五年级奥数第一讲质数、合数和分解质因数(教师用)Word文档格式.doc
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3×
5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12=2×
2×
3=22×
3,2、3都叫做12的质因数。
二、典例剖析:
例1三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.
解:
∵210=2×
5×
7
∴可知这三个数是5、6和7。
例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?
把40表示为两个质数的和,共有三种形式:
40=17+23=11+29=3+37。
∵17×
23=391>11×
29=319>3×
37=111。
∴所求的最大值是391。
答:
这两个质数的最大乘积是391。
例3自然数123456789是质数,还是合数?
为什么?
123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外,至少还有约数3,所以它是一个合数。
例4连续九个自然数中至多有几个质数?
如果这连续的九个自然数在1与20之间,那么显然其中最多有4个质数(如:
1~9中有4个质数2、3、5、7)。
如果这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数,而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数,即这个奇数是合数.这样,至多另4个奇数都是质数。
综上所述,连续九个自然数中至多有4个质数。
例5把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。
∵5=5,7=7,6=2×
3,14=2×
7,15=3×
5,
这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14
(=2×
7)放在第一组,那么7和6(=2×
3)只能放在第二组,继而15(=3×
5)只能放在第一组,则5必须放在第二组。
这样14×
15=210=5×
6×
7。
这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。
例6有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
分析先大概估计一下,30×
30×
30=27000,远小于42560.40×
40×
40=64000,远大于42560.因此,要求的三个自然数在30~40之间。
42560=26×
7×
19
=25×
(5×
7)×
(19×
2)
=32×
35×
38(合题意)
要求的三个自然数分别是32、35和38。
例7有3个自然数a、b、c.已知a×
b=6,b×
c=15,
a×
c=10.求a×
b×
c是多少?
∵6=2×
3,15=3×
5,10=2×
(a×
b)×
(b×
c)×
(a×
c)
=(2×
3)×
(3×
5)×
(2×
5)
∴a2×
b2×
c2=22×
32×
52
∴(a×
c)2=(2×
5)2
c=2×
5=30
在例7中有a2=22,b2=32,c2=52,其中22=4,32=9,52=25,像4、9、25这样的数,推及一般情况,我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如.12=1,22=4,32=9,42=16,…,112=121,122=144,…其中1,4,9,16,…,121,144,…都叫做完全平方数.
下面让我们观察一下,把一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数有什么特征。
例如:
把下列各完全平方数分解质因数:
9,36,144,1600,275625。
9=3236=22×
32144=32×
24
1600=26×
52275625=32×
54×
72
可见,一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数均是偶数。
反之,如果把一个自然数分解质因数之后,各个质因数的指数都是偶数,那么这个自然数一定是完全平方数。
如上例中,36=62,144=122,1600=402,275625=5252。
例8一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。
分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数,
∴乘积分解质因数后,各质因数的指数一定全是偶数。
∵1080×
a=23×
33×
a,
又∵1080=23×
5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数,
∴a必含质因数2、3、5,因此a最小为2×
∴1080×
a=1080×
5=1080×
30=32400。
a的最小值为30,这个完全平方数是32400。
例9问360共有多少个约数?
分析360=23×
为了求360有多少个约数,我们先来看32×
5有多少个约数,然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23,即得到23×
5(=360)的所有约数.为了求32×
5有多少个约数,可以先求出5有多少个约数,然后再把这些约数分别乘以1、3、32,即得到32×
5的所有约数。
记5的约数个数为Y1,
32×
5的约数个数为Y2,
360(=23×
5)的约数个数为Y3.由上面的分析可知:
Y3=4×
Y2,Y2=3×
Y1,
显然Y1=2(5只有1和5两个约数)。
因此Y3=4×
Y2=4×
Y1=4×
2=24。
所以360共有24个约数。
说明:
Y3=4×
Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数,也就是其中2的最大指数加1,也就是360=23×
5中质因数2的个数加1;
Y2=3×
Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数,也就是23×
5中质因数3的个数加1;
而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数,即23×
5中质因数5的个数加1.因此
Y3=(3+1)×
(2+1)×
(1+1)=24。
对于任何一个合数,用类似于对23×
5(=360)的约数个数的讨论方式,我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论:
一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。
例10求240的约数的个数。
∵240=24×
31×
51,
∴240的约数的个数是
(4+1)×
(1+1)×
(1+1)=20,
∴240有20个约数。
请你列举一下240的所有约数,再数一数,看一看是否是20个?
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1.边长为自然数,面积为105的形状不同的长方形共有多少种?
2.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个.这个长方阵每一横行有多少个棋子?
3.五个相邻自然数的乘积是55440,求这五个自然数。
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