变速问题(带答案)Word文件下载.doc
- 文档编号:6343699
- 上传时间:2023-05-06
- 格式:DOC
- 页数:14
- 大小:1.69MB
变速问题(带答案)Word文件下载.doc
《变速问题(带答案)Word文件下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《变速问题(带答案)Word文件下载.doc(14页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
行程问题中有很多比例关系,在只知道和差、比例时,用比例法可求得具体数值.更重要的是,在一些较复杂的题目中,有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的,在没有具体数值的情况下,只能用比例解题;
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中,公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段,在每一段中用匀速问题的方法去分析,然后再把结果结合起来;
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中,直接用公式或比例都很难求解时,设条件关系最多的未知量为未知数,抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.
模块一、变速问题
【例1】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走52米,小强每分走70米,二人在途中的A处相遇。
若小红提前4分出发,且速度不变,小强每分走90米,则两人仍在A处相遇。
小红和小强两人的家相距多少米?
【解析】因为小红的速度不变,相遇的地点不变,所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变,也就是说,小强第二次走的时间比第一次少4分钟。
(70×
4)÷
(90-70)=14分钟可知小强第二次走了14分钟,他第一次走了14+4=18分钟;
两人家的距离:
(52+70)×
18=2196(米).
【例2】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后甲比原来速度增加2米/秒,乙比原来速度减少2米/秒,结果都用24秒同时回到原地。
求甲原来的速度。
【解析】因为相遇前后甲,乙的速度和没有改变,如果相遇后两人和跑一圈用24秒,则相遇前两人和跑一圈也用24秒。
以甲为研究对象,甲以原速V跑了24秒的路程与以(V+2)跑了24秒的路程之和等于400米,24V+24(V+2)=400易得V=米/秒
【例3】(2008年日本小学算术奥林匹克大赛)上午点整,甲从地出发匀速去地,点分甲与从地出发匀速去地的乙相遇;
相遇后甲将速度提高到原来的倍,乙速度不变;
点分,甲,乙两人同时到达各自的目的地.那么,乙从地出发时是点分.
【解析】点分相遇,此时甲距离地的距离是甲走了分钟的路程,点分时乙到达目的地,说明乙走这段路程花了分钟,所以乙的速度是甲速度的两倍,当甲把速度提高到原速的倍时,此时甲的速度是乙速度的倍,甲从相遇点走到点花了分钟,因此乙原先花了(分钟),所以乙是点分出发的.
【例4】(难度等级※※※)A、B两地相距7200米,甲、乙分别从A,B两地同时出发,结果在距B地2400米处相遇.如果乙的速度提高到原来的3倍,那么两人可提前10分钟相遇,则甲的速度是每分钟行多少米?
【解析】第一种情况中相遇时乙走了2400米,根据时间一定,速度比等于路程之比,最初甲、乙的速度比为(7200-2400):
2400=2:
1,所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3.乙的速度提高3倍后,两人速度比为2:
3,根据时间一定,路程比等于速度之比,所以第二种情况中相遇时甲走了全程的.两种情况相比,甲的速度没有变化,只是第二种情况比第一种情况少走10分钟,所以甲的速度为(米/分).
【例5】(难度等级※※※)甲、乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点.如果甲车速度不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千米;
如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行5千米,则相遇地点距C点16千米.甲车原来每小时行多少千米?
【解析】设乙增加速度后,两车在D处相遇,所用时间为T小时。
甲增加速度后,两车在E处相遇。
由于这两种情况,两车的速度和相同,所以所用时间也相同。
于是,甲、乙不增加速度时,经T小时分别到达D、E。
DE=12+16=28(千米)。
由于甲或乙增加速度每小时5千米,两车在D或E相遇,所以用每小时5千米的速度,T小时走过28千米,从而T=28÷
5=小时,甲用6-=(小时),走过12千米,所以甲原来每小时行12÷
=30(千米)
【巩固】(难度等级※※※)甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行,5小时后相遇在C点。
如果甲速度不变,乙每小时多行4千米,且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇点D距C点lO千米;
如果乙速度不变,甲每小时多行3千米,且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇点E距C点5千米。
问:
甲原来的速度是每小时多少千米?
