二元一次方程组解应用题总结123.docx
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二元一次方程组解应用题总结123
二元一次方程组解应用题
列方程解应用题的基本关系量
(1)行程问题:
速度×时间=路程
(2)顺水(风)速度=静水(无风)速度+水流(风)速度逆水(风)速度=静水(无风)速度—水流(风)速度
(3)工程问题:
工作效率×工作时间=工作量
(4)浓度问题:
溶液×浓度=溶质
(5)银行利率问题:
免税利息=本金×利率×时间
二元一次方程组解决实际问题的基本步骤
1、审题,搞清已知量和待求量,分析数量关系.(审题,寻找等量关系)
2、考虑如何根据等量关系设元,列出方程组.(设未知数,列方程组)
3、列出方程组并求解,得到答案.(解方程组)
4、检查和反思解题过程,检验答案的正确性以及是否符合题意.(检验,答)
列方程组解应用题的常见题型
(1)和差倍总分问题:
较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量
(2)产品配套问题:
加工总量成比例
(3)速度问题:
速度×时间=路程
(4)航行问题:
此类问题分为水中航行和风中航行两类
1.顺流(风):
航速=静水(无风)中的速度+水(风)速
2.逆流(风):
航速=静水(无风)中的速度--水(风)速
(5)工程问题:
工作量=工作效率×工作时间
一般分为两种,一种是一般的工程问题;另一种是工作总量是单位一的工程问题
(6)增长率问题:
原量×(1+增长率)=增长后的量,原量×(1+减少率)=减少后的量
(7)浓度问题:
溶液×浓度=溶质
(8)银行利率问题:
免税利息=本金×利率×时间,税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率
(9)利润问题:
利润=售价—进价,利润率=(售价—进价)÷进价×100%
(10)盈亏问题:
关键从盈(过剩)、亏(不足)两个角度把握事物的总量
(11)数字问题:
首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示
(12)几何问题:
必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式
(13)年龄问题:
解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。
年龄问题的主要特点是:
时间发生变化,年龄在增长,但是年龄差始终不变。
年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用
(14)分配调运问题
(15)方案设计问题
讲解:
一、数字问题
例1一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大9;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大27,求这个两位数.
分析:
设这个两位数十位上的数为x,个位上的数为y,则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示:
十位上的数
个位上的数
对应的两位数
相等关系
原两位数
x
y
10x+y
10x+y=x+y+9
新两位数
y
x
10y+x
10y+x=10x+y+27
解方程组
,得
,因此,所求的两位数是14.
点评:
由于受一元一次方程先入为主的影响,不少同学习惯于只设一元,然后列一元一次方程求解,虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的,象本题,如果直接设这个两位数为x,或只设十位上的数为x,那将很难或根本就想象不出关于x的方程.一般地,与数位上的数字有关的求数问题,一般应设各个数位上的数为“元”,然后列多元方程组解之.
二、利润问题
例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是多少?
分析:
商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为x元,进价为y元,则打九折时的卖出价为0.9x元,获利(0.9x-y)元,因此得方程0.9x-y=20%y;打八折时的卖出价为0.8x元,获利(0.8x-y)元,可得方程0.8x-y=10.
解方程组
,解得
,
因此,此商品定价为200元.
点评:
商品销售盈利百分数是相对于进价而言的,不要误为是相对于定价或卖出价.利润的计算一般有两种方法,一是:
利润=卖出价-进价;二是:
利润=进价×利润率(盈利百分数).特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念.
三、配套问题
例3 某厂共有120名生产工人,每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个,如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天安排多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套?
分析:
要使生产出来的产品配成最多套,只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套,根据题意,每天生产的螺栓与螺母应满足关系式:
每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1.因此,设安排x人生产螺栓,y人生产螺母,则每天可生产螺栓25x个,螺母20y个,依题意,得
,解之,得
.
故应安排20人生产螺栓,100人生产螺母.
点评:
产品配套是工厂生产中基本原则之一,如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是:
(1)“二合一”问题:
如果a件甲产品和b件乙产品配成一套,那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍,即
;
(2)“三合一”问题:
如果甲产品a件,乙产品b件,丙产品c件配成一套,那么各种产品数应满足的相等关系式是:
.
