高考数学总练习课后强化功课第九章第三节点直线平面的位置.docx
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高考数学总练习课后强化功课第九章第三节点直线平面的位置
2019高考数学总练习课后强化功课-第九章第三节点、直线、平面的位置
1.假设空间中有四个点,那么“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的( )
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充分必要条件D、既非充分又非必要条件
[答案] A
[解析] 假设有三点共线于l,当第四点在l上时共面,当第四点不在l上时,l与该点确定一个平面α,这四点共面于α;假设四点共面,那么未必有三点共线、
①没有公共点的两条直线平行;
②互相垂直的两条直线是相交直线;
③既不平行也不相交的直线是异面直线;
④不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线、其中正确命题的个数是()
A、1B、2
C、3D、4
[答案]B
[解析]没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;互相垂直的两条直线相交或异面,故命题②错;既不平行也不相交的直线是异面直线,不同在任一平面内的两条直线是异面直线,命题③、④正确,应选B.
3、(2017·济宁一模)空间中有三条线段AB、BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是()
A、AB∥CD
B、AB与CD异面
C、AB与CD相交
D、AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
[答案]D
[解析]假设三条线段共面,如果AB、BC、CD构成等腰三角形,那么直线AB与CD相交,否那么直线AB与CD平行;假设不共面,那么直线AB与CD是异面直线,应选D.
4、(文)(2017·北京市西城区模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有()
A、3条B、4条
C、6条D、8条
[答案]C
[解析]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1有公共点A的和有公共点C1的各有3条,其余6条所在正方体的面与AC1均相交,且交点不在这些棱上,由异面直线判定定理知,这6条与AC1都异面,应选C.
(理)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()
A、3B、4
C、5D、6
[答案]C
[解析]如上图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面,也与CC1共面的棱为BC、C1D1、DC、AA1、BB1,共5条、
5、(文)(2017·中山模拟)设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥(如下图),使得截面四边形是平行四边形,那么这样的平面α
()
A、不存在
B、只有1个
C、恰有4个
D、有无数多个
[答案]D
[解析]解法一:
在四棱锥P-ABCD的侧棱PA、PB上各取一点E、F,在侧棱PC上取一点M,在侧面PCD内过M作MN∥EF,在平面PCD内沿侧棱平行移动直线MN,使其与两侧棱交点M、N之间线段长MN=EF,那么截面MNEF截得的四边形为平行四边形,所有与平面MNEF平行的平面截四棱锥所得的四边形均为平行四边形,应选D.
解法二:
作一个平行四边形A1B1C1D1,在平面A1B1C1D1外任取一点P得到四棱锥P-A1B1C1D1,在直线PA1、PB1、PC1、PD1上任取点A、B、C、D,使ABCD不是平行四边形,那么四棱锥P-ABCD符合题意,所有与平面A1B1C1D1平行的平面截四棱锥均可得到一个平行四边形、
(理)如下图是正方体或四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,那么这四个点不共面的一个图是()
[答案]D
[解析]A中,PS∥QR;B中如下图可知此四点共面;C中PS∥QR;D中RS在经过平面PQS内一点和平面PQS外一点的直线上,应选D.
6、(2017·浙江省嘉兴市质检)如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,那么以下判断错误的选项是()
A、MN与CC1垂直B、MN与AC垂直
C、MN与BD平行D、MN与A1B1平行
[答案]D
[解析]由于C1D1与A1B1平行,MN与C1D1是异面直线,所以MN与A1B1是异面直线,应选项D错误、
[点评]取CC1中点P,那么MP∥BC,NP∥C1D1,∵CC1⊥BC,CC1⊥C1D1,∴CC1⊥MP,CC1⊥NP,∴CC1⊥平面MNP,∴CC1⊥MN,∴A正确;取CD中点Q,BC中点R,那么NQ綊
D1D,MR綊
CC1,∵CC1綊D1D,∴NQ綊MR,∴MN∥QR,∵QR∥BD,AC⊥BD,∴AC⊥MN,∴B正确;
∵MN∥QR,QR∥BD,∴MN∥BD,∴C正确、
7、(2017·金华模拟)在图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,那么使直线GH、MN是异面直线的图形有________、(填上所有正确答案的序号)
[答案]②④
[解析]图①中,直线GH∥MN;
图②中,G、H、N三点在三棱柱的侧面上,MG与这个侧面相交于G,∴M∉平面GHN,
因此直线GH与MN异面;
图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图④中,G、M、N共面,但H∉平面GMN,
因此GH与MN异面、
所以图②、④中GH与MN异面、
8、(2017·浙江杭州)a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,那么a、b在α上的射影可能是:
①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点、那么在上面的结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)
[答案]①②④
[解析]设与两异面直线都平行的平面为α,β⊥α,那么a、b在β内的射影为两条平行直线,∴①正确;当a⊥α时,a、b在α内的射影为一条直线及线外一点,∴④正确;适当调整角度可以使a在α内的射影a′与b垂直,从而a′与b在α内的射影b′垂直,无论什么情况下,两直线的射影都不可能重合、
9、(2017·南京模拟)如下图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=
,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,那么当AM+MC1最小时,△AMC1的面积为________、
[答案]
[解析]将三棱柱的侧面A1ABB1和B1BCC1以BB1为折痕展平到一个平面α上,在平面α内AC1与BB1相交,那么交点即为M点,易求BM=1,∴AM=
,MC1=2
,
又在棱柱中,AC1=
,
∴cos∠AMC1=
=
=-
,
∴∠AMC1=120°,
∴S△AMC1=
AM·MC1·sin∠AMC1
=
×
×2
×
=
.
