上海高中数学知识点梳理与巩固复习).doc
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高中知识梳理
一集合与不等式
一、集合
1、集合的相关概念:
2、集合的属性:
1)确定性;2)互异性;3)无序性。
3、有限集、无限集、空集(不含任何元素的集合,记作。
空集是有限集。
)
4、集合之间的关系:
子集、真子集、集合的相等
【小秘书】
(1)任何一个集合是它本身的子集;
(2)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;
(3)子集个数的计算:
由个元素组成的集合,其子集的个数为个,真子集个数为个。
5、集合的运算:
交集、并集、补集
【小秘书】
(1)如果,则,;
(2),。
6、四种命题的形式:
原命题、逆命题、否命题和逆否命题。
7、等价命题:
如果是两个命题,,,那么叫做等价命题。
原命题与它的逆否命题是等价命题,要么同真,要么同假。
8、
(1)如果,那么叫做的充分条件,叫做的必要条件;
(2)如果,同时,那么是的充要条件。
二、不等式的基本性质
1、,(传递性)
2、(加法性质)
3、,
,(乘法性质)
4、,
5、,
6、
7、()
8、(,)
三、不等式的解法
1)一元二次不等式的解法
2)一元高次不等式的解法:
一般用数轴标根法求解
3)分式不等式的解法
思想:
等价转化为同解的整式不等式(组)。
方法:
数轴标根法。
4)含有绝对值的不等式的解法
思想:
去绝对值。
方法:
(1)根据绝对值的意义进行分类讨论;
(2)当不等式两边非负时,同时平方,去掉绝对值。
四、基本不等式
1、对任意实数,(当且仅当时,等号成立)
2、对任意正数,(当且仅当时,等号成立)
3、用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。
利用基本不等式求最值要注意三点:
一正,二定,三相等。
二函数及其基本性质
一、函数三要素
函数解析式、定义域、值域
1、函数解析式的求法
待定系数法;换元法;方程组法等
2、函数值域的求法
换元法;配方法;判别式法;分离常数法;数形结合;基本不等式;利用函数有界性;利用函数单调性
二、函数的基本性质
1、函数的周期性
常见形式:
函数满足对定义域内任一实数(其中为非零常数),
1、,则是以为周期的周期函数;
2、,则是以为周期的周期函数;
3、,则是以为周期的周期函数;
4、,则是以为周期的周期函数。
2、数的奇偶性
1)定义:
设,,如果对于任意,都有,则称函数为奇函数;
如果对于任意,都有,则称函数为偶函数。
2)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
3)是偶函数的图象关于轴对称;
是奇函数的图象关于原点对称。
4)若奇函数的定义域包含,则。
5)判断函数奇偶性的方法:
①定义法:
首先判断其定义域是否关于原点对称;
若不对称,则为非奇非偶函数;
若对称,则再判断或是否成立。
②性质法:
奇奇奇,偶偶偶,奇奇偶,偶偶偶,奇偶奇。
3、函数单调性
1)定义:
对于函数的定义域D内某个区间上自变量的任意两个值
(1)若当<时,都有<,则说在这个区间上是增函数;
(2)若当<时,都有>,则说在这个区间上是减函数。
2)判断(证明)函数单调性的一般步骤是:
⑴取:
设,是给定区间内的任意两个值,且<;
⑵比:
作差-,并将此差式变形(要注意变形的程度);
⑶判断:
-的正负(要注意说理的充分性);
⑷定:
根据-的符号,结合单调性的定义确定函数的增减性。
三、基本初等函数
1、幂函数的图象与性质:
幂函数
分三种情况:
2、指数函数的图象与性质
图象
性
质
定义域
R
值域
定点
单调性
单调递增
单调递减
时,;
时,;
时,.
时,;
时,;
时,.
