若为真命题,为假命题,则
6,【答案】5
【解析】由于则有由此检验可得方程的根的个数为5
7,【答案】=
【解析】圆关于x轴对称的圆的圆心坐标为(3,-4)则=
8,【答案】
【解析】记BC中点为O点,以O为原点,BC为X轴正向,OA为y轴正向,建立空间直角坐标系,则所以.从而可设,于是。
设所求角为θ,则,这里最后一个不等式是由于单调性以及,即
9,【答案】
【解析】将向量的起点平移至原点O,再以分别为x,y轴正向建立平面直角坐标系。
则向量对应的点坐标为。
于是表示的是点P到单位圆周上的距离d,则d的最大值为4,最小值为.因此所有取不到的值的集合为
10,【答案】
【解析】设,
方程可变形为,从而有
于是;
,可得
二,解答题
11,【证明】利用数学归纳法
(1)的解
当n=1时,x=2是的解。
当n=k时,设
由此可得
(2)当x>2时,
由此可得都不是的解(对于所有的n)
(3)当
由此可得
因此,对每个n,的实数解为
12,
【解】:
(1)联立
设P点的坐标为
于是有
因为PQ的中点为N,所以N。
因此ON的斜率为。
因为直线ON交直线,
即得
(2)
令
由于
因此。
综上所述,
13,
【解析】证:
(1)为周期数列
(2)对于任意的n,设由已知条件,有且仅有下述一个等式成立
有相同的分母(不进行约分)
(3)设
(4)若存在两个自然数,使得,则由
(2)中得到的递推公式以及可得从第k项开始是一个周期数列,周期为
(5)由(3)可知对于任意的n,的值只有(有限个),故总能找到,
从而有
综上所述,如果为有理数,则从某项后为周期数列
14,
【证明】:
不妨设则要证明结论正确,只要证明存在不全为零的数
记
情形
(1)当
若
若
情形
(2)
记
令
类似可以证明
15,【解】问题等价于圆周上放置n个数,使得相邻的乘积之和为最小,最小值记为
不妨设,则数字1必与它相邻。
否则设的数字改变为上的数字,则相邻数的乘积和的该变量为
于是可确定。
再说明数字2也必与数字n相邻,即
事实上,若,则交换此时的目标改变值为
因此目标取到最小值时,由此出发,依次可得。
在已安排好的两端数字,若剩下的数比两端数字都小,则在剩下的数中找两个最小的数字,按小对大,大对小放置;若剩下的数比两端数字大,则在剩下的数字中找两个最大的数,按大队小,小对大放置。
由此规律即得
下面用递推法计算。
考虑n+2个数字,我们在的数字排序中,将每个数字加1,再放置1,n+2这两个数字,在2,n+1的中间插入n+2,1.即可得到。
因此
其中
可以推出
2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛
一,填空题:
本大题共8小题,每小题8分,共64分
1.已知数列的值是_________.
2.圆锥曲线的离心率是________.
3.设是定义在R上的奇函数,是增函数,且对任意的,都有则函数在[-3,-2]上的最大值是_______.
4.设m,n均为正整数,则_______.
5.已知点P在圆C:
上运动,点Q在曲线上运动,且的最大值为,则a=___________.
6.已知是一个三角形的三个内角,如果取得最大值,则=_________.
7.从各位数字两两不等且和为10的所有四位数中任取两个数,则2017被取到的可能性为__________.
8.已知S是正整数集合的无穷子集,满足对任何,将S中的元素按照由小到大的顺序排列成的数列记为,且已知
二,解答题:
本大题共3小题,共56分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
9.(本小题满分16分)设直线不相交。
过直线1上的点P作椭圆C的切线PM,PN,切点分别为M,N,连结MN
(1)当点P在直线1上运动时,证明:
直线MN恒过点Q;
(2)当MN//1时,定点Q平分线段MN
10.(本小题满分20分)已知函数数列满足,
(1)讨论数列的单调性;
(2)求证:
11.(本小题满分20分)
(1)求使方程有正整数解的最大正整数n
(2)用构成的集合,当n为奇数时,我们称中的每一个元素为方程的一个奇解;当n为偶数时,我们称中的每一个元素方程的一个偶解.
证明:
方程中的所有奇解的个数与偶解的个数相等.
