四年级奥数数列规律总汇文档格式.docx
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依次倒推,可求出前面5个数。
第5个数为:
81-50=31;
第4个数为:
50-31=19;
第3个数为:
31-19=11;
第2个数为:
19-11=8;
第1个数为:
11-8=3。
四年级奥数解析
(二)找规律巧填数(下)
《奥赛天天练》第1讲,拓展提高,习题1
从下边表格中各数列的规律可以看出:
(1)“☆”代表_,“△”代表_;
(2)81排在第_行第_列。
观察表格寻找规律,一般包括三个观察方向:
横着看、竖着看、斜着看。
不难看出这个表格中的数字都是奇数,从左上角开始,沿着右上到左下的方向从小到大依次斜向排列。
解法一:
简单枚举。
按照表格中的数字的排列规律,填出表格中所有空格里的数字,则题中的问题必然迎刃而解。
解法二:
探索规律。
依次从表格中不同的方向观察,寻找规律。
从表格的第一行横着看,这是个递增数列,后面的数依次比前一个数大:
2、4、6……。
所以,“△”代表的数为:
31+12+14=57;
从表格第一列竖着看,这也是个递增数列,后面的数依次比前一个数大:
4、6、8、10……。
所以,“☆”代表的数为:
29+12+14+16=71;
从表格的左上角向右下角斜看,看到的数列是:
1、9、25……。
这个数列的前三项依次是1的平方、3的平方、5的平方……,按照这个规律排下去,81是9的平方应该是第5项,排在表格的第5行第5列。
解法二比解法一更有效。
《奥赛天天练》第1讲,拓展提高,习题2
在1,2两数之间,第一次写上3;
第二次在1,3之间和3,2之间分别写上4,5,得到:
14352
以后每一次都在已写上的两个相邻数之间,再写上这两个相邻数之和。
这样的过程共重复了8次,那么所有数的和是多少?
按照规定的要求重复8次相同的操作,写出8次重复操作后的所有数字。
起始数列:
1、2;
第1次后:
1、3、2;
第2次后:
1、4、3、5、2;
第3次后:
1、5、4、7、3、8、5、7、2;
第4次后:
1、6、5、9、4、11、7、10、3、11、8、13、5、12、7、9、2;
第5次后:
1、7、6、11、5、14、9、13、4、15、11、18、7、17、10、13、3、14、11、19、8、21、13、18、5、17、12、19、7、16、9、11、2;
……
再求出第8次后,所有数的和(略)。
重复次数少,题目简单,这种解法比较适合。
当重复次数增加到一定的程度,这种解法非常繁琐,很容易错,人力甚至无法计算。
从简单的情况开始,依次列出每次操作后所有数的和,再寻找规律,并按规律求解。
起始值:
1+2=3;
第1次后,数字总和:
3+3=6;
第2次后,数字总和:
6+4+5=15;
第3次后,数字总和:
15+5+7+8+7=42;
起始值和前面三次计算后得到的和依次是:
3、6、15、42……,这是个递增数列,从第二项(第1次操作后的总和)开始,后面的数依次比前一个数多:
3、32、33……,按照这个规律,8次重复操作后的所有数之和为:
3+3+32+33+34+35+36+37+38=3+3+9+27+81+243+729+2187+6561=9843。
上面这道算式也可以用数列求和公式求解,不过四年级孩子只能通过先乘后加进行计算了。
本题答案就是斐波那契数列的一部分。
四年级奥数解析(三)算式谜(上)
《奥赛天天练》第2讲《破译算式谜》、第3讲《文字算式谜》,分别学习乘、除法竖式算式谜和文字算式谜。
算式谜又被称为“虫食算”,意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认,需要运用四则运算各部分之间的关系,通过推理判定被吃掉的数字,把算式还原。
“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜,其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母表示。