四、行程问题
例:
甲、乙二人相距6km,二人同向而行,甲3小时可追上乙;相向而行,1小时相遇。
二人的平均速度各是多少?
解:
设甲每小时走x千米,乙每小时走y千米
题中的两个相等关系:
1、同向而行:
甲的路程=乙的路程+
可列方程为:
2、相向而行:
甲的路程+=
可列方程为:
例:
在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站,A到B的距离为120千米,B到C的距离也是120千米.分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场,正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去,结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?
【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时,则
,整理,得
,解得
,
因此,巡逻车的速度是80千米/时,犯罪团伙的车的速度是40千米/时.
点评:
“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都存在着一个相等关系,这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间,具体表现在:
“相向而遇”时,两者所走的路程之和等于它们原来的距离;
“同向追及”时,快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.
五、货运问题
典例5某船的载重量为300吨,容积为1200立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每吨体积为6立方米,乙种货物每吨的体积为2立方米,要充分利用这艘船的载重和容积,甲、乙两重货物应各装多少吨?
分析:
“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”.设甲种货物装x吨,乙种货物装y吨,则
,整理,得
,解得
,
因此,甲、乙两重货物应各装150吨.
点评:
由实际问题列出的方程组一般都可以再化简,因此,解实际问题的方程组时要注意先化简,再考虑消元和解法,这样可以减少计算量,增加准确度.化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等.
六、工程问题
例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,按照这个服装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装150套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的
;现在工厂改进了人员组织结构和生产流程,每天可生产这种工作服200套,这样不仅比规定时间少用1天,而且比订货量多生产25套,求订做的工作服是几套?
要求的期限是几天?
分析:
设订做的工作服是x套,要求的期限是y天,依题意,得
,解得
.
点评:
工程问题与行程问题相类似,关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率,工作效率=工作量÷工作时间”.其次注意当题目与工作量大小、多少无关时,通常用“1”表示总工作量.
七、分配调运问题
一批货物要运往某地,货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车,已知过去租用这两种汽车运货的情况如左表所示,现租用该公司5辆甲种货车和6辆乙种货车,一次刚好运完这批货物,问这批货物有多少吨?
解:
设
题中的两个相等关系:
1、第一次:
甲货车运的货物重量+=36
可列方程为:
2、第二次:
甲货车运的货物重量+=26
可列方程为:
某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动,如果从甲厂抽9人到乙厂,则两厂的人数相同;如果从乙厂抽5人到甲厂,则甲厂的人数是乙厂的2倍,到两个工厂的人数各是多少?
解:
设到甲工厂的人数为x人,到乙工厂的人数为y人
题中的两个相等关系:
1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数
可列方程为:
x-9=
2、抽5人后到甲工厂的人数=
可列方程为:
(金融分配问题)小华买了10分与20分的邮票共16枚,花了2元5角,问10分与20分的邮票各买了多小?
解;设共买x枚10分邮票,y枚20分邮票
题中的两个相等关系:
1、10分邮票的枚数+20分邮票的枚数=总枚数
可列方程为:
2、10分邮票的总价+=全部邮票的总价
可列方程为:
10X+=
(分配问题)某幼儿园分萍果,若每人3个,则剩2个,若每人4个,则有一个少1个,问幼儿园有几个小朋友?
解:
设幼儿园有x个小朋友,萍果有y个
题中的两个相等关系:
1、萍果总数=每人分3个+
可列方程为:
2、萍果总数=
可列方程为:
(金融分配问题)需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克?
解:
设每千克售4.2元的糖果为x千克,每千克售3.4元的糖果为y千克
题中的两个相等关系:
1、每千克售4.2元的糖果销售总价+=
可列方程为:
2、每千克售4.2元的糖果重量+=
可列方程为:
(材料分配问题)一张桌子由桌面和四条脚组成,1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条,现有5立方米的木材,问应如何分配木材,可以使桌面和桌脚配套?
