三年级奥数暑假复习讲义(学生版)文档格式.doc
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于是,小高斯把这道题巧算为
(1+100)×
100÷
2=5050。
小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。
例如:
(1)1,2,3,4,5,…,100;
(2)1,3,5,7,9,…,99;
(3)8,15,22,29,36,…,71。
其中
(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;
(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;
(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×
项数÷
2。
【典型例题】
例1、1+2+3+…+1999=?
例2、11+12+13+…+31=?
例3、3+7+11+…+99=?
例4、求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
例5、在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。
问:
(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?
(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?
例6、盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;
第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球?
练习
1.计算下列各题:
(1)2+4+6+…+200;
(2)17+19+21+…+39;
(3)5+8+11+14+…+50;
(4)3+10+17+24+…+101。
2.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下。
时钟一昼夜敲打多少次?
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中,十位数比个位数大的数共有多少个?
第二讲找简单数列的规律
这一讲我们先介绍什么是“数列”,然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
按一定次序排列的一列数就叫数列。
例如,
(1)1,2,3,4,5,6,…
(2)1,2,4,8,16,32;
(3)1,0,0,1,0,0,1,…
(4)1,1,2,3,5,8,13。
一个数列中从左至右的第n个数,称为这个数列的第n项。
如,数列
(1)的第3项是3,数列
(2)的第3项是4。
一般地,我们将数列的第n项记作an。
数列中的数可以是有限多个,如数列
(2)(4),也可以是无限多个,如数列
(1)(3)。
许多数列中的数是按一定规律排列的,我们这一讲就是讲如何发现这些规律。
数列
(1)是按照自然数从小到大的次序排列的,也叫做自然数数列,其规律是:
后项=前项+1,或第n项an=n。
数列
(2)的规律是:
后项=前项×
2,或第n项
数列(3)的规律是:
“1,0,0”周而复始地出现。
数列(4)的规律是:
从第三项起,每项等于它前面两项的和,即
a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,
a6=3+5=8,a7=5+8=13。
常见的较简单的数列规律有这样几类:
第一类是数列各项只与它的项数有关,或只与它的前一项有关。
例如数列
(1)
(2)。
第二类是前后几项为一组,以组为单元找关系才可找到规律。
例如数列(3)(4)。
第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。
这类情形稍为复杂些,我们用后面的例3、例4来作一些说明。
例1找出下列各数列的规律,并按其规律在()内填上合适的数:
(1)4,7,10,13,(),…
(2)84,72,60,(),();
(3)2,6,18,(),(),…
(4)625,125,25,(),();
(5)1,4,9,16,(),…
(6)2,6,12,20,(),(),…
例2找出下列各数列的规律,并按其规律在()内填上合适的数:
(1)1,2,2,3,3,4,(),();
(2)(),(),10,5,12,6,14,7;
(3)3,7,10,17,27,();
(4)1,2,2,4,8,32,()。
例3找出下列各数列的规律,并按其规律在()内填上合适的数:
(1)18,20,24,30,();
(2)11,12,14,18,26,();
(3)2,5,11,23,47,(),()。
例4找出下列各数列的规律,并按其规律在()内填上合适的数:
(1)12,15,17,30,22,45,(),();
(2)2,8,5,6,8,4,(),()。
1、按其规律在下列各数列的()内填数。
1.56,49,42,35,()。
2.11,15,19,23,(),…
3.3,6,12,24,()。
4.2,3,5,9,17,(),…
5.1,3,4,7,11,()。
6.1,3,7,13,21,()。
7.3,5,3,10,3,15,(),()。
8.8,3,9,4,10,5,(),()。
9.2,5,10,17,26,()。
10.15,21,18,19,21,17,(),()。
11.数列1,3,5,7,11,13,15,17。
(1)如果其中缺少一个数,那么这个数是几?
应补在何处?
(2)如果其中多了一个数,那么这个数是几?
为什么?
2、观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律,在括号中填上合适的数.
①2,5,8,11,(),17,20。
②19,17,15,13,(),9,7。
③1,3,9,27,(),243。
④64,32,16,8,(),2。
⑤1,1,2,3,5,8,(),21,34…
⑥1,3,4,7,11,18,(),47…
⑦1,3,6,10,(),21,28,36,().
⑧1,2,6,24,120,(),5040。
⑨1,1,3,7,13,(),31。
⑩1,3,7,15,31,(),127,255。
(11)1,4,9,16,25,(),49,64。
(12)0,3,8,15,24,(),48,63。
(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,().
(14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,().
3、按一定的规律在括号中填上适当的数:
1.1,2,3,4,5,(),7…
2.100,95,90,85,80,(),70
3.1,2,4,8,16,(),64
5.2,1,3,4,7,(),18,29,47
6.1,2,5,10,17,(),37,50
7.1,8,27,64,125,(),343
8.1,9,2,8,3,(),4,6,5,5
第三讲上楼梯问题
有这样一道题目:
如果每上一层楼梯需要1分钟,那么从一层上到四层需要多少分钟?
