同角三角函数基本关系与诱导公式.doc
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讲义编号
3.2
同角三角函数基本关系与诱导公式
考纲要求
1.理解同角三角函数的基本关系式:
sin2x+cos2x=1,=tanx.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,并能灵活运用.
知识梳理
一、同角三角函数的基本关系式
1.平方关系:
sin2α+cos2α=1(α∈R)
2.商数关系:
tanα=(α≠kπ+,k∈Z)
二、六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
不要求
不要求
对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,意思是说±α,k∈Z的三角函数值等于“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变,然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号.”
究疑点
有人说sin(kπ-α)=sin(π-α)=sinα(k∈Z),你认为正确吗?
提示:
不正确.当k=2n(n∈Z)时,sin(kπ-α)=sin(2nπ-α)=sin(-α)=-sinα;当k=2n+1(n∈Z)时,sin(kπ-α)=sin[(2n+1)·π-α]=sin(2nπ+π-α=sin(π-α)=sinα.
典型例题
【考点一】同角三角函数关系式的应用
★1.(2009北京9)若,则.
【答案】
【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.
由已知,在第三象限,∴,∴应填.
★★2.(2011北京9)在中。
若b=5,,tanA=2,则sinA=____________;a=_______________。
【答案】
★★★3.已知sinα-cosα=,则sinα·cosα=________.
答案:
★★★4.已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=.
(1)求tanα的值;
(2)把用tanα表示出来,并求其值.
解:
(1)法一:
联立方程
由①得cosα=-sinα,将其代入②,
整理得25sin2α-5sinα-12=0.
∵α是三角形内角,∴,
∴tanα=-
法二:
∵sinα+cosα=,
∴(sinα+cosα)2=()2,
即1+2sinαcosα=,
∴2sinαcosα=-,
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=.
∵sinαcosα=-<0,且0<α<π,∴sinα>0,cosα<0,
∴sinα-cosα>0,
∴sinα-cosα=,由,得,
∴tanα=-..
(2)===.
∵tanα=-,
∴===-.
【变式之作】
★★(2009辽宁卷)已知,则
(A) (B) (C) (D)
【解析】
==
【答案】D
[归纳领悟]1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用:
对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.3.应用sin2α+cos2α=1求sinα或cosα时,特别注意角α的三角函数值的符号,符号规律:
“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.4.注意公式逆用及变形应用:
1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
【考点二】诱导公式的应用
★1.(2010全国卷1)
(1)
(A)(B)-(C)(D)
1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识
【解析】
★2.(2009全国卷Ⅰ)的值为
(A)(B)(C)(D)
【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。
解:
,故选择A。
★★3.已知tanθ=2,则=( )
A.2 B.-2C.0 D.
解析:
=====-2.答案:
B
★★★4.求值:
sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)+tan945°.
解:
原式=-sin1200°·cos1290°+cos1020°·(-sin1050°)+tan945°
=-sin120°·cos210°+cos300°·(-sin330°)+tan225°
=(-sin60°)·(-cos30°)+cos60°·sin30°+tan45°
=×+×+1=2.
★★★5.化简
(1)+;
(2),k∈Z.
解:
(1)原式=+=+=.
(2)当k为偶数时,记k=2n(n∈Z),
原式=
===-1;
当k为奇数时,记k=2n+1(n∈Z),
原式=
===-1.
综上,原式=-1.
【变式之作】
★★★已知cos(π+α)=-,且α是第四象限角,计算:
(1)sin(2π-α);
(2)(n∈Z).
解:
∵cos(π+α)=-,∴-cosα=-,cosα=.
又∵α是第四象限角,∴sinα=-=-.
(1)sin(2π-α)=sin[2π+(-α)]=sin(-α)=-sinα=;
(2)=
====-=-4.
[归纳领悟]利用诱导公式化简求值时的原则为:
1.“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.
2.“大化小”,利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数,利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数.