解:
设有
题中的两个相等关系:
1、制作桌面的木材+=
可列方程为:
2、所有桌面的总数:
所有桌脚的总数=
可列方程为:
八、倍数问题某市现有42万人口,计划一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加工厂1.1%,这样全市人口将增加1%,求这个市现在的城镇人口与农村人口?
解:
这个市现在的城镇人口有x万人,农村人口有y万人
题中的两个相等关系:
1、现在城镇人口+=现在全市总人口
可列方程为:
2、明年增加后的城镇人口+=明年全市总人口
可列方程为:
(1+0.8%)x+=
7、浓度分配问题
例:
要配浓度是45%的盐水12千克,现有10%的盐水与85%的盐水,这两种盐水各需多少?
解:
设含盐10%的盐水有x千克,含盐85%的盐水有y千克。
题中的两个相等关系:
1、含盐10%的盐水中盐的重量+含盐85%的盐水中盐的重量=
可列方程为:
10%x+=
2、含盐10%的盐水重量+含盐85%的盐水重量=
可列方程为:
x+y=
8、和差倍问题
例:
一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数?
解:
设个位数字为x,十位数字为y。
题中的两个相等关系:
1、个位数字=-5
可列方程为:
2、新两位数=
可列方程为:
例:
甲乙二人若乙给甲10元则甲所有的钱为乙的3倍若甲给乙10元则甲所有的钱为乙的2倍多10元求甲乙各拥有多少钱
十一、增长率问题
1某人装修房屋原预算25000元。
装修时因材料费下降了20%,工资涨了10%,实际用去21500元。
求原来材料费及工资各是多少元
2某单位甲、乙两人去年共分得现金9000元今年共分得现金12700元.已知今年分得的现金甲增加50%,乙增加30%,.两人今年分得的现金各是多少元
12、几何问题
如图:
用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形,每块小长方形的长和宽分别是多少?
解:
设小长方形的长是x厘米,宽是y厘米
题中的两个相等关系:
1、小长方形的长+=大长方形的宽
可列方程为:
2、小长方形的长=
可列方程为:
13、航行问题
例:
AB两地相距1200km,一条船顺流航行需2小时30分逆流航行需3小时20分求飞机的平均速度和风速。
14、年龄问题.
甲对乙说:
“当我的岁数是你现在的岁数时,你才4岁”.乙对甲说:
“当我的岁数是你现在的岁数时,你将61岁”.请你算一算,甲、乙现在各多少岁?
解:
甲的年龄(岁)
乙的年龄(岁)
现在
X
Y
甲说
Y
4
乙说
61
X
练习:
1,父子的年龄差30岁,五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍,问今年父亲和儿子各是多少岁?
2现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍,7年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍,问父亲、儿子现在的年龄分别是多少岁?
十五、方案设计问题
例1 某地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元;经粗加工后销售,每吨利润可达4500元;经精加工后销售,每吨利润涨至7500元。
当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨,该公司的加工能力是:
如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨;如果进行精加工,每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行,受季节条件的限制,公司必须在15天之内将这批蔬菜加工完毕,为此公司研制了三种加工方案:
方案一是将蔬菜全部进行粗加工;方案二是尽可能多地对蔬菜进行精加工,没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售;方案三是将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好在15天完成.你认为选择哪种方案获利最多?
为什么?
分析:
本题的三种方案已经给出,其中在方案一中,15内可将蔬菜全部进行粗加工;在方案二中,15天都对蔬菜进行精加工,可加工6×15=90吨,其余的140-90=50吨在市场上直接销售;以上两种方案的获利可直接求出.但方案三情况较为复杂,需先求出两种方式加工蔬菜的吨数,再求其获利,然后将三种方案的获利进行比较即可.
解:
方案一获利为4500×140=630000(元).
方案二获利为7500×(6×15)+1000×(140-6×15)=675000+50000=725000(元).
方案三获利计算如下:
设将
吨蔬菜进行精加工,
吨蔬菜进行粗加工,根据题意,得
解得
所以方案三获利为7500×60+4500×80=810000(元).
由以上计算可得选择方案三获利最多.
点评:
本题体现了运用数学的意识,最优的选择可以获取直接的效益.