【解析】当乙每小时多行4千米时,5小时可以多行20千米,所以当两人相遇后继续向前走到5小时,甲可以走到C点,乙可以走到C点前面20千米。
而相遇点D距C点lO千米,因此两人各走了10千米,所以甲乙二人此时速度相等,即原来甲比乙每小时多行4千米。
同理可得,甲每小时多行3千米时,乙走5千米的时间甲可以走10千米,即甲的速度是乙的2倍。
(4+3)÷
(2-1)+4=11(千米/小时),所以甲原来的速度是每小时11千米。
【例6】A、B两地间有一座桥(桥的长度忽略不计),甲、乙二人分别从两地同时出发,3小时后在桥上相遇.如果甲加快速度,每小时多走2千米,而乙提前0.5小时出发,则仍能恰在桥上相遇.如果甲延迟0.5小时出发,乙每小时少走2千米,还会在桥上相遇.则A、B两地相距多少千米?
【解析】因为每次相遇的地点都在桥上,所以在这三种情况中,甲每次走的路程都是一样的,同样乙每次走的路程也是一样的.在第二种情况中,乙速度不变,所以乙到桥上的时间还是3小时,他提前了0.5小时,那么甲到桥上的时间是3-0.5=2.5小时.甲每小时多走2千米,2.5小时就多走2×
2.5=5千米,这5千米就是甲原来3-2.5=0.5小时走的,所以甲的速度是5÷
0.5=10千米/时.在第三种情况中,甲速度不变,所以甲到桥上的时间还是3小时,他延迟了0.5小时,那么乙到桥上的时间是3+0.5=3.5小时.乙每小时少走2千米,3.5小时就少走2×
3.5=7千米,这7千米就是甲原来3.5-3=0.5小时走的,所以乙的速度就是7÷
0.5=14千米/时.所以A、B两地的距离为(10+14)×
3=72千米.
【例7】一列火车出发1小时后因故停车0.5小时,然后以原速的3/4前进,最终到达目的地晚1.5小时.若出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时,然后同样以原速的3/4前进,则到达目的地仅晚1小时,那么整个路程为多少公里?
【解析】出发1小时后因故停车0.5小时,然后以原速的前进,最终到达目的地晚1.5小时,所以后面以原速的前进的时间比原定时间多用小时,而速度为原来的,所用时间为原来的,所以后面的一段路程原定时间为小时,原定全程为4小时;
出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时,然后同样以原速的前进,则到达目的地仅晚1小时,类似分析可知又前进90公里后的那段路程原定时间为小时.所以原速度行驶90公里需要1.5小时,而原定全程为4小时,所以整个路程为公里.
【例8】王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时到达;
返回时,按原计划的速度行驶280千米后,将车速提高1/6,于是提前1小时40分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米?
【解析】从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,即车速为原计划的10/9,则所用时间为原计划的1÷
10/9=9/10,即比原计划少用1/10的时间,所以一个半小时等于原计划时间的1/10,原计划时间为:
1.5÷
1/10=15(小时);
按原计划的速度行驶280千米后,将车速提高1/6,即此后车速为原来的7/6,则此后所用时间为原计划的1÷
7/6=6/7,即此后比原计划少用1/7的时间,所以1小时40分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1/7,则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为:
5/3÷
1/7=35/3(小时),所以,原计划的速度为:
84(千米/时),北京、上海两市间的路程为:
84×
15=1260(千米).
【例9】上午8点整,甲从A地出发匀速去B地,8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇;
相遇后甲将速度提高到原来的3倍,乙速度不变;
8点30分,甲、乙两人同时到达各自的目的地.那么,乙从B地出发时是8点几分.
【解析】甲、乙相遇时甲走了20分钟,之后甲的速度提高到原来的3倍,又走了10分钟到达目的地,根据路程一定,时间比等于速度的反比,如果甲没提速,那么后面的路甲需要走10×
3=30分钟,所以前后两段路程的比为20:
30=2:
3,由于甲走20分钟的路程乙要走10分钟,所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟,也就是说与甲相遇时乙已出发了15分钟,所以乙从B地出发时是8点5分.
【例10】(难度等级※※)甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍,而且甲比乙速度快。
两人出发后1小时,甲与乙在离山顶600米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时?
