上海市2012届高三一模数学卷填、选较难题详解(精品).doc
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上海市2012届高三一模数学卷填、选较难题详解(精品).doc
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上海市2012届一模卷填、选较难题详解
CM(崇明)
13.观察右图
从上而下,其中2012第一次出现在第672行,第1341列.
解:
第k行共有2k-1个连续正整数,第1个数为k,第2k-1个为k+2k-2=3k-2,
2011=3*671-2,∴2011第一次出现在第671行,第2011-670=1341列,
∴2012第一次出现在第672行,第2012-671=1341列.
14.定义:
对于定义域为D的函数f(x),如果存在tÎD,使得f(t+1)=f(t)+f
(1)成立,称
函数f(x)在D上是“T”函数.已知下列函数:
①f(x)=;②f(x)=;③f(x)=(x>0);
④f(x)=cosx(xÎ[0,1]),其中属于“T”函数的序号是③④.(写出所有满足要求的函数的序号)
解:
①f(x)=,Þt=t+1+t2+tÞt2+t+1=0,△<0,无实数解,∴①不是;
②=+ÞÞ,
△<0,无实数解,∴②不是;
③ÞÞÞt=1>0,∴③是;
④cos[(t+1)]=cost+cos=cost-1Þcos(t+)=cost-1Þ-cost=cost-1Þcost=
∵tÎ[0,),∴t=Þt=,∴④是.
CY(长宁)
13.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意xÎZ,都有f(x)=f(x-1)+f(x+1),若f(-1)=2,f
(1)=3,则f(2012)+f(-2012)=-5.
解:
f(x+1)=f(x)-f(x-1)=[f(x-1)-f(x-2)]-f(x-1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x),
f(x+6)=-f(x+3)=f(x),∴T=6,f(2012)+f(-2012)=f(6*335+2)+f(-2012+6*336)
=f
(2)+f(4)=f(3)=f
(2)-f
(1)=-f(0)=-5.
14.把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列,若,则1028.[第n行有n个数,最后上个是n2,452=2025,2011在第45行的倒数第8个,n=1+2+…+45-7=1028]
FX(奉贤)
12.有这么一个数学问题:
“已知奇函数的定义域是一切实数,且,求的值”。
请问的值能否求出,若行,请求出的值;若不行请说明理由(只需说理由)..
解:
不行,因为奇函数不一定是x与y对应的,如y=2sinx,使y=2的x值有无穷多个.
13.对于数列,如果存在最小的一个常数,使得对任意的正整数恒有成立,则称数列是周期为的周期数列。
设,数列前项的和分别记为,则三者的关系式.
解:
显然余数r +…++,∵(kÎN*), ∴==…= =,而=, ∴. 13.(文)已知数列{an}的通项公式为an=|n-13|,那么满足ak+ak+1+…+ak+19=102的正整数 k=. 解: 若k≥13,则ak+ak+1+…+ak+19≥0+1+…+19=190>102,不满足题意,因此k<13 从ak到a13共13-(k-1)=14-k项,从a14到ak+19共k+19-13=k+6项, ∴ak+ak+1+…+ak+19=[(13-k)+(12-k)+(11-k)+…+1+0]+[1+2+…+(k+6)] ==102Þ(13-k)(14-k)+(k+6)(k+7)=204 Þk2-27k+182+k2+13k+42=204Þ2k2-14k+20=0Þk2-7k+10=0Þk=2或k=5. 14.设函数, x O y 1 1f1(x) f1(x) 图1: n=1时 则方程有2n+1个实数根. 解: 令,问题化为观察与图像的交点 有几个.由于是偶函数,故是偶函数,只要考虑 x≥0时的交点个数. n=1时,的图像是把的图像下移, 再把x轴下的图像往上翻而得,,有1个零点, x O y 1 1f1(x) f2(x) 图2: n=2时 以零点为界,呈“减增”状态,最后趋于, 如图1,有2个交点; n=2时,的图像是把的图像下移, 再把x轴下的图像往上翻而得,,有2个零点, 以2个零点为界,呈“减增减增”状态,最后趋于, 如图2,有22个交点;… n=n≥2时,,且有2n-1个零点 以2n-1个零点为界,呈“减增减增…减增”状态,最后趋于,故的每1个 零点都对应产生2个两函数图像的交点,∴有2*2n-1=2n个交点,再由对称性知x<0时,也有2n个交点,故共有2n+1个交点,从而原方程有2n+1个实根. x O 2p y 18.