文字算式谜是前两种算式谜的延伸,用文字或字母来代替未知的数字,在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字,相同的数字或字母表示同一个数字。
文字算式谜也是最难的一种算式谜。
简单算式谜的解法,在三年级奥数课堂已有说明,请查阅:
user3/4092/archives/2008/53612.shtml
本册奥数教材介绍的算式谜,是三年级奥数的继续和延伸。
解答算式谜最关键的一步是找准“突破口”,即:
认真分析算式中所包含的数量关系,尽可能找出所有的隐藏条件,选择有典型特征的部分作出局部判断。
再由局部的突破,利用算式中的数量关系,通过推理逐步还原整个算式。
其次,通过题中的已知数字和数量关系,有时只能判断出算式谜中部分数字的取值范围,这时可采用列举、尝试和筛选相结合的方法,逐步排除不合题意的数字,找到正确的答案。
最后,算式谜解出后,一定要验算一遍。
算式谜的解题步骤比较复杂,解题思路表达出来也很繁琐,但解题过程中有许多步骤可以适当地运用口算、心算和估算来解决,只要掌握了解题策略,大多数的算式谜都可以引刃而解。
《奥赛天天练》第2讲,模仿训练,练习2
在下面算式的□内填入适当的数字,使算式成立。
为了便于叙述,我们将方格里的数字用字母代替(不同字母表示不同位置的数字,有可能是相同的数字),如下面算式:
因为两位数AB和3的积是七十多,所以AB可能是24、25或26。
又因为AB与C的积是一百多,且个位上数字是0,所以:
(1)当AB是24或26时,C只能等于5。
用24和5代替AB和C,通过计算可得使原式成立的一组答案:
A=2;
B=4;
C=5;
D=4;
E=2;
F=2;
G=2。
用26和5代替AB和C,通过计算可知这组数字不合题意。
(2)当AB是25时,C可能是4或6。
用25和4代替AB和C,通过计算可得使原式成立的第二组答案:
B=5;
C=4;
D=5;
E=5;
F=0;
G=0。
用25和6代替AB和C,通过计算可知这组数字不合题意。
所以,这道算式谜共有两组解,分别是:
840÷
24=35;
850÷
25=34。
《奥赛天天练》第2讲,拓展提高,习题1
在下面的□中填入合适的数字。
为了便于叙述,我们将方格里的数字用字母代替,如下面算式:
第
(1)题推理过程:
①因为A1B和3的积是四位数H2J5,个位上数字为5,所以B肯定是5;
②因为A1B和3的积是四位数H2J5,A1B和2的积是三位数D3E,所以A肯定是4;
③由①、②可知算式中第一个乘数是415,415乘以C的积是四位数3F2G,即三千多,所以C肯定是8。
把A=4、B=5、C=8带入原式,可以求出其余方框里的数字,这个算式谜的答案为:
415×
382=158530。
第
(2)题推理过程:
①由倒数第二步,四位数PSTR减去三位数JM4,余数为两位数4Y,可知P是1,S等于0,J等于9。
②由最后一步4YZ减去NWX余数为0,可得N是4,即E乘以A4B积是四百多,只能有两种可能:
A等于1,E等于3,或A等于2,E等于2;
③把A等于1,E等于3,P是1,S等于0,J等于9,N等于4带入算式,尝试计算。
D乘以三位数A4B积为三位数JM4,综合①、②步得到的信息,即D乘以一百四十多,积为九百多且个位数字为4,所以D只能是7,B只能是2。
因为三位数A4B乘以C积是三位数LK4,即142乘以C积是三位数LK4,C只能等于2。
把除数142和商273带入原式求出题中其余方框里的数字,可得这一题的一个解:
38766÷
142=273。
④把A等于2,E等于2,P是1,S等于0,J等于9,N等于4带入算式,尝试计算。
因为D乘以三位数A4B,积是三位数JM4,即D乘以三位数24B,积是九百多且个位数字为4,所以D肯定是4,B等于1或6。
当B等于1时,C乘以241等于三位数LK4,C只能等于4,算得三位数LK4就是964,三位数FGH减去九百多,不可能余一百多,不合题意。
同理可证,B等于6也不合题意。
所以这题只有一组解:
某人洗衣服时,不小心把两个人卖同一种货的单据以及两人分钱的账单洗烂了。
经细心拼凑,只能回复成下面的样子,记帐时他还记得第一个人卖的这种货比第二个人多。
请根据这些条件回复此帐的本来面目。
这一题中四个算式是相互关联的,要综合考虑。
①