参考答案
一,填空题
1,【答案】
【解析】
2,【答案】
【解析】原式变形为,
所以动点到定点(-3,1)的距离与它到直线的距离之比为,故此动点轨迹为双曲线,离心率为
3,【答案】-4
【解析】因为上是增函数,所以上也是增函数,则.又
故函数上的最大值为-4
4,【答案】1或0
【解析】因为分别是多项式的根,因此当m>1,n>1时由根与系数的关系可得:
所以
而当
5,【答案】
【解析】连接QC并延长交圆于点D,则的最大值等于的最大值与圆的半径之和,由于
取得最大值,于是:
6,【答案】
【解析】若中至少有两个不等,不妨设,则
因此当且仅当
7,【答案】
【解析】方程的整数解有且仅有
因此符合条件的四位数恰有:
(个),故所求概率为
8,【答案】
【解析】由题意对任何可知:
都是数列中的项,所以
二.解答题
9.【证明】:
(1)设则椭圆过点M,N的切线方程分别为
因为两切线都过点P,则有
这表明M,N均在直线①上.由两点决定一条直线知,式①都是直线MN的方程,其中满足直线1的方程.
当点P在直线1上运动时,可理解为取遍一切实数,相应的为
代入①消去②
对一切恒成立,变形可得
由此解得直线MN恒过定点Q,
(2)当MN//1时,由式②知解得
代入②,得此时MN的方程为③
将此方程与椭圆方程联立,消去y得
由此可得,此时MN截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标,即
代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标,即
这就是说,点的平分线段MN
10.【解】
(1)
所以。
解得
所以当时,数列
所以当时,数列单调下降
证明:
(2)因为单调上升,计算得
由
(1)知
所以:
(i),当
。
故
(ii),
所以
(iii),最后,当
所以
11.【解析】
解:
(1)因为
所以为方程的一组正整数解,故所求最大值为n=63
证明:
(2)与之对应,其中
则
那么
成立的最小下标,即:
因为,所以满足条件的正整数s存在且
,
此不可能,所以是唯一确定的元素且
若
因此,于是我们有:
,
此不可能.所以是唯一确定的元素且
由此我们证明了到自身的映射且
,如果我们能够证明f是满射,则f也单射,因而是双射,从而:
即:
方程中所有奇解的个数与偶解的个数相等
事实上,,则存在
如果
.
故f是满射,结论成立
2017年春季高二数学竞赛
参考答案与试题解析
1.(2017•济宁一模)从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台,在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台,则不同取法共有( )
A.140种 B.80种 C.70种 D.35种
【分析】任意取出三台,其中至少要有甲型和乙型电视机各1台,有两种方法,一是甲型电视机2台和乙型电视机1台;二是甲型电视机1台和乙型电视机2台,分别求出取电视机的方法,即可求出所有的方法数.
【解答】解:
甲型电视机2台和乙型电视机1台,取法有C42C51=30种;
甲型电视机1台和乙型电视机2台,取法有C41C52=40种;
共有30+40=70种.
故选:
C.
【点评】本题考查组合及组合数公式,考查分类讨论思想,是基础题.
2.(2017•兰州二模)中、美、俄等21国领导人合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,中国领导人站在第一排正中间位置,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧,如果对其他领导人所站的位置不做要求,那么不同的站法共有( )
A.A1818种 B.A2020种
C.A32A183A1010种 D.A22A1818种
【分析】先安排中、美、俄三国的领导人的位置共有种排法,而其余的18国的领导人的排法共有种,再利用乘法原理即可得出.
【解答】解:
先安排中、美、俄三国的领导人的位置共有种排法,而其余的18国的领导人的排法共有种,
由乘法原理可得:
同的站法共有•种.
故选:
D.
【点评】本题考查了乘法原理、排列与组合,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
3.(2017•蚌埠一模)我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”,例如123就是一个“吉祥数”,则这样的“吉祥数”一共有( )
A.28个 B.21个 C.35个 D.56个
【分析】根据1+1+4=6,1+2+3=6,2+2+2=6,0+1+5=6,0+2+4=6,0+3+3=6,0+0+6=6,所以可以分为7类,分别求出每一类的三位数,再根据分类计数原理得到答案.
【解答】解:
因为1+1+4=6,1+2+3=6,2+2+2=6,0+1+5=6,0+2+4=6,0+3+3=6,0+0+6=6,
所以可以分为7类,
当三个位数字为1,1,4时,三位数有3个,
当三个位数字为1,2,3时,三位数有A33=6个,
当三个位数字为2,2,2时,三位数有1个,
当三个位数字为0,1,5时,三位数有A21A22=4个,
当三个位数字为0,2,4时,三位数有A21A22=4个,
当三个位数字为0,3,3时,三位数有2个,
当三个位数字为0,0,6时,三位数有1个,
根据分类计数原理得三位数共有3+6+1+4+4+2+1=21.