对称性
函数与的图象关于y轴对称
3、对数函数的图像与性质
图
像
性
质
定义域:
(0,+∞);值域:
R
过定点(1,0)
时,;
时,
时,;
时,
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
【小秘书】
(1)底数互为倒数的两个对数函数的图像关于轴对称;
(2)和时函数的性质是不一样的,所以解题时,如果没有明确告诉底数时,注意
要进行分类讨论。
4、对数
(1)对数与指数之间的关系:
若,则.(其中)
(2)对数恒等式
,,
换底公式:
(3)对数的运算法则:
5、函数图像变换
1)平移变换:
左加右减,上加下减
2)对称变换:
⑴与关于y轴对称;
⑵与关于x轴对称;
⑶与关于原点对称;
⑷与关于对称。
⑸的图象可将的图象在x轴上方的部分保留(如果有),在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方;
⑹的图象可将的图象在y轴左边的部分去掉,将y右边的图像沿y轴翻折到y轴左边,同时保留y轴右边部分图像。
3)伸缩变换:
⑴的图象,可将图象上所有的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变。
⑵的图象,可将图象上所有的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变。
6、反函数
1)反函数的性质:
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
(2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域一一对应;
(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,偶函数的反函数,这是一种极特殊的函数),奇函数不一定存在反函数,如果有,其反函数也为奇函数。
2)求反函数的一般步骤:
①确定原函数的值域,也就是反函数的定义域;
②由的解析式求出;
③将x、y对换,得反函数的习惯表达式,并注明其定义域。
【小秘书】①由的解析式求出时,如果出现两解的情况,则要根据x的取值范围进行取舍。
②分段函数的反函数的求法:
先分别求出每一段函数的反函数,再将它综合成一个函数。
四、三角比与三角函数
一)同角三角比的基本关系式
(1)平方关系:
,,
(2)倒数关系:
,,
(3)商数关系:
,
【小秘书】同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。
在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便确定符号.
二)诱导公式
口诀:
奇变偶不变,符号看象限。
三)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
四)三角比的化简、计算、证明
【基本思路】:
一角二名三结构。
【小秘书】基本的技巧有:
(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如,,,,等)。
(2)三角函数名互化(切割化弦)。
(3)公式变形使用(如:
。
(4)三角函数次数的降升(降幂公式与升幂公式)。
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。
(6)“1”的反带(等)
(7)正余弦“三兄妹—”的内在联系——“知一求二”。
五)辅助角公式:
六)1、三角函数的图象与性质:
2、的图象与性质:
七)解斜三角形:
正弦定理:
(其中为外接圆的半径)
余弦定理:
或
八)反三角函数:
1、定义:
的定义域是[-1,1],值域是,奇函数,增函数;
的定义域是[-1,1],值域是,非奇非偶,减函数;
的定义域是R,值域是,奇函数,增函数;
2、性质:
当;
3、最简三角方程的解集:
三数列与极限
一、等差数列
1、等差数列的定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
2、如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。
即:
或
3、等差数列的通项公式:
。
【小秘书】该公式整理后是关于n的一次函数
4、等差数列的前n项和:
或【对于此公式整理后是关于n的没有常数项的二次函数】
5、等差数列的性质:
①当时,是递增数列;当时,是递减数列;当时,是常数列。
②等差数列任意两项间的关系:
,d=,d=。
③对于等差数列,若,则。
④等差数列中每隔相同项数取出依次组成新数列还是等差数列;
⑤若数列是等差数列,是其前n项的和,,那么,,,…成等差数列。
如下图所示:
,…..
6、等差数列的判定方法:
①定义法:
对于数列,若(常数),则数列是等差数列;
②等差中项:
对于数列,若,则数列是等差数列;
7、任意类型的数列与的关系式:
。
【小秘书】一定要注意分类讨论。
二、等比数列
1、等比数列的概念:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公差通常用字母q表示。
2、等比中项:
如果,那么叫作的等比中项。
3、等比数列的判定方法:
①定义法:
对于数列,若,则数列是等比数列;
②等比中项:
对于数列,若,则数列是等比数列;
4、等比数列的通项公式:
5、等比数列的前n项和公式:
当时,;
当时,
【小秘书】
(1)当公比不确定时,必须分情况进行讨论;
(2)当时,前n项和必须具备形式。
6、等比数列的性质:
(1)若是等比数列,则;()
(2)若是等比数列,,当时,
特别地,当时,
(3)若是等比数列,则下标成等差数列的子数列构成等比数列;
(4)若数列是等比数列,是其前n项的和,,一般地,,,也成等比数列。
如下图所示:
【小秘书】
(1)对于上述结论,在“且为偶数”的情况下不成立;
(2)对于等比数列的前n项积的类似性质如何?