【解析】甲如果用下山速度上山,乙到达山顶时,甲走过的路程应该是一个单程的1×
1.5+1/2=2倍,就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。
两人相遇时走了1小时,这时甲还要走一段下山路,这段下山路乙上山用了1小时,所以甲下山要用1/2小时。
甲一共走了1+1/2=1.5(小时)
【例11】小华以每小时8/3千米的速度登山,走到途中A点后,他将速度改为每小时2千米,在接下来的1小时中,他走到山顶,又立即下山,并走到A点上方500米的地方.如果他下山的速度是每小时4千米,下山比上山少用了52.5分钟.那么,他往返共走了多少千米?
【解析】11千米
【例12】(难度等级※※※※)甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行,5小时相遇;
如果乙车提前1小时出发,则差13千米到中点时与甲车相遇,如果甲车提前1小时出发,则过中点37千米后与乙车相遇,那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时?
【解析】第一次行程甲、乙两车同时出发,所以两车走的时间相同;
第二次乙车提前1小时出发,所以这次乙车比甲车多走了1小时;
第三次甲车提前1小时出发,所以这次甲车比乙车多走了1小时.那么如果把第二次和第三次这两次行程相加,那么甲车和乙车所走的时间就相同了,而所走的路程为2个全程.由于两人合走一个全程要5小时,所以合走两个全程要10小时.由于第二次在乙车在差13千米到中点与甲车相遇,所以此次甲车走了全程的一半加上13千米;
第三次在过中点37千米后与乙车相遇,所以此次甲车走了全程的一半加上37千米;
这两次合起来甲车走了一个全程加上13+37=50千米,所以乙车走了一个全程少50千米,甲车比乙车多走50×
2=100千米.而这是在10小时内完成的,所以甲车与乙车的速度差为100÷
10=10千米/时
【例13】甲、乙两名运动员在周长米的环形跑道上进行米长跑比赛,两人从同一起跑线同时起跑,甲每分钟跑米,乙每分钟跑米,当甲比乙领先整整一圈时,两人同时加速,乙的速度比原来快,甲每分钟比原来多跑米,并且都以这样的速度保持到终点.问:
甲、乙两人谁先到达终点?
【解析】从起跑到甲比乙领先一圈,所经过的时间为(分钟).甲到达终点还需要跑(分钟),乙还需要跑(分钟),由于,所以乙先到达终点.
【例14】环形场地的周长为米,甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速),分钟后相遇.如果每人每分钟多走米,则相遇点与前次相差米,求原来二人的速度.
【解析】甲、乙原来的速度和为:
(米/分),如果每人每分钟多走米,现在的速度之和为:
(米/分),现在相遇需要的时间为:
(分钟).题目中说相遇点与前次相差米,但并不知道两者的位置关系,所以需要先确定两次相遇点的位置关系.由于以原来的速度走一圈,甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程;
提速后走一圈,甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程;
故提速后走一圈与以原来速度走一圈相比,甲比乙多走的路程少了,而二人所走的路程的和相等,所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少,其差即为两次相遇点的距离米.所以现在问题转化为:
甲以原速度走12分钟走到某一处,现在甲以比原速度提高25米/分的速度走9分钟,走到距离前一处还有33米的地方,求甲的速度.所以,甲原来的速度为:
(米/分),乙原来的速度为:
(米/分).
【例15】王刚骑自行车从家到学校去,平常只用20分钟。
因途中有2千米正在修路,只好推车步行,步行速度只有骑车速度的,结果这天用了36分钟才到学校。
从王刚家到学校有多少千米?
【解析】途中有2千米在修路,导致了王刚上学时间比平时多用分钟,由于在别的路段上还是骑车,所以多用的时间都是耗费在修路的2千米上.由于步行速度是汽车速度的,所以步行2千米所用的时间是骑车2千米所用时间的3倍,多用了2倍,这个多出来的时间就是16分钟,所以骑车2千米需要分钟.
由于8分钟可以骑2千米,而王刚平时骑车20分钟可以到学校,所以王刚家与学校的距离为千米.
【例16】甲、乙两车分别从、两地同时出发,相向而行.出发时,甲,乙的速度之比是,相遇后甲的速度减少,乙的速度增加.这样当甲到达地时,乙离开地还有千米.那么、两地相距多少千米?
【解析】出发时,两车的速度之比为,所以相遇以后两辆车的速度之比为,而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为,所以相遇后两辆车还需要行驶的路程之比为,所以甲还需要行驶全部路程的,当甲行驶这段路程的同时,乙行驶了全程的,距离地还有,所以、两地相距千米.