例2 商场计划拨款9万元,从厂家购进50台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出场价分别为甲种每台1500元,乙种每台2100元,丙种每台2500元.
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案;
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一台丙种电视机可获利250元.在同时购进两种不同型号的电视机的方案中,为使销售时获利最多,该选择哪种进货方案?
分析:
(1)本题没有明确进哪两种型号的电视机,而厂家提供了三种型号的电视机,故有三种不同的购货方案,即甲和乙,甲和丙,乙和丙,应分别求之;
(2)把
(1)中每种方案的获利分别求出,比较后即可得到获利最多的方案.
解:
(1)①设购进甲种电视机
台,购进乙种电视机
台,根据题意,得
解得
故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电视机各25台.
②设购进甲种电视机
台,购进丙种电视机
台,根据题意,得
解得
故第二种进货方案是购进甲种电视机35台,丙种电视机15台.
③设购进乙种电视机
台,购进丙种电视机
台,根据题意,得
解得
不合题意,舍去.
故此种方案不可行.
(2)上述的第一种方案可获利:
150×25+200×25=8750元,
第二种方案可获利:
150×35+250×15=9000元,
因为8750<9000,故应选择第二种进货方案,即购进甲种电视机35台,乙种15台.
点评:
当我们面临数学问题而无法确定其情形时,就必须进行分类讨论.分类讨论思想的实质是把问题“分而治之,各个击破”.
例3 某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎,每扎1000张,已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票,进价分别是A彩票每张1.5元,B彩票每张2元,C彩票每张2.5元.
(1)若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎,用去45000元,请你设计进票方案;
(2)若销售A型彩票一张获手续费0.2元,B型彩票一张获手续费0.3元,C型彩票一张获手续费0.5元.在购进两种彩票的方案中,为使销售完时获得手续费最多,你选择哪种进票方案?
(3)若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎,请你设计进票方案.
分析:
如何用有限的经费购买不同型号且达到一定数量的彩票,这不仅是体彩经销商所要思考的问题,而且应当成为考生运用所学的知识解决具体实际问题的时候.命题者正是出于此意图.编拟了一道以方案设计为主的应用题.解答时,可设经销商从体彩中心购进A种彩票x张,B种彩票y张,C种彩票z长.则可分以下三种情况考虑.
解:
(1)设购进A种彩票x张,B种彩票y张,
x+y=1000×20
1.5x+2y=45000
∴x<0,无解.
设购进A种彩票x张,C种彩票y张,
x+y=6000×20,
1.5x+2.5y=45000.
x=5000,
y=15000
设购进B种彩票x张,C种彩票y张,
2x+2.5y=45000,
x+y=1000×20.
x=10000
y=10000
综上所述若经销商同时购进两种不同型号的彩票共有两种方案可行,即A种彩票5扎,C种彩票l5扎或B种彩票与C种彩票各10扎;
(2)若购进A种彩票5扎,C种彩票15扎.
销售完后获手续费为0.2×5000+0.5×l5000=8500(元)
若购进B种彩票与C种彩票各10扎.
销售完后获手续费为0.3×l0000+0.5×10000=8000(元)
为使销售完时获得手续最多选择的方案为A种彩票5扎,C种彩票15扎;
(3)若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎.设购进A种彩票x扎,B种彩票y扎,C种彩票z扎.
由题意得 x+y+z=20,
1.5×1000x+2×1000y+2.5×1000z=45000.
∴ z=x+10
y=-2x+l0
∴1≤x<5
又x为整数共有4种进票方案.
即A种1扎,B种8扎,C种11扎或A种2扎,B种6扎,C种.12扎或A种3扎,B种4扎,C种13扎或A种4扎,3种2扎,C种14扎.
评注:
本题设置精巧,靠近课本,使学生乐于接受,注重问题的解决过程,有一定的开放性.它阅读量较大,解题要把握住每个数据的作用和分类思想,通过本题,更加凸现了数学的应用意识.
毫无疑问,随着新课程标准的实施,新题型会不断涌现出来,它们的出现代表着新的理念,新的方向.研究它们将会发挥出更好的导学、导考作用.我们必须要不断探索,去领悟、积累必要的能力,迎接新挑战.
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