10、如下图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,假设A1C交平面BDEF于点R,试确定点R的位置、
[解析]如下图,在正方体AC1中,∵Q∈A1C1,∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF,∴Q∈平面BDEF,即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点、同理,P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点、∴平面A1C1CA∩平面BDEF=PQ,又A1C∩平面BDEF=R,∴R∈A1C,
∴R∈平面A1C1CA,又R∈平面BDEF,∴R∈PQ,
∴R是A1C与PQ的交点、
11.a、b、c是相异直线,α、β、γ是相异平面,以下命题中正确的选项是()
A、a与b异面,b与c异面⇒a与c异面
B、a与b相交,b与c相交⇒a与c相交
C、α∥β,β∥γ⇒α∥γ
D、a⊂α,b⊂β,α与β相交⇒a与b相交
[答案]C
[解析]如图
(1),正方体ABCD-A1B1C1D1中,a、b、c是三条棱所在直线满足a与b异面,b与c异面,但a∩c=A,故A错;同样在图
(2)的正方体中,满足a与b相交,b与c相交,但a与c不相交,故B错;如图(3),α∩β=c,a∥c,那么a与b不相交,故D错、
12、如下图是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条面对角线,那么在正方体中,直线MN与直线PB的位置关系为()
A、相交B、平行
C、异面D、重合
[答案]C
[解析]将表面展开图折起还原为正方体如下图,故MN与PB异面、
13、(2017·山西太原调研)平面α和不重合的两条直线m、n,以下选项正确的选项是()
A、如果m⊂α,n⊄α,m、n是异面直线,那么n∥α
B、如果m⊂α,n与α相交,那么m、n是异面直线
C、如果m⊂α,n∥α,m、n共面,那么m∥n
D、如果m⊥α,n⊥m,那么n∥α
[答案]C
[解析]如图
(1)可知A错;如图
(2)可知B错;如图(3),m⊥α,n是α内的任意直线,都有n⊥m,故D错、
∵n∥α,∴n与α无公共点,∵m⊂α,∴n与m无公共点,又m、n共面,∴m∥n,应选C.
14、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、SC和DC的中点,点P在线段FG上、
(1)求证:
平面EFG∥平面SDB;
(2)求证:
PE⊥AC.
[解析]
(1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点,
∴EF∥SB,EG∥BD.
∵EF⃘平面SBD,EG⃘平面SBD,
∴EF∥平面SBD,EG∥平面SBD.
∵EG∩EF=E,∴平面EFG∥平面SDB.
(2)∵B1B⊥底面ABCD,∴AC⊥B1B.
又∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
∴AC⊥平面B1BDD1,即AC⊥平面SBD.
又平面EFG∥平面SBD,∴AC⊥平面EFG.
∵PE平面EFG,∴PE⊥AC.
15.(2017·江苏通州调研)如下图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=
,点E在CD上移动、
(1)求三棱锥E-PAB的体积;
(2)试在PD上找一点F,使得PE⊥AF,并证明你的结论、
[解析]
(1)∵PA⊥平面ABCD,
∴VE-PAB=VP-ABE=
S△ABE·PA
=
×
×1×
×1=
.
(2)F是PD的中点
∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA
∵ABCD是矩形,∴CD⊥AD
∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD
∵F是PD上的点,AF⊂平面PAD,∴AF⊥DC
∵PA=AD,点F是PD的中点,∴AF⊥PD
又CD∩PD=D,∴AF⊥平面PDC
∵PE⊂平面PDC,∴PE⊥AF.
1、将正方体纸盒展开如下图所示,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是()
A、平行B、垂直
C、相交成60°角D、异面且成60°角
[答案]D
[解析]折起后如下图,显然AB与CD异面,∵AM∥CD,△AMB为正三角形,∴∠MAB=60°.
2、(2017·四川文,6)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,那么以下命题正确的选项是()
A、l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
B、l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C、l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D、l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
[答案]B
[解析]举反例,由教室内共点的三条墙角线可知A、D是错误的;由三棱柱的三条侧棱可知C是错误的、应选B.
3、(2017·全国卷Ⅰ文,6)直三棱柱ABC-A1B1C1中,假设∠BAC=90°,AB=AC=AA1,那么异面直线BA1与AC1所成的角等于()
A、30°B、45°
C、60°D、90°
[答案]C
[解析]将原来的直三棱柱补成一个正方体ABDC-A1B1D1C1,
∵AC1∥BD1,
∴∠A1BD1即为异面直线BA1与AC1所成的角、
∵△A1BD1为正三角形,
∴∠A1BD1=60°.
[点评]异面直线所成的角是重点考查的一个内容,难点在于寻找异面直线的平行线,此题巧妙地构造一个正方体,借助于正方体的特点,很容易找出异面直线所成的角、
4.(2017·江西文,11)如下图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出以下四个命题:
①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行、
其中真命题是()
A、②③④B、①③④
C、①②④D、①②③
[答案]C
[解析]∵点M不在B1C1上,∴由B1C1与点M可确定唯一平面B1C1M,设此平面与AA1交点为N,那么N为AA1中点,在平面ABB1A1内,B1N与BA必相交,设交点为Q,那么QM与B1C1一定不平行,∴QM与AB、B1C1都相交,由作法知,这样的直线QM有且仅有一条,∴①真;
∵AB∥A1B1,A1B1与B1C1相交确定一个平面A1B1C1D1,∵过点M作平面A1B1C1D1的垂线唯一,
∴过M与AB、B1C1都垂直的直线唯一,∴②真;
过M作ME∥DC,交CC1于E,∵DC∥AB,∴ME∥AB;过M作MF∥A1D1,交AA1于F,∵A1D1∥B1C1,∴MF∥B1C1,∴AB与B1C1都与平面MEF平行,由作法知,这样的平面MEF有且仅有一个,应选C.
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- 高考 数学 练习 课后 强化 功课 第九 第三 节点 直线 平面 位置