(1)式中两个一位数相加,货物总重量肯定是十几,十位上数字是1;
(2)式中每千克的价钱等于总价除以货物的总重量,所以货物总重量就是式中的除数,个位数字为7;
所以两人所卖货物总重量为17千克。
②
(1)式中和为17,两个加数只能是8和9,因此第一个人卖出货物重量为9千克,第二个人卖出货物重量为8千克。
③(3)式中,第一个人的钱等于卖出货物的重量乘以每千克货物的价钱,因为货物重量是9千克乘以单价两位数,总价还是两位数,所以货物的单价只能是每千克10元或11元;
结合
(2)式中的商即货物单价的个位数字不可能为0,所以货物的单价只能是11元。
④把两人卖出货物的重量、单价带入四个算式,可以求出其余方框中的数字,恢复此帐本来面目:
第一个人卖出货物9千克;
第二个人卖出货物8千克;
货物总重量为17千克;
货物单价为11元;
总价为187元;
第一个人得99元;
第二个人得88元。
注:
在解析中一些用文字或字母表示的多位数,在word上不好操作,书写不够规范,只能用文字说明,例如:
三位数JM4。
后面关于多位数的表示与此相同。
四年级奥数解析(四)算式谜(下)
《奥赛天天练》第3讲,巩固训练,习题1
下面算式中同一个汉字代表相同的数,不同的汉字代表不同的数。
问每个汉字各代表什么数?
(1)优优优优优优÷
学=学习再学习;
(2)认认×
真真=踏踏实实。
第
(1)题,由原式可得:
学习再学习
×
学
————————
优优优优优优
从低位算起,“学”和第一个“习”相乘积的个位上数字是“优”,“学”和第二个“习”相乘积的个位上数字还是“优”,即:
“学”和第二个“习”相乘的前一步计算没有进位。
所以,两位数“学习”和“学”的积就是三位数“优优优”,“再”是0。
可以从“学”入手,列举出“学”可能取的值:
3、4、5、6、7、8、9,一一试算,筛选出符合题意的数字,也可以“优”入手列举出可能值,再筛选出答案。
通过计算可得本题只有一组解:
37037×
3=111111。
第
(2)题,两位数“认认”和“真真”分别是11的“认”倍和“真”倍,四位数“踏踏实实”等于11乘以三位数“踏0实”,因此三位数“踏0实”肯定是11的倍数。
所以三位数“踏0实”与11的商是“认”和“真”的积,且“踏”与“实”的和为11(根据能被11整除的数的特征可知)。
列举出三位数“踏0实”可能的取值有:
209=11×
19;
308=11×
28;
407=11×
37……
其中只有308符合题意,它与11的商28可以写成两个一位数4和7的积,其它各数与11的商都不合题意。
所以,此题有唯一一组解:
44×
77=3388。
《奥赛天天练》第3讲,巩固训练,习题2
下式中不同的汉字代表不同的数字,“□”代表一个一位自然数。
你知道每个汉字各代表多少吗?
开放的中国盼奥运
□
———————————————
盼盼盼盼盼盼盼盼盼
①这一题中第一个乘数是8个数字各不相同的八位数,积是9个相同的数字“盼”9个相同数字组成的九位数,唯有除以9才能得到8个数字各不相同的八位数商(只有除以9才有8个不同的余数,余数不重复才能保证商的数字各不相同),因此“□”代表的数字是9。
②本题的积是111111111的“盼”倍,其中:
111111111÷
9=12345679,“盼”不可能是1,因为原式中第一个乘数里,“盼”不是排在最高位的,而是排在百位上。
“盼”依次取:
2、3、4、5、6、7、8,一一试算,可得“盼”等于7时符合题意,本题有唯一一组解:
86419753×
7=777777777。
《奥赛天天练》第3讲,拓展提高,习题1
下面算式中“数”、“学”、“俱”、“乐”、“部”这五个汉字各应代表什么数字?
1数学俱乐部
3
————————————
数学俱乐部1
①“部”和3的积的尾数为1,所以“部”代表数字7;
②把“部”是7带入算式计算,3乘7等于21,写1进2,3与“乐”的积加2所得结果的尾数为7(“部”是7),则3与“乐”的积的尾数为5,所以“乐”代表数字5;
③依此类推,可算出其它汉字代表的数字:
“数”代表数字4;
“学”代表数字2;
“俱”代表数字8。
《奥赛天天练》第3讲,拓展提高,习题2
下面的竖式中不同的字母代表0~9中不同的数字。
求出它们是竖式成立的值。
?