3.“小化锐”,利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数.
4.“锐求值”,得到0°到90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得.
【考点三】诱导公式在三角形中的应用
★1.△ABC中,cosA=,则sin(B+C)=________.
解析:
∵△ABC中,A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin(π-A)=sinA==.
★★2.已知在△ABC中,sinA+cosA=,
(1)求sinA·cosA;
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.
解:
(1)∵sinA+cosA=,∴两边平方得1+2sinA·cosA=,∴sinA·cosA=-.
(2)由
(1)知sinA·cosA=-<0,且0<A<π,可知cosA<0,∴A为钝角,∴△ABC是钝角三角形.
★★★3.在△ABC中,若sin(2π-A)=-sin(π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC的三个内角.
解:
由已知得①2+②2得2cos2A=1,即cosA=±.
(1)当cosA=时,cosB=,又A、B是三角形的内角,∴A=,B=,∴C=π-(A+B)=π.
(2)当cosA=-时,cosB=-.又A、B是三角形的内角,∴A=π,B=π,不合题意.综上知,A=,B=,C=π.
★★★4(2010重庆文数)(15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线,各段弧所在的圆经过同一点(点不在上)且半径相等.设第段弧所对的圆心角为,则____________.
解析:
又,所以
★★★5(2010广东理数)11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.
解:
由A+C=2B及A+B+C=180°知,B=60°.由正弦定理知,,即.由知,,则,
,
[归纳领悟]1.诱导公式在三角形中经常应用,常用的变形结论有:
A+B=π-C;2A+2B+2C=2π;++=.2.求角时,一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的范围,最后求角.
巩固训练
一、把脉考情
从近两年的高考试题来看,同角三角函数基本关系及诱导公式是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,难度为中低档题;主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用,一般不单独命题,在考查基本运算的同时,注重考查等价转化的思想方法.预测2012年高考仍将以含π±α,±α的诱导公式及同角三角函数的平方关系和商数关系为主要考点,重点考查运算能力与恒等变形能力.
二、考题诊断
★★1.(2010·全国卷Ⅱ)已知sinα=,则cos(π-2α)=( )
A.- B.-C. D.
解析:
cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2×()2-1=-.答案:
B
★★2.(2010·全国卷Ⅱ)记cos(-80°)=k,那么tan100°=( )
A. B.-C. D.-
解析:
cos(-80°)=cos80°=k,sin80°=,tan80°=,tan100°=-tan80°=-,故选B.
★★3.(2009·全国卷Ⅰ)sin585°的值为( )
A.- B.
C.- D.
[解析] sin585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°)=-sin45°=-,故选择A.
[答案] A
★★4.α是第四象限角,tanα=-,则sinα=( )
A. B.-
C. D.-
[解析] ∵tanα==-,又由sin2α+cos2α=1得sinα=±,又α是第四象限角,∴sinα=-.[答案] D
★★★5.(2009北京理)“”是“”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.当时,反之,当时,有,或,
★★6(2009陕西卷文)若,则的值为
(A)0(B)(C)1(D)
答案:
B.解析:
利用齐次分式的意义将分子分母同时除以得,
故选B.
★7.(2010·全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角,tanα=-,则cosα=________.
解析:
由α是第二象限的角且tanα=-,得cosα=-=-.
★★8.(2009北京文)(本小题共12分)已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识,主要考查基本运算能力.
(Ⅰ)∵,∴函数的最小正周期为.(Ⅱ)由,∴,
∴在区间上的最大值为1,最小值为.
★★9.已知-<x<0,sinx+cosx=.
(1)求sinx-cosx的值;
(2)求的值.
[解]
(1)联立方程
由①得sinx=-cosx,将其代入②,整理得cosx=-或cosx=.因为-<x<0,所以
故sinx-cosx=-.
(2)=
=
=-.
★★★10.(2009·广东文)已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,).
