抽象函数的解题攻略.ppt
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抽象函数的解题攻略.ppt
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抽象函数全攻略,主讲教师:
詹龙忠,一、对称性,先看定义域,再研究f(-x)与f(x)关系:
f(-x)=f(x)偶函数关于y轴对称f(-x)=-f(x)奇函数关于原点对称,1.对任意x、y恒有,证明f(x)是奇函数。
显然,定义域关于原点对称。
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)(*)再令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0代入(*),则f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数。
原型是正比例函数,2.已知函数的定义域为x0,在定义域内的任意x、y,都有,证明f(x)是偶函数。
显然,定义域关于原点对称。
令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)
(1)令x=y=-1,则f
(1)=f(-1)+f(-1)
(2)令x=y=1,则f
(1)=f
(1)+f
(1)(3)f
(1)=0,f(-1)=0再代入
(1)得f(-x)=f(x)f(x)是偶函数原型是对数函数,本题有个简便方法:
f(xy)=f(-x)*(-y)=f(-x)+f(-y)f(x)+f(y)=f(-x)+f(-y)令y=x,2f(x)=2f(-x),f(x)是偶函数。
F(x+1)是偶函数,F(x)会怎样?
F(x-3)是奇函数,F(x)又怎样?
根据定义推导:
令g(x)=F(x+1),则g(-x)=g(x)即F(-x+1)=F(x+1),写成F(1-x)=F(1+x)表示F(x)关于x=1对称。
同理,F(-x-3)=-F(x-3)也就是F(-x-3)+F(x-3)=0F(x)关于(-3,0)中心对称。
常见问题讨论,总结一下:
F(x+k)是偶函数,对称轴x=kF(x+k)是奇函数,对称中心(k,0),对称函数的等价变换F(x+1)=F(-x+1)xx-1F(x)=F(2-x)等价F(x-3)+F(-x-3)=0xx+3F(x)+F(-6-x)=0等价,对称变换原则:
括号和不变,结果不变。
拓展一下:
1、F(x-3)=F(-x-5),那么F(x)的对称轴是什么?
2、F(x-3)+F(-x-5)=0,那么F(x)的对称中心是什么?
对称变换:
和之半为x。
对称函数的补充实例1.y=f(x+1)是偶函数,则f(2x)的对称轴是_。
2.y=f(2x+1)是奇函数,则f(x)的对称中心是_。
3.已知f(x+3)=f(5-x),则对称轴是什么?
4.函数f(x+3)、f(5-x)的对称轴是什么?
5.已知函数y=f(2x-1)是R上的奇函数,函数y=g(x)是函数y=f(x)的反函数,则g(a)+g(-a)的值为_。
伸伸小手:
已知f(2x+3)=f(5-2x),则f(2x)、f(x)对称轴分别是什么?
2016年全国卷II(12)已知函数f(x)(xR)满足,若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),则,因为f(-x)+f(x)=2,所以f(x)关于(0,1)对称。
又y=也关于(0,1)对称。
根据中点公式,两个对称的点的横坐标之和/2=0,纵坐标之和/2=1。
两坐标之和=0+2=2。
若有交点,必然对称出现。
两个交点时,坐标之和=2,那么n个交点时,坐标之和=n。
f(-x)=2-f(x),二、周期性f(x)=f(x+t)(t0,常数),1.已知f(x)=f(x-1)-f(x-2),求f(x)的周期解题策略:
我变非我,非我变我。
周期变换原则:
同加同减,结果不变。
f(x-1)=f(x-2)-f(x-3)
(1)与原式相加得f(x)=-f(x-3)
(2)f(x-3)=-f(x-6)(3)f(x)=-f(x-6)=f(x-6)(4),两个结论:
F(x+a)=F(x+b)(ab)周期为|a-b|F(x+a)=-F(x+b)(ab)周期为2|a-b|,f(x+6)=f(x),即周期为6。
xx-1,xx-3,两个方向:
简单化或者复杂化,2.若,f(x)的周期=?
3a,3.(2009年全国卷1)函数f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则()。
A.f(x)是偶函数B.F(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.F(x+3)是奇函数,f(x+1)=-f(-x+1),f(x-1)=-f(-x-1)f(x)=-f(-x+2),f(x)=-f(-x-2)(*)f(-x+2)=f(-x-2)f(x+4)=f(x)周期为4。
f(x+3)=f(x-1),f(x+3)是奇函数。
1.f(x)是奇函数,f(x-2)是偶函数,则周期是()。
2.(2009年四川理12)已知f(x)是不恒为零的偶函数,且xf(x+1)=(1+x)f(x),则的值是()。
0,8,伸伸小手:
三、单调性,1.对任意x、yR,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x0时,f(x)0,判断f(x)的单调性。
设x1x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+x2-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)x1-x20,f(x1-x2)0。
f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)f(x)是减函数。
2.已知函数的定义域为x0,在定义域内的任意x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x1时f(x)0,f
(2)=1
(1)判断f(x)在(0,+)上的单调性;
(2)解不等式,
(1)设x1x20,f(x1)-f(x2)=f()-f(x2)=f()+f(x2)-f(x2)=f()因此,f(x)在(0,+)上是增函数。
(2)易知f(x)是偶函数,等价于f(|2x2-1|)f
(2)+f
(2),即f(|2x2-1|)f(4)。
又x0,|2x2-1|4,|2x2-1|0。
四、导数应用,1.(2015全国理12)设奇函数f(x)满足f(-1)=0,当x0时,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()。
一、构建函数根据已知条件构建函数,显然可设,二、研究性质,即g(x)在x0时为减函数。
f(x)、x都是奇函数,所以g(x)(x0)是偶函数。
又g(-1)=f(-1)/(-1)=-f(-1)/(-1)=0。
作出g(x)示意图。
当x0且f(x)0时,g(x)0当x0时,g(x)0,答案:
A,2.定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)+f(x)=x2,且当x0时,f(x)x,则不等式的解集()。
一、构建函数f(x)-x0g(x)=f(x)-x,二、研究性质考察单调性和奇偶性。
g(x)在x0时为减函数。
又g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)x2=0g(x)是奇函数,g(x)在整个定义域内为减函数。
即g(x)g(1-x)。
x1-x,,再见,
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