如果你的答案是4分钟,那么你就错了.正确的答案应该是3分钟。
为什么是3分钟而不是4分钟呢?
原来从一层上到四层,只要上三层楼梯,而不是四层楼梯。
下面我们来看几个类似的问题。
例1、裁缝有一段16米长的呢子,每天剪去2米,第几天剪去最后一段?
例2、一根木料在24秒内被切成了4段,用同样的速度切成5段,需要多少秒?
例3、三年级同学120人排成4路纵队,也就是4个人一排,排成了许多排,现在知道每相邻两排之间相隔1米,这支队伍长多少米?
例4、时钟4点钟敲4下,12秒钟敲完,那么6点钟敲6下,几秒钟敲完?
例5、某人要到一座高层楼的第8层办事,不巧停电,电梯停开,如从1层走到4层需要48秒,请问以同样的速度走到八层,还需要多少秒?
例6、晶晶上楼,从1楼走到3楼需要走36级台阶,如果各层楼之间的台阶数相同,那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶?
习题
1.一根木料截成3段要6分钟,如果每截一次的时间相等,那么截7段要几分钟?
2.有一幢楼房高17层,相邻两层之间都有17级台阶,某人从1层走到11层,一共要登多少级台阶?
3.从1楼走到4楼共要走48级台阶,如果每上一层楼的台阶数都相同,那么从1楼到6楼共要走多少级台阶?
4.一座楼房每上1层要走16级台阶,到小英家要走64级台阶,小英家住在几楼?
5.一列火车共20节,每节长5米,每两节之间相距1米,这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道,需要几分钟?
6.时钟3点钟敲3下,6秒钟敲完,12点钟敲12下,几秒钟敲完?
7.某人到高层建筑的10层去,他从1层走到5层用了100秒,如果用同样的速度走到10层,还需要多少秒?
8.A、B二人比赛爬楼梯,A跑到4层楼时,B恰好跑到3层楼,照这样计算,A跑到16层楼时,B跑到几层楼?
9.铁路旁每隔50米有一根电线杆,某旅客为了计算火车的速度,测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟,火车的速度是每秒多少米?
一、植树问题
要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题,
首先要牢记三要素:
①总路线长.②间距(棵距)长.③棵数.
只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。
关于植树的路线,有封闭与不封闭两种路线。
1.不封闭路线
例:
如图
①若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段,但植树棵数是6棵。
全长、棵数、株距三者之间的关系是:
棵数=段数+1=全长÷
株距+1
全长=株距×
(棵数-1)
株距=全长÷
②如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在两端植树时的棵数少1,即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为:
棵数;
棵数=全长÷
株距;
棵数。
③如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1棵。
棵数=段数-1=全长÷
株距-1.
如右图所示.段数为5段,植树棵数为4棵。
(棵数+1)。
2.封闭的植树路线
在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数等于分成的段数。
如右图所示。
棵数=段数=周长÷
株距.
二、方阵问题
学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列.如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点是:
①方阵不论在哪一层,每边上的人(或物)数量都相同.
每向里一层,每边上的人数就少2。
②每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系:
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×
4;
每边人(或物)数=四周人(或物)数÷
4+1。
③中实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数×
每边人(或物)数。
例1、有一条公路长900米,在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆,可栽多少根电线杆?
例2、马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米?
例3、某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人?
这个方阵共有五年级学生多少人?
例4、晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?
例5、一个圆形花坛,周长是180米.每隔6米种一棵芍药花,每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药?
多少棵月季?
两棵月季之间的株距是多少米?
例6、一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花?
整个花园中共栽多少棵花?
习题1
1.一个圆形池塘,它的周长是150米,每隔3米栽种一棵树.问:
共需树苗多少株?
2.有一正方形操场,每边都栽种17棵树,四个角各种1棵,共种树多少棵?
3.在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时,乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问:
甲每分钟走多少米?
4.在一根长100厘米的木棍上,从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点,在两个红点之间长为4厘米的间距有几段?
练习2
一、填空题
1.在相距100米的两楼之间栽树,每隔10米栽1棵,共栽了棵树.
2.圆形滑冰场周长400米,每隔20米装一盏灯,共要装盏灯.
3.一段公路长3600米,在公路两旁每隔9米栽一棵梧桐树,两端都栽,共栽梧桐树棵.
4.在一个半径是125米的圆形花园周围以等距离种白杨树157棵,则两树间的距离是米.
5.一个湖泊周长1800米,沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树,每两棵柳树中间栽一棵桃树,湖泊周围栽柳树棵,栽桃树棵.
6.一块三角形地,三边之长分别为156米、234米、186米,要在三边上植树,株距6米,三个角上各有一棵,共植树棵.
7.一条马路长440米,在路的两旁每隔8米种一棵树,两边都种,共种棵树.
8.两棵柳树相距408米,计划在这两棵树之间补栽小树23棵,每两棵树间隔相等,则树的间隔
米.