故选B.
【点评】本题主要考查了分类计数原理,关键是找到三个数字之和为6的数分别是什么,属于中档题.
4.(2017•日照一模)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是( )
A.210 B.84 C.343 D.336
【分析】由题意知本题需要分组解决,共有两种情况,对于7个台阶上每一个只站一人,若有一个台阶有2人另一个是1人,根据分类计数原理得到结果.
【解答】解:
由题意知本题需要分组解决,因为对于7个台阶上每一个只站一人有种;
若有一个台阶有2人另一个是1人共有种,
所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是种.
故选:
D.
【点评】分类要做到不重不漏,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.分步要做到步骤完整,完成了所有步骤,恰好完成任务.
5.(2017•合肥一模)已知(ax+b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与﹣18,则(ax+b)6展开式所有项系数之和为( )
A.﹣1 B.1 C.32 D.64
【分析】由题意先求得a、b的值,再令x=1求出展开式中所有项的系数和.
【解答】解:
(ax+b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与﹣18,
∴•a4•b2=135①,
•a5•b=﹣18②;
由①、②组成方程组,
解得a=1,b=﹣3或a=﹣1、b=3;
∴令x=1,求得(ax+b)6展开式中所有项系数之和为26=64.
故选:
D.
【点评】本题考查了二项式定理的应用问题,求出系数a、b是解题的关键,属基础题.
6.(2017•赣州一模)若(x﹣2y)2n+1的展开式中前n+1项的二项式系数之和为64,则该展开式中x4y3的系数是( )
A.﹣ B.70 C. D.﹣70
【分析】根据(x﹣2y)2n+1展开式中前n+1项的二项式系数之和等于后n+1项的和,
求出n的值,再利用展开式的通项公式求出x4y3的系数.
【解答】解:
(x﹣2y)2n+1展开式中共有2n+2项,
其前n+1项的二项式系数之和等于后n+1项和,
∴22n+1=64×2,解得n=3;
∴(x﹣2y)7展开式中通项公式为
Tr+1=••(﹣2y)r,
令r=3,得展开式中x4y3的系数是
••(﹣2)3=﹣.
故选:
A.
【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与二项式系数的应用问题,是基础题.
7.(2017•平顶山一模)甲袋中装有3个白球和5个黑球,乙袋中装有4个白球和6个黑球,现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中,充分混合后,再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中,则甲袋中白球没有减少的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】白球没有减少的情况有:
①抓出黑球,抓入任意球,概率是:
.抓出白球,抓入白球,概率是,再把这2个概率相加,即得所求.
【解答】解:
白球没有减少的情况有:
①抓出黑球,抓入任意球,概率是:
.
抓出白球,抓入白球,概率是=,
故所求事件的概率为=,
故选C.
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,属于基础题.
8.(2017•四川模拟)有5位同学排成前后两排拍照,若前排站2人,则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】求出基本事件总数和甲乙相邻照相包含的基本事件个数,由此能求出甲乙相邻照相的概率即可.
【解答】解:
由题意得:
p===,
故选:
B.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
9.(2017•广州一模)四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】列举出所有情况,求出满足条件的概率即可.
【解答】解:
由题意得:
正面不能相邻,
即正反正反,反正反正,3反一正,全反,
其中3反一正中有反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,故共7中情况,
故P==,
故选:
B.
【点评】本题考查了列举法求事件的概率问题,是一道基础题.
10.(2017•安庆二模)我们知道:
“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述,它也可以用数学来定义:
甲、乙两人都在{1,2,3,4,5,6}中说一个数,甲说的数记为a,乙说的数记为b,若|a﹣b|≤1,则称甲、乙两人“心有灵犀”,由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从6个数字中各自想一个数字,可以重复,可以列举出共有36种结果,满足条件的事件可以通过列举得到结果,根据等可能事件的概率公式得到结果.
【解答】解:
(I)由题意知,本题是一个等可能事件的概率
列举出所有基本事件为:
(1,1),(2,2),(2,3),(4,4),(5,5),(6,6)
(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1)
(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),
(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3),
(1,5),(5,1),(2,6),(6,2),
(1,6),(6,1),共计36个.