【例17】甲、乙往返于相距米的,两地.甲先从地出发,分钟后乙也从地出发,并在距地米的地追上甲.乙到地后立即原速向地返回,甲到地休息分钟后加快速度向地返回,并在地追上乙.问:
甲比乙提前多少分钟回到地?
【解析】由于甲比乙早出发6分钟,乙在走了600米时追上甲,可见乙走600米比甲要少用6分钟,那么对于剩下的米,乙比甲要少用(分钟),也就是说乙比甲早4分钟到达地.那么乙从地出发比甲早(分钟),走到地被甲追上,相当于甲走400米比乙少用5分钟,那么对于剩下的600米,甲比乙要少用(分钟).所以甲比乙提前分钟回到地.
【例18】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地,小轿车到达乙地后立即返回,返回时速度提高。
出发2小时后,小轿车与大货车第一次相遇,当大货车到达乙地时,小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。
小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间?
【解析】此题的关键是分析清楚题目中所提到的小轿车返回时速度提高所带来的变化,所以可以先假设小轿车返回时速度不发生变化会是什么样,然后再进行对比分析.如果小轿车返回时速度不提高,那么大货车到达乙地时,小轿车又走了甲、乙两地距离的,所以,从甲地到乙地小轿车与大货车的速度比为:
,小轿车到达乙地时,大货车走了全程的,还差.小轿车从乙地返回甲地时,与大货车的速度比为,小轿车从乙地返回到与大货车相遇时,大货车又走了全程的,即相遇时大货车共走了全程的,那么大货车从甲地到乙地需要小时,小轿车从甲地到乙地需要小时,小轿车往返一次需要小时.
【例19】甲、乙两地间平路占,由甲地去往乙地,上山路千米数是下山路千米数的,一辆汽车从甲地到乙地共行了小时,已知这辆车行上山路的速度比平路慢,行下山路的速度比平路快,照这样计算,汽车从乙地回到甲地要行多长时间?
【解析】根据题意,可以把甲、乙两地之间的距离看作25,这样两地间的平路为5,从甲地去往乙地,上山路为,下山路为;
再假设这辆车在平路上的速度为5,则上山时的速度为4,下山时的速度为6,于是,由甲地去乙地所用的总时间为:
;
从乙地回到甲地时,汽车上山、下山的速度不变,但是原来的上山路变成了此时的下山路,原来的下山路变成了此时的上山路,所以回来时所用的总时间为:
.由于从甲地到乙地共行了10小时,所以从乙地回来时需要小时.
【例20】甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练:
他们同时从同一地出发,沿相反方向跑,每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲的速度的.甲跑第二圈的速度比第一圈提高了,乙跑第二圈的速度提高了,已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是米,问这条跑道长多少米?
【解析】从起跑由于跑第一圈时,乙的速度是甲的速度的,所以第一次相遇的地方在距起点(或者)处.由于甲的速度比乙快,所以甲先跑完第一圈,甲跑完第一圈时,乙跑了圈,此时乙距出发点还有圈,根据题意,此时甲要回头加速跑,即此时甲与乙方向相同,速度为乙的倍.所以乙跑完剩下的圈时甲又跑了圈,此时甲距出发点还有圈,而乙又要回头跑,所以此时两人相向而行,速度比为,所以两人第二次相遇点距离出发点,两次相遇点间隔,注意到,所以最短距离为圈,所以跑道长米.
【例21】甲、乙两人沿米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去.相遇后甲比原来速度增加米/秒,乙比原来速度减少米/秒,结果都用秒同时回到原地.求甲原来的速度.
【解析】因为相遇前后甲、乙的速度和没有改变,如果相遇后两人合跑一圈用25秒,则相遇前两人合跑一圈也用25秒.
(法1)甲以原速跑了25秒的路程与以的速度跑了25秒的路程之和等于400米,,解得米/秒.
(法2)由跑同样一段路程所用的时间一样,得到,即二者速度差为4;
而二者速度和为,这是个典型的和差问题.可得为:
米/秒.
【巩固】从村到村必须经过村,其中村至村为上坡路,村至村为下坡路,村至村的总路程为千米.某人骑自行车从村到村用了小时,再从村返回村又用了小时分.已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变,而且下坡时的速度是上坡时速度的倍.求、之间的路程及自行车上坡时的速度.