SEND
+MORE
———————
MONEY
①式中两个四位数相加和为五位数,所以和的最高位上数字M肯定表示数字1;
②从高位看起,M是1加上一位数S的和最大只能是10,如果前一位进一,则最大是11,所以O可能是0或1,M表示数字1,所以O只能代表数字0;
③把M、O表示的值带入算式,N不能等于0、1,O表示数字0,所以E和O的和就不可能进位,所以,只能是N比E大1,S表示数字9;
④N比E大1,且N与R的和的个位数字为E,R只能为9或8(前一位进1时,R可以是8),S已经表示数字9,所以R只能是8;
⑤排除题中已出现的数字,0~9中还剩下2、3、4、5、6、7六个数字,Y最小是2。
结合④的推理可知D和E的和最小满12,E比N小,所以E可取5或6,对应的N可能是6或7。
⑥试算。
当E等于6,N等于7时,不合题意。
当E等于5,N等于6时,可以推算出D等于7。
所以这一题有唯一一组解:
9567+1085=10652。
四年级奥数解析(五)等差数列(上)
《奥赛天天练》第4讲《等差数列》、第5讲《等差数列求和》,帮助孩子进一步认识等差数列,学会运用等差数列的几个公式解决简单的数学问题。
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
如果用an表示数列的第n项,用Sn表示数列前n项所有数的和,则有以下公式:
通项公式为:
an=a1+(n-1)d;
前n项求和公式:
Sn=n(a1+an)÷
2;
项数公式:
项数=(末项-首项)÷
公差+1;
所有项总和=(首项+末项)×
项数÷
2;
首项=总和×
2÷
项数-末项;
末项=总和×
项数-首项。
公差=(末项-首项)÷
(项数-1)
辅导时,可以以最简单的自然数列为例,介绍等差数列中一些名词的含义,并利用具体数据,通过不完全归纳法,帮助孩子理解通项公式、项数公式和求和公式的推导过程,一定要在理解的基础上学会运用,切忌死记硬背。
以数列“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”为例,帮助孩子理解求和公式的原理:
这是个等差数列,首项为1,末项为10,公差为1,共有10项。
数列和为:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。
如果我们把这个数列重复一遍插入原数列中,就可以得到一个新的20项的数列:
“1、10、2、9、3、8、4、7、5、6、6、5、7、4、8、3、9、2、10、1”,这个数列的总和为:
(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)+(6+5)+(7+4)+(8+3)+(9+2)+(10+1)=(1+10)×
10。
新数列的和是原数列的2倍,所以:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)×
10÷
2。
把这个数列换成其它等差数列可以得到相同的验证:
数列和=(首项+末项)×
《奥赛天天练》第4讲,巩固训练,习题2
一只小虫沿笔直的树干跳着往上行,每跳一次都比上一次升高4厘米。
它从离地面10厘米处开始跳,如果把这一处称为小虫第一次落脚点,那么它的第100个落脚点正好是树梢,这棵树高多少厘米?
小虫子第一次落脚点的高度为10厘米,后面每一次的落脚点都比前一个落脚点高4厘米,所有落脚点的高度形成一个首项为10、公差为4的等差数列,第100个落脚点的高度就是这棵树高度为:
10+(100-1)×
4=406(厘米)。
《奥赛天天练》第4讲,拓展提高,习题1
下面的算式是按一定规律排列的,那么,第100个算式的得数是多少?
4+2,5+8,6+14,7+20,……
这一列算式中,每个算式的第一个数都比后一个算式的第一个数少1,每个算式的第二个数都比后一个算式的第二个数少6,所以,后面算式的和总比前一个算式的和多:
1+6=7,所有算式的和组成了一个公差为7的等差数列。
首项即第一个算式的和为:
4+2=6,则第100个算式的得数是:
6+(100-1)×
7=699。
《奥赛天天练》第4讲,拓展提高,习题2
在124和245之间插入10个数以后,使它成为一个等差数列。
这10个数中,最小的是几?
