CA的直线方程为y=kx+1,代入椭圆方程为(a2k2+1)x2+2a2kx=0,得x=0或,于是,|CA|= 由题设,同理可得|CB|=,利用|CA|=|CB|可得 (k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0, 解得k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。 ① 对于①,当1时,①有两个不等实根,故最多有3个。 11.解设焦点为F1,F2,椭圆上任一点为P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根据余弦定理得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cosθ, 又|PF1|+|PF2|=2a,则4c2=(2a)2-2|PF1|•|PF2|(1+cosθ),再将|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2)(1+cosθ). 于是有 由0,得,所以。 因θ∈[0,π],所以cosθ为减函数,故0 当2b2>a2即时,,arccos,sinθ为增函数,sinθ取最大值 ;当2b2≤a2时,arccos,θ∈[0,π],则sinθ最大值为1。 12.解设A(x1,y1),B(x2,y2),若AB斜率不为0,设为k,直线AB方程为y=k(x+c),代入椭圆方程并化简得 (b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.① 则x1,x2为方程①的两根,由韦达定理得 ② ③ 因为y1y2=k2(x1+c)(x2+c),再由②,③得 所以=x1x2+y1y2=,O点在以AB为直径的圆内,等价<0,即k2(a2c2-b4)-a2b2<0对任意k∈R成立,等价于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以0 若斜率不存在,问题等价于即,综上 13.解 (1)由双曲线方程得,所以F1(,0),抛物线焦点到准线的距离,抛物线 ① 把①代入C1方程得 ② Δ=64a2>0,所以方程②必有两个不同实根,设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a2<0,所以②必有一个负根设为x1,把x1代入①得y2=,所以(因为x1≠0),所以C1,C2总有两个不同交点。 (2)设过F1(,0)的直线AB为my=(x+a),由得y2+4may-12a2=0,因为Δ=48m2a2+48a2>0,设y1,y2分别为A,B的纵坐标,则y1+y2=,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB=|y1-y2|•|OF1|=a•a• ,当且仅当m=0时,SΔAOB的面积取最小值;当m→+∞时,SΔAOB→+∞,无最大值。 所以存在过F的直线x=使ΔAOB面积有最小值6a2. 联赛一试水平训练题 1.m>5.由已知得 ,说明(x,y)到定点(0,-1)与到定直线x-2y+3=0的距离比为常数,由椭圆定义<1,所以m>5. 2.因为b=|PQ|=|PF|+|QF|= 所以。 所以SΔOPQ=absinθ=. 3.。 设点P坐标为(r1cosθ,r1sinθ),点Q坐标为(-r2sinθ,r2cosθ),因为P,Q在椭圆上,可得,RtΔOPQ斜边上的高为≤|OF|=c.所以a2b2≤c2(a2+b2),解得≤e<1. 4.以O为圆心,a为半径的圆。 延长F1M交PF2延长线于N,则F2N,而|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a,所以|OM|=a. 5.t∈(0,1]时|AT|min=,t>1时|AT|min=|t-2|.由题设kAB•kAC=-,设A(x,y),则(x≠0),整理得=1(x≠0),所以|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+(x-2t)2+2-t2.因为|x|≤2,所以当t∈(0,1]时取x=2t,|AT|取最小值。 当t>1时,取x=2,|AT|取最小值|t-2|. 6.设点M(x0,y0),直线AB倾斜角为θ,并设A(x0-),B(x0+),因为A,B在抛物线上,所以 ① ② 由①,②得2x0cosθ=sinθ.③ 所以 因为l2<1,所以函数f(x)=.在(0,1]在递减, 所以。 当cosθ=1即l平行于x轴时,距离取最小值 7.设 ,由A,M,M1共线得y1=,同理B,M,M2共线得,设(x,y)是直线M1M2上的点,则y1y2=y(y1+y2)-2px,将以上三式中消去y1,y2得 y02(2px-by)+y0•2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0. 当x=a,y=时上式恒成立,即定点为 8.。 由题设且a2+2b2≤15,解
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