记“两人想的数字相同或相差1”为事件B,
事件B包含的基本事件为:
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)
(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),
(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),共计16个.
∴P==,
∴“甲乙心有灵犀”的概率为.
故选D.
【点评】本题考查古典概型及其概率公式.考查利用分类计数原理表示事件数,考查理解能力和运算能力,注意列举出的事件数做到不重不漏.
11.(2017•沈阳一模)复数,且A+B=0,则m的值是( )
A. B. C.﹣ D.2
【分析】复数方程两边同乘1+2i,利用复数相等求出A、B,利用A+B=0,求出m的值.
【解答】解:
因为,所以2﹣mi=(A+Bi)(1+2i),
可得A﹣2B=2,2A+B=﹣m解得5(A+B)=﹣3m﹣2=0
所以m=
故选C.
【点评】本题考查复数相等的充要条件,考查计算能力,是基础题.
12.(2017•山西二模)若z=+i,且(x﹣z)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a2等于( )
A.﹣+i B.﹣3+3i C.6+3i D.﹣3﹣3i
【分析】根据二项式定理写出展开式的通项,要求的量是二项式的第三项的系数,根据x的次数求出r,代入式子求出结果,题目包含复数的运算,是一个综合题.
【解答】解:
∵Tr+1=Cx4﹣r(﹣z)r,
由4﹣r=2得r=2,
∴a2=6×(﹣﹣i)2
=﹣3+3i.
故选B
【点评】本题考查二项式定理和复数的加减乘除运算是比较简单的问题,在高考时有时会出现,若出现则是要我们一定要得分的题目.
13.(2017•江西模拟)若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则( )
A.a﹣5b=0 B.3a﹣5b=0 C.a+5b=0 D.3a+5b=0
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,结合已知得答案.
【解答】解:
∵z=+bi=.
由题意,,则3a+5b=0.
故选:
D.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
14.(2017•甘肃一模)下面是关于复数z=的四个命题:
p1:
|z|=2,p2:
z2=2i,p3:
z的共轭复数为﹣1+i,p4:
z的虚部为1,其中真命题为( )
A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4
【分析】利用复数的运算法则可得:
复数z=1+i,再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假.
【解答】解:
复数z===1+i的四个命题:
p1:
|z|=≠2,因此是假命题;
p2:
z2=(1+i)2=2i,是真命题;
p3:
z的共轭复数为1﹣i,是假命题;
p4:
z的虚部为1,是真命题.
其中真命题为p2,p4.
故选:
C.
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
15.(2017•河南模拟)欧拉(LeonhardEuler,国籍瑞士)是科学史上最多产的一位杰出的数学家,他发明的公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式在复变函数理论中占用非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据此公式可知,e﹣4i表示的复数在复平面中位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】e﹣4i=cos(﹣4)+isin(﹣4),再利用诱导公式与三角函数求值即可得出.
【解答】解:
e﹣4i=cos(﹣4)+isin(﹣4),∵cos(﹣4)=cos[π+(4﹣π)]=﹣cos(4﹣π)<0,sin(﹣4)=﹣sin[π+(4﹣π)]=sin(4﹣π)>0,
∴e﹣4i表示的复数在复平面中位于第二象限.
故选:
B.
【点评】本题考查了欧拉公式、诱导公式与三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
16.(2012•陕西模拟)已知集合A={x|x2+y2=4},B={x||x+|<2,i为虚数单位,x∈R},则集合A与B的关系是( )
A.A⊂B B.B⊂A C.A∩B=∅ D.A∪B=A
【分析】集合A={x|x2+y2=4}={x|﹣2≤x≤2},B={x||x+|<2,i为虚数单位,x∈R}={x|﹣},由此能够求出结果.
【解答】解:
∵集合A={x|x2+y2=4}
={x|x2=4﹣y2≤4}
={x|﹣2≤x≤2},
B={x||x+|<2,i为虚数单位,x∈R}
={x||x+i|<2}
={x|<2}
={x|﹣},
∴B⊂A,
故选B.
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
17.(2010•福建)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”,则当时,b+c+d等于( )
A.1 B.﹣1 C.0 D.i
【分析】直接求解比较麻烦,它是选择题可以取特殊值验证.
【解答】解:
由题意,可取a=1,b=﹣1,c2=﹣1,c=i,d=﹣i,或c=﹣i,d=i,所以b+c+d=﹣1+i+﹣i=﹣1,
故选B.
【点评】本题属创新题,考查