上海高考理科数学试题解析完美WORD版.doc
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2014年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷(理工农医类)
考生注意:
1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.
3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.(2014)函数的最小正周期是.
【解析】:
原式=,
2.(2014)若复数,其中是虚数单位,则.
【解析】:
原式=
3.(2014)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.
【解析】:
椭圆右焦点为,即抛物线焦点,所以准线方程
4.(2014)设若,则的取值范围为.
【解析】:
根据题意,,∴
5.(2014)若实数满足,则的最小值为.
【解析】:
6.(2014)若圆锥的侧面积是底面积的倍,则其母线与底面夹角的大小为(结果用反三角函数值表示).
【解析】:
设圆锥母线长为,底面圆半径为,∵,∴,即,∴,即母线与底面夹角大小为
7.(2014)已知曲线的极坐标方程为,则与极轴的交点到极点的距离是.
【解析】:
曲线的直角坐标方程为,与轴的交点为,到原点距离为
8.(2014)设无穷等比数列的公比为,若,则.
【解析】:
,∵,∴
9.(2014)若,则满足的的取值范围是.
【解析】:
,结合幂函数图像,如下图,可得的取值范围是
10.(2014)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练,则选择的天恰好为连续天的概率是(结果用最简分数表示).
【解析】:
11.(2014)已知互异的复数满足,集合,则.
【解析】:
第一种情况:
,∵,∴,与已知条件矛盾,不符;
第二种情况:
,∴,∴,即;
12.(2014)设常数使方程在闭区间上恰有三个解,则.
【解析】:
化简得,根据下图,当且仅当时,恰有三个交点,
即
13.(2014)某游戏的得分为,随机变量表示小白玩该游戏的得分.若,则小白得分的概率至少为.
【解析】:
设得分的概率为,∴,
且,∴,与前式相减得:
,∵,∴,即
14.(2014)已知曲线,直线.若对于点,存在上的点和上的使得,则的取值范围为.
【解析】:
根据题意,是中点,即,∵,∴
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.(2014)设,则“”是“且”的 ()
(A)充分条件. (B)必要条件.
(C)充分必要条件. (D)既非充分又非必要条件.
【解析】:
B
16.(2014)如图,四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱,是一条侧棱,是上底面上其余的八个点,则的不同值的个数为()
(A). (B).
(C). (D).
【解析】:
根据向量数量积的几何意义,等于乘以在方向上的投影,而在方向上的投影是定值,也是定值,∴为定值,∴选A
17.(2014)已知与是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是 ()
(A)无论如何,总是无解. (B)无论如何,总有唯一解.
(C)存在,使之恰有两解. (D)存在,使之有无穷多解.
【解析】:
由已知条件,,
,∴有唯一解,选B
18.(2014)设若是的最小值,则的取值范围为()
(A). (B). (C). (D).
【解析】:
先分析的情况,是一个对称轴为的二次函数,当时,
,不符合题意,排除AB选项;当时,根据图像,即符合题意,排除C选项;∴选D;
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(2014)(本题满分12分)
底面边长为的正三棱锥,其表面展开图是三角形,如图.求的各边长及此三棱锥的体积.
【解析】:
根据题意可得共线,
∵,,
∴,∴,同理,
∴△是等边三角形,是正四面体,所以△边长为4;
∴
20.(2014)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
设常数,函数.
(1)若,求函数的反函数;
(2)根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.
【解析】:
(1)∵,∴,∴,∴,
∴,
(2)若为偶函数,则,∴,
整理得,∴,此时为偶函数
若为奇函数,则,∴,
整理得,∵,∴,此时为奇函数
当时,此时既非奇函数也非偶函数
21.(2014)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长米,长米.设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为和.
(1)设计中是铅垂方向.若要求,问的长至多为多少(结果精确到米)?
(2)施工完成后,与铅垂方向有偏差.现在实测得,,求的长(结果精确到米).
【解析】:
(1)设的长为米,则,∵,
∴,∴,∴,
解得,∴的长至多为米
(2)设,,
则,解得,
∴,∴的长为米
22.(2014)(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.
在平面直角坐标系中,对于直线和点,记.若,则称点被直线分割.若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分割,则称直线为曲线的一条分割线.
(1)求证:
点被直线分割;
(2)若直线是曲线的分割线,求实数的取值范围;
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为,设点的轨迹为曲线.求证:
通过原点的直线中,有且仅有一条直线是的分割线.
【解析】:
(1)将分别代入,得
∴点被直线分割
(2)联立,得,依题意,方程无解,
∴,∴或
(3)设,则,
∴曲线的方程为①
当斜率不存在时,直线,显然与方程①联立无解,
又为上两点,且代入,有,
∴是一条分割线;
当斜率存在时,设直线为,代入方程得:
,
令,则,
,,
当时,,∴,即在之间存在实根,
∴与曲线有公共点
当时,,即在之间存在实根,
∴与曲线有公共点
∴直线与曲线始终有公共点,∴不是分割线,
综上,所有通过原点的直线中,有且仅有一条直线是的分割线
23.(2014)(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分7分,第3小题满分8分.
已知数列满足,,.
(1)若,求的取值范围;
(2)设是公比为的等比数列,.若,,
求的取值范围;
(3)若成等差数列,且,求正整数的最大值,以及
取最大值时相应数列的公差.
【解析】:
(1)依题意,,∴,又,∴,
综上可得;
(2)由已知得,又,∴
当时,,,即,成立
当时,,,即,
∴,此不等式即,∵,
∴,
对于不等式,令,得,解得,
又当时,,
∴成立,
∴
当时,,,即,
即,
∵
∴时,不等式恒成立
综上,的取值范围为
(3)设公差为,显然,当时,是一组符合题意的解,
∴,则由已知得,
∴,当时,不等式即,
∴,,
∴时,,
解得,∴,
∴的最大值为,此时公差
整理人谭峰
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