【解析】设、之间的路程为千米,自行车上坡速度为每小时千米,则、之间的路程为千米,自行车下坡速度为每小时千米.依题意得:
,两式相加,得:
,解得;
代入得.故、之间的路程为千米,自行车上坡时的速度为每小时千米.
【例22】(年“奥数网杯”六年级)欢欢和贝贝是同班同学,并且住在同一栋楼里.早晨,欢欢从家出发骑车去学校,追上了一直匀速步行的贝贝;
看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知,欢欢立即调头,并将速度提高到原来的倍,回家换好校服,再赶往学校;
欢欢赶到学校时,贝贝也恰好到学校.如果欢欢在家换校服用去分钟且调头时间不计,那么贝贝从家里出发时是点分.
【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了分钟,那么她调头后速度提高到原来的倍,回到家所用的时间为3分钟,换衣服用时6分钟,所以她再从家里出发到到达学校用了分钟,故她以原速度到达学校需要10分钟,最开始她追上贝贝用了6分钟,还剩下4分钟的路程,而这4分钟的路程贝贝走了14分钟,所以欢欢的6分钟路程贝贝要走分钟,也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了21分钟,所以贝贝是7点25分出发的.
【例23】甲、乙两人都要从地到地去,甲骑自行车,乙步行,速度为每分钟60米.乙比甲早出发20分钟,甲在距地1920米的处追上乙,两人继续向前,甲发现自己忘带东西,于是将速度提高到原来的倍,马上返回地去取,并在距离处720米的处遇上乙.甲到达地后在地停留了5分钟,再以停留前的速度骑往地,结果甲、乙两人同时到达地.、两地之间的距离是米.
【解析】乙从地到处所用时间为分钟,甲用的时间为分钟,甲的速度为米/分钟,速度提高后为米/分钟.甲从处回到地并停留5分钟,共用时间分钟,此时乙又走了米,两人的距离为米,此时相当于追及问题,追及时间为分钟,所以、两地之间的距离为米.
【例24】小芳从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路,一半下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的倍,那么上坡的速度是平路速度的多少倍?
【解析】设小芳上学路上所用时间为,那么走一半平路所需时间是.由于下坡路与一半平路的长度相同,根据路程一定,时间比等于速度的反比,走下坡路所需时间是,因此,走上坡路需要的时间是,那么,上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比,为,所以,上坡速度是平路速度的倍.
【例25】(2003年“祖冲之杯”小学数学邀请赛)某校在400米环形跑道上进行1万米比赛,甲、乙两名运动员同时起跑后,乙的速度始终保持不变,开始时甲比乙慢,在第15分钟时甲加快速度,并保持这个速度不变,在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。
在第23分钟时甲再次追上乙,而在23分50秒时甲到达终点。
那么,乙跑完全程所用的时间是多少分钟?
【解析】本题中乙的速度始终保持不变,甲则有提速的情况,但是甲提速后速度就保持不变,所以可以从甲提速后的情况着手进行考虑.根据题意可知,甲加速后,每过(分钟)比乙多跑一圈,即每分钟比乙多跑(米).由于第18分钟时甲、乙处于同一位置,则在23分50秒时甲到达终点时,乙距终点的距离就是此时甲、乙之间的距离,即乙距离终点还有(米),即乙在23分50秒内跑了米,由于乙的速度始终保持不变,所以乙每分钟跑
(米).所以,乙跑完全程需要(分钟).
【例26】(2003年迎春杯)甲、乙两人同时同地同向出发,沿环形跑道匀速跑步.如果出发时乙的速度是甲的倍,当乙第一次追上甲时,甲的速度立即提高,而乙的速度立即减少,并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米,那么这条环形跑道的周长是米.
【解析】如图,设跑道周长为1,出发时甲速为2,则乙速为5.假设甲、乙从点同时出发,按逆时针方向跑.由于出发时两者的速度比为,乙追上甲要比甲多跑1圈,所以此时甲跑了,乙跑了;
此时双方速度发生变化,甲的速度变为,乙的速度变为,此时两者的速度比为;
乙要再追上甲一次,又要比甲多跑1圈,则此次甲跑了,这个就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程.从环形跑道上来看,第一
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 变速 问题 答案
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)