若数列是等比数列,是其前n项的和,,一般地,,,也成等比数列。
(5)两个等比数列与的积、商、倒数构成的数列、、仍为等比数列。
三、常见数列求和的方法
一)基本公式:
1.等差数列的前项和公式:
,
2.等比数列的前n项和公式:
当时,或。
当q=1时,。
二)常用数列的前n项和:
;
;
方法一倒序相加法
方法二拆项法(分组求和法)
方法三裂项相消法
方法四错位相减法
四、数学归纳法
1、数学归纳法的原理:
证明过程中一定要用归纳假设。
2、用数学归纳法解决探索性问题的思维方式:
观察归纳猜想推理论证。
(主要用于数列探索性问题中)
五、数列的极限
1、数列极限的定义:
2、几个常用的极限:
(1)C=C(C为常数);
(2)=0;(3)=0(<1);
(4)=(k∈N*,a、b、c、d∈R且c≠0);(5)
3、数列极限的运算法则:
如果,,那么
;; 。
特别地,如果是常数,那么,。
4、无穷等比数列的各项和:
。
四平面向量与解析几何
1、向量的模:
2、单位向量:
长度为1的向量。
3、平行向量(共线向量)
4、相等向量:
方向相同、长度相等的向量。
5、平面向量的坐标运算
①若,则;
②若,则;
③若=(x,y),则=(x,y);
④若,则。
6、平面向量的数量积:
1)向量的夹角:
2)数量积的定义:
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.
3);
4)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|,
特别地,a·a=|a|2,或|a|=;
5)a⊥ba·b=0;
6)cosθ=
7)乘法公式:
;;
8)平面向量数量积的运算律
交换律:
;
对实数的结合律:
;
分配律:
。
9)两个向量的数量积的坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:
(1)a·b=x1x2+y1y2;
(2)|a|=;
(3)cos〈a,b〉=;
(4)a⊥ba·b=0
1、直线方程的几种形式
直线方程
方向向量
法向量
斜率k
点方向式
点法向式
点斜式
一般式
【小秘书】直线、的方程为:
:
,:
,
则∥;
2、直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角:
直线向上的方向与x轴正方向的夹角。
范围
(2)斜率:
不是900的倾斜角的正切值叫做直线的斜率,即k=tanα。
(3)过两点()的直线的斜率公式。
【小秘书】求直线斜率的方法:
①定义法:
已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k=tanα;
②公式法:
已知直线过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),且x1≠x2,则斜率k=;
③方向向量法:
若=(m,n)为直线的方向向量,则直线的斜率k=。
3、点到直线的距离:
4、平行直线与的距离:
5、两条直线的夹角公式:
若直线的斜率为,的斜率为,则:
(1)直线与直线所成的角(简称夹角)满足:
(2)(直线法向量的数量积公式的变形)
6、圆的标准方程与一般方程
1)圆心为,半径为r的圆的标准方程为:
特别地,当时,圆心在原点的圆的方程为:
2)圆的一般方程:
,圆心为,半径为,(其中)
3)二元二次方程,表示圆的方程的充要条件是:
①项项的系数相同且不为0,即;
②没有xy项,即B=0;
③.
7、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种,若,
则
相离
相切
相交
图形
方程角度
∆<0
∆=0
∆>0
几何角度
D>r
d=r
d<r
【小秘书】直线和圆位置关系的判定方法
方法一:
(方程的观点)即把圆的方程和直线的方程联立成一元二次方程组,利用判别式来讨论位置关系.
①,直线和圆相交;
②,直线和圆相切;
③,直线和圆相离.
方法二:
(几何的观点)即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.
①,直线和圆相交;
②,直线和圆相切;
③,直线和圆相离.
8、椭圆的标准方程与几何性质
定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
标准方程
几何性质
焦点坐标
顶点
范围
对称性
的关系
9、双曲线的标准方程与几何性质
定义
标准方程
简图
几
何
性质
焦点坐标
顶点
范围
对称性
关系
渐近线
【小秘书】1、与共渐近线的双曲线方程-();
2、已知P为椭圆上的一点,是焦点,,则的面积是。
双曲线中,的面积:
(,为虚半轴长)。
10、抛物线的标准方程与性质
标准
方程
()
()
()
()
图形
范围
焦点
准线
对称轴
顶点
【小秘书】
1、抛物线的通径:
通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径。
通径的长为,通径是过焦点最短的弦。
2、若抛物线的焦点弦为AB,,则,。
3、遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
(1)在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率为;
(2)在求直线与二次曲线的相交弦的弦长时,应用韦达定理来求解:
五、矩阵与行列式
1、矩阵的加减法:
对应位置相加减。
2、数乘矩阵:
用数去乘矩阵的每一个元素。
3、矩阵的乘积
(1)矩阵的乘积:
一般,设A是阶矩阵,B是阶矩阵,设C为矩阵,
(2)运算律
分配律:
,
结合律:
,
【小秘书:
交换律不成立,即】
4、行列式
(1)二阶行列式:
=
(2)三阶行列式:
;
(3)余子式与代数余子式:
5、三元一次方程组的行列式解法
三元一次方程组,
行列式,
其中方程组的系数行列式为D,
则
(1)时,方程组有唯一解;
(2),时,方程组无解或者有无穷多解;
(3),中至少有一个不为0时,方程组无解。
六、复数及其运算
一、复数的相关概念与运算
1、;
;
。
2、复数相等:
3、共轭复数:
()
4、复数的模:
若;
()
5、复数的四则运算:
()
二、复数的平方根、立方根与实系数一元二次方程
1、复数的平方根
如果满足:
,则称是的一个平方根。
【小秘书】
(1)一个非零复数的平方根都有相应的两个复数;
(2)复数的平方根一般不要记为。
2、复数的立方根
若复数满足,则称是的立方根。
【小秘书】1的立方根有三个:
1,,(其中),满足。
3、实系数一元二次方程:
实系数的一元二次方程(、、,且)
(1)当时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当时,方程有两个相等的实数根;
(3)当时,方程在复数集范围内有一组共轭虚根
,∴,.