9.公路的每边相隔7米有一棵槐树,芳芳乘电车3分钟看到公路的一边有槐树151棵,电车的速度是每分钟米.
10.国庆节接受检阅的一列车队共52辆,每辆车长4米,前后每辆车相隔6米,车队每分钟行驶105米.这列车队要通过536米长的检阅场地,要分钟.
二、解答题
11.参加阅兵的战士有1200人,平均分成5个大队,队距是7.5米.每队6人为一排,排距是2米.整个队伍的总长有多少米.
12.锯一条4米长的圆柱形的钢条,锯5段耗时1小时20分.如果把这样的钢条锯成半米长的小段,需要多少分钟.
13.一人以相等的速度在小路上散步,从第一棵树走到第12棵树用了11分钟,如果这个人走了25分钟,应走到的第几棵树.
14.在一个正方形的场地四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都种有24棵,四周共种多少棵树.
第五讲归一问题和归总问题
为什么把有的问题叫归一问题?
我国珠算除法中有一种方法,称为归除法.除数是几,就称几归;
除数是8,就称为8归.而归一的意思,就是用除法求出单一量,这大概就是归一说法的来历吧!
归一问题有两种基本类型.一种是正归一,也称为直进归一.
如:
一辆汽车3小时行150千米,照这样,7小时行驶多少千米?
另一种是反归一,也称为返回归一.
修路队6小时修路180千米,照这样,修路240千米需几小时?
正、反归一问题的相同点是:
一般情况下第一步先求出单一量;
不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少,反归一是求包含多少个单一量。
例1、一只小蜗牛6分钟爬行12分米,照这样速度1小时爬行多少米?
例2、一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算,磨完剩下的面粉还要几小时?
例3、学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元;
买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元?
例4、一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满;
单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空?
例5、7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨,要求5趟运完,求需要增加同样的卡车多少辆?
例6、某车间要加工一批零件,原计划由18人,每天工作8小时,7.5天完成任务.由于缩短工期,要求4天完成任务,可是又要增加6人.求每天加班工作几小时?
例7、甲、乙两个打字员4小时共打字3600个.现在二人同时工作,在相同时间内,甲打字2450个,乙打字2050个.求甲、乙二人每小时各打字多少个?
与归一问题类似的是归总问题,归一问题是找出“单一量”,而归总问题是找出“总量”,再根据其它条件求出结果。
所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。
例8一项工程,8个人工作15时可以完成,如果12个人工作,那么多少小时可以完成?
例9一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行60千米,5时到达。
若要4时到达,则每小时需要多行多少千米?
例10修一条公路,原计划60人工作,80天完成。
现在工作20天后,又增加了30人,这样剩下的部分再用多少天可以完成?
1.2台拖拉机4时耕地20公顷,照这样速度,5台拖拉机6时可耕地多少公顷?
2.4台织布机5时可以织布2600米,24台织布机几小时才能织布24960米?
3.一种幻灯机,5秒钟可以放映80张片子。
48秒钟可以放映多少张片子?
4.3台抽水机8时灌溉水田48公顷,照这样的速度,5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷?
5.平整一块土地,原计划8人平整,每天工作7.5时,6天可以完成任务。
由于急需播种,要求5天完成,并且增加1人。
每天要工作几小时?
6.食堂管理员去农贸市场买鸡蛋,原计划按每千克3.00元买35千克。
结果鸡蛋价格下调了,他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。
鸡蛋价格下调后是每千克多少元?
7.锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。
供暖40天后,由于进行了技术改造,每天能节约0.9吨煤。
这些煤共可以供暖多少天?
8.花果山上桃树多,6只小猴分180棵.现有小猴72只,如数分后还余90棵,请算出桃树有几棵?
9.5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜,照这样计算,酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂?
10.4辆汽车行驶300千米需要汽油240公升.现有5辆汽车同时运货到相距800千米的地方,汽油只有1000公升,问是否够用?
11.5台拖拉机24天耕地12000公亩.要18天耕完54000公亩土地,需要增加同样拖拉机多少台?
求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题,如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……”。
平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。
解答这类应用题时,主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系,根据总数除以它相对应的份数,求出一份数,即平均数。
一、算术平均数
例1、用4个同样的杯子装水,水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米,这4个杯子水面平均高度是多少厘米?
【巩固练习】
1、一小组六个同学在某次数学考试中,分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。
他们的平均成绩是多少?
例2、蔡琛在期末考试中,政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分,而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分?
1、小敏期末考试,数学92分,语文90分,英语成绩比这三门的平均成绩高4分。
英语得了多少分?
二、加权平均数
例3、果品店把2千克酥糖,3千克水果糖,5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元,水果糖每千克4.20元,奶糖每千克7.20元.问:
什锦糖每千克多少元?
我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要,对什锦糖的单价产生不同影响,有权衡轻重的作用,所以这样的数叫做“权数”
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