(1)求sinθ和cosθ的值;
(2)若sin(θ-φ)=,0<φ<,求cosφ的值.
[解]
(1)∵a与b互相垂直,则a·b=sinθ-2cosθ=0,即sinθ=2cosθ,代入sin2θ+cos2θ=1得sinθ=±,cosθ=±,又θ∈(0,),∴sinθ=,cosθ=.
(2)∵0<φ<,0<θ<,∴-<θ-φ<,
则cos(θ-φ)==,
∴cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθ-cos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=.
课后作业
一、选择题
★★1.(2009四川卷理)已知函数,下面结论错误的是
A.函数的最小正周期为B.函数在区间上是增函数
C.函数的图像关于直线对称D.函数是奇函数
解析:
由函数的可以得到函数是偶函数,所以选择D.
★★2(2010全国卷2理数)(13)已知是第二象限的角,,则.
【答案】
【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生的计算能力.
【解析】由得,又,解得,又是第二象限的角,所以.
★★★3.已知f(α)=,则f(-π)的值为( )
A. B.-C.- D.
解析:
∵f(α)==-cosα,∴f(-π)=-cos(-π)=-cos(10π+)
=-cos=-.答案:
C
★★4.(2009天津卷理)已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象
A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度21世纪教育网
C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度
解析:
由题知,所以
,故选择A。
★★5.(2009北京文)“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】当时反之当有或,故应选A.21世纪教育网
★★★6.已知sinx=2cosx,则sin2x+1=( )
A. B.C. D.
解析:
∵sinx=2cosx,∴tanx=2,sin2x+1=2sin2x+cos2x==.答案:
B
★7.(2010全国卷2文数)(13)已知α是第二象限的角,tanα=1/2,则cosα=__________
【解析】∵,∴
★★8.已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx-β),其中α、β、a、b均为非零实数,若f(2010)=-1,则f(2011)等于( )
A.-1 B.0C.1 D.2
解析:
由诱导公式知f(2010)=asinα+bcosβ=-1,∴f(2011)=asin(π+α)+bcos(π-β)
=-(asinα+bcosβ)=1.答案:
C
二、填空题
★★9.若=2,则sin(θ-5π)sin(-θ)=________.
解析:
由=2,得sinθ+cosθ=2(sinθ-cosθ),两边平方得:
1+2sinθcosθ=4(1-2sinθcosθ),故sinθcosθ=,∴sin(θ-5π)sin(-θ)=sinθcosθ=.答案:
★★10.(2011·衡水一模)=________.
解析:
===1.答案:
1
★11.已知α∈(,),tan(α-7π)=-,则sinα+cosα的值为________.
解析:
tan(α-7π)=tanα=-,∴α∈(,π),sinα=,cosα=-,∴sinα+cosα=-.
答案:
-
三、解答题
★12.已知sin(π-α)·cos(-8π-α)=,且α∈(,),试求sinα和cosα的值.
解:
由sin(π-α)·cos(-8π-α)=得sinα·cosα=,∴(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=.(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-=.
又α∈(,),∴sinα+cosα=,sinα-cosα=,∴sinα=,cosα=.
★★★13.(2009安徽卷理)在ABC中,,sinB=.
(I)求sinA的值;(II)设AC=,求ABC的面积.
解:
(Ⅰ)由,且,∴,∴,
A
B
C
∴,又,∴
(Ⅱ)如图,由正弦定理得
∴,又
∴
★★★14.(2010·宁波模拟)已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数.
(1)求函数F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域和最小正周期;
(2)若f(x)=2f′(x),求的值.
解:
(1)∵f′(x)=cosx-sinx,∴F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)
=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+sin(2x+),
函数F(x)的值域为[1-,1+],最小正周期为T==π.
(2)∵f(x)=2f′(x)⇒sinx+cosx=2cosx-2sinx,∴cosx=3sinx⇒tanx=,
∴====.
(
14
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