最大的是几?
由题意可得这个等差数列首项为124,末项为245,项数为12。
所以这个数列的公差为:
(245-124)÷
(12-1)=11
则插入的10个数中,最小的是:
124+11=135;
插入的10个数中,最大的是:
245-11=234。
四年级奥数解析(六)等差数列(下)
《奥赛天天练》第5讲,模仿训练,练习2
一辆双层公共汽车有78个座位,空车出发,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依此类推,那么第几站以后车上坐满乘客?
每个站点上车乘客人数是个首项为1,公差为1的等差数列,坐满乘客即此前所有站点共上78位乘客,也就是这个数列的数列和。
列举法。
从1开始依次加2、3、4、5、……,求和,直到和为78,可得:
1+2+3+……+12=78。
所以到第12站以后车上坐满乘客。
利用求和公式推导。
由求和公式可得,(首项+末项)×
项数=78×
2=156,而由题意可知首项为1,末项等于项数,即首末两项和就等于项数加1。
再对156进行因数分解可得:
156=12×
13。
所以这个数列的项数为12,即第12站以后车上坐满乘客。
四年级孩子对因数分解还不太熟,可以考虑第一种解法。
《奥赛天天练》第5讲,巩固训练,习题2
(1)2000-3-6-9-…-51-54;
(2)(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)。
(1)3、6、9、…、51、54,是个公差为3的等差数列,项数为:
(54-3)÷
3+1=18。
根据减法的运算性质:
2000-3-6-9-…-51-54
=2000-(3+6+9+…+51+54)
=2000-(3+54)×
18÷
2
=2000-513
=1487
(2)解法一:
先分别求和,再求两个和的差。
(略)
对应相减。
(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(96-95)+(98-97)+(100-99)
=1+1+1+…+1+1+1(50个1相加)
=50
《奥赛天天练》第5讲,拓展提高,习题1
一本书的页码从1~62,共有62页。
小丽在把这本书所有页码数累加起来的时候,发现这本书有一张纸被撕掉了,她把其他页码加起来的和是1858。
问被撕掉的这张纸上的页码是多少?
书上任意一张纸都有两个相邻的页码,由题意得这本书少了两个相邻的页码,两个页码数应该是两个相邻的数字。
先求出1~62这62个页码数的和:
(1+62)×
62÷
2=1953,
则撕掉的两个页码数的和为:
1953-1858=95,
95=47+48,所以被撕掉的这张纸上的页码是47、48。
《奥赛天天练》第5讲,拓展提高,习题2
盒子里装着写有1,2,3,…,134,135的红色卡片各一张。
从盒中任意摸出若干张卡片,并算出这若干张卡片上的各数的和除以17的余数,再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回盒内。
经过若干次这样的操作后,盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片。
已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97,求那张黄色卡片上所写的数。
去掉剩下的两张红色卡片,摸出的所有红色卡片上数字之和为:
1+2+3+……+134+135-19-97=(1+135)×
135÷
2-19-97=9064。
每次“从盒中任意摸出若干张卡片,并算出这若干张卡片上的各数的和除以17的余数,再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回盒内。
”即放回的黄色卡片上的数比每次摸出的数少了17的整数倍,所以,无论摸出多少次,盒中剩下来的数除以17的余数不变。
而且黄色卡片上的数字是余数(比17小)。
9064÷
17=533……3,所以最后那张黄色卡片上数字为3
四年级奥数解析(七)平均数问题
《奥赛天天练》第6讲《平均数问题》。
平均数问题在三年级奥数课堂已经作了简单介绍,这个问题主要涉及到三个数量:
总数量、总份数、平均数,基本数量关系式为:
总数量÷
总份数=平均数;
平均数=总份数;
平均数×
总份数=总数量。
这三个数量中,知道其中任意两个数量,就可以求出第三个数量。
解题的关键是弄清题意,找准题中什么数量是总数量,其对应的总份数及平均数各是什么数量,再运用对应的数量关系求解。
本讲介绍稍微复杂一点的平均数问题,即灵活运用上面的基本数量关系,解决一些变式问题。
《奥赛天天练》第6讲,模仿训练,练习1
求下列20个数的平均数:
4
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