两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点(2p,0),这样的正三角形有(C) A.0个B.2个C.4个D.1个 解: 两个顶点对称于x轴的2个正三角形是明显的, 现考虑两个顶点不对称于x轴的正三角形是否存在. 设P(2p,0),过P作直线l,l是正三角形过顶点P的 高所在的直线,则l的斜率k存在且不为零, x O P y l l A B H 故l的方程为y=k(x-2p),设与l垂直的直线为l: y=-x+b, 第一步: 让l与y2=2px有交点A、B,且A、B关于l对称: 联立: ,由 (1),x=kb-ky(3),代入 (2)中, 得y2=2p(kb-ky)Þy2+2pky-2pkb=0,△=4p2k2+8pkb>0 Þk(pk+2b)>0(4). 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点H(x0,y0), 则y0==-pk,x0=kb-ky0=kb+k2p,又H也在l上,代入l方程,得 ∴-pk=k(kb+k2p-2p)Þ-p=kb+k2p-2pÞk2p+kb-p=0(5),即x0=p,∴H(p,-pk). 第二步,让PAB为正三角形: |PH|=, |AB|=|y1-y2|===,要使△PAB为正三角形,则|PH|=|AB|Þ=Þp= Þp2=3(p2+)ÞÞ3b+pk=0Þb=-,代入(4)Þk(pk-)=>0成立, 代入(5)Þk2p+k×(-)-p=0Þ2k2p=3pÞk=,故这样的正三角形又有2个.∴共有4个. x y 1 -1 y=g(x) y=f(x) -2+a 2+a -4 8 HK(虹口) 13.已知函数,,对于任意的都 能找到,使得,则实数的取值范围是[-2,6]. 解: 当xÎ[-1,1]时,设f(x)的值域为F,g(x)的值域为G,则F=[-2+a,2+a], 而,在[-1,1]上递减,∴G=[-4,8], 题意即是: 对于F中的每一个yf,总的G中的yg与yf相等,如图, 故有Þ-2≤a≤6. 14.已知,,成等差数列,则①;②;③中,正确的是③.(填入序号) 解: =+Þ2(ac)2=(bc)2+(ab)2=|bc|2+|ab|2≥2|bc|×|ab|=2|ac|b2Þ|ac|≥b2,∴①、②错, 而,③对. 17.定义在上的函数,当时,,且对任意的满足 (常数),则函数在区间上的最小值是() 解: ÞÞ, xÎ(5,7]Þx-6Î(-1,1],, 当x-6=,时有最小值为. 18.已知集合,, 若,则实数的取值范围是(B) 1 3 m n x y=g(x) y=f(x) 解: A=(1,3),B中,令f(x)=21-x+a,g(x)=x2-2(a+7)x+5,BÊA=(1,3), 可令B=[m,n],则m≤1且n≥3,如图可知: ÞÞÞ-4≤a≤-1,选B. HP(黄浦) 13.一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个),经过充分混合后,现从中任意摸出3个球,则至少得到1个白球的概率是11/14(用数值作答). 解: p=1-= x y O 1 -1 14.(理科)已知函数,m是非零常数,关于x的方程f(x)=m(mÎR)有且仅有三个不同的实数根,若、分别是三个根中的最小根和最大根,则×sin(+)=. 解: 画出f(x)的图像如左, 方程f(x)=m有且仅有三个不同的实数根,则m=1, 最大根=,最小根是方程x2+x=1的小根, 解得=,∴×sin(+)=×sin(+) =. JA(静安) x y O 3 y=g(x) y=h(x) 13.记,已知函数是偶函数(为实常数),则函数的零点为1,3.(写出所有零点) 解: 令h(x)=x2+2tx+t2-1,g(x)=x2-4x+3,先画出函数 g(x)=(x-2)2-1的图像,∵h(x)、g(x)的图像都可以 由y=x2的图像平移面得,∴h(x)与g(x)的图像相同, 故要使f(x)为偶函数,则h(x)与g(x)的图像应关于 y轴对称,从而h(x)与g(x)的零点也关于y轴对称, 易知g(x)=x2-4x+3的零点为1、3,∴h(x)的零点为-1、-3. 14.已知函数的图像关于垂直于轴的直线对称,则的取值集合是. x 1 a -1 解:
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