圆的参数方程及应用.doc
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圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程来说,圆的方程还有另外一种表达形式为参数),在解决有些问题时,合理的选择圆方程的表达形式,能给解决问题带来方便,本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值
例1已知点(x,y)在圆上,求的最大值和最小值。
【解】圆的参数方程为:
。
则=
==,则(k∈Z)时,的最大值为:
;(k∈Z)时,的最小值为。
C
x
y
O
A
B
图1
【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题,可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。
二、求轨迹
例2在圆上有定点A(2,0),及两个动点B、C,且A、B、C按逆时针方向排列,∠BAC=,求△ABC的重心G(x,y)的轨迹方程。
【解】由∠BAC=,得∠BOC=,设∠ABO=θ(),则B(2cosθ,2sinθ),C(2cos(θ+),2sin(θ+)),由重心坐标公式并化简,得:
,由,知0≤x<1,
消去θ得:
(0≤x<1=。
【点评】用圆的几何性质,∠BOC=2∠BAC=120°,再以∠ABO=θ为参数,求出轨迹的参数方程,在消参后,要注意x的范围的限定。
三、求范围
例3已知点P(x,y)是圆上任意一点,欲使不等式x+y+c≥0恒成立,求c的取值范围。
【解】圆的参数方程为:
,则有:
x+y=1+sinθ+cosθ=1+,-(x+y)=-1-,-(x+y)的最大值为:
-1+,由于x+y+c≥0,所以,c≥-(x+y)恒成立,即c≥-1+。
【点评】将恒成立的问题,转化为求最值问题,利用圆的参数方程求最值简洁易算。
四、求斜率
O
x
y
(2,1)
图2
例4求函数的最大值和最小值。
【解】函数的值,是以原点为圆心的单位圆上的点(cosθ,sinθ)与点(2,1)所连线的斜率,最值在切线处取得,容易求得最大值为:
,最小值为:
0。
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