这时两根仍然满足韦达定理:
,
【小秘书】
(1)实系数一元二次方程有虚根必定成对出现,并且共轭。
(2)实系数一元二次方程在复数范围内总有两个解、,总可以进行因式分解:
。
七排列、组合、概率与二项式定理
一)两个计数原理
1、加法原理(分类计数原理)
2、乘法原理(分步计数原理)
【小秘书】加法原理与乘法原理的区别:
加法原理:
方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。
乘法原理:
各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件。
二)排列
1、排列:
从n个不同元素中任取m个元素,按照一定的次序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
2、排列数公式:
==n·(n-1)…(n-m+1);阶乘=n!
3、附有限制条件的排列
(1)对附有限制条件的排列,思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置.
(2)对下列附有限制条件的排列,要掌握基本的思考方法:
元素在某一位置或元素不在某一位置;
元素相邻——捆绑法,即把相邻元素看成一个元素;
元素不相邻——插空法;
比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.
(3)对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法;同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法.
【方法指导】解决排列组合问题常见的解题方法有:
直接法,间接法,捆绑法,插空法,隔板法,固定秩序法,元素优先法,位置优先法等。
(1)直接法:
根据加法原理及乘法原理,直接把一个复杂的事件分解成为简单的排列组合问题,这种解题方法为直接法。
(2)间接法:
不管限定条件,全部的排列数或组合数,必含两类情况,一类是符合题意限定条件的种数,另一类不符合题意限定条件的种类,用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题意限定条件的种类,此种方法属数学中常用的间接法。
当符合题意限定条件中的种类不易求,或情况多样易出错,而不符合题意条件的种类易求时,常采用此法。
(3)捆绑法:
关于某些元素必“相邻”的问题,可把这些元素看作一个整体,当成一个元素和其它元素进行排列,然后这些元素自身再进行排列,这种方法叫做捆绑法。
(4)插空法:
若题目限制某些元素必“不相邻”,可将无此限制的元素进行排列,然后在它们的空格处,插入不能相邻元素,这种方法叫插空法。
三)组合的概念与性质
(1)组合:
从n个不同元素中任取m个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,组合的个数叫组合数,用C表示。
【小秘书】排列与组合的区别:
(2)组合数公式:
Cnm==;
(3)组合数的性质:
①Cnm=Cnn-m;②C=C+C
二项式定理
1、二项式展开公式:
2、二项展开式的通项公式
二项展开式中的叫做二项展开式的通项,用来表示。
即通项为展开式的第项:
。
其中叫做二项式系数。
对于的展开式,其通项公式为:
。
由于其通项一般记为,所以r不是项数,才是项数;反过来,当已知项数时,将它减去1,才得到r。
3、二项展开式的通项公式的作用
二项展开式的通项公式,反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系,因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数、常数项、有理项及系数最大、绝对值最大的项。
【小秘书】注意二项式系数与项的系数的区别!
4、二项式系数的和
在二项式定理中,令,则
这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于。
同时由于,上式还可以写成:
随机事件的概率
1、随机事件:
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.
2、必然事件:
在一定条件下必然要发生的事件.
3、不可能事件:
在一定条件下不可能发生的事件.
5、等可能性事件的概率:
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。
如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。
如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=。
【小秘书】使用公式P(A)=计算时,确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不
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