高中数学必修5常考题型:一元二次不等式及其解法(复习课).doc
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高中数学必修5常考题型:一元二次不等式及其解法(复习课).doc
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一元二次不等式及其解法(复习课)
【常考题型】
题型一、简单的分式不等式
【例1】 解下列不等式
(1)<0;
(2)≤2.
[解]
(1)由<0,得>0,
此不等式等价于(x+2)(x-1)>0,
∴原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.
(2)法一:
移项得-2≤0,
左边通分并化简有≤0,即≥0,
它的同解不等式为
∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
法二:
原不等式可化为≥0,
此不等式等价于①
或②
解①得x≥5,解②得x<2,
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
【类题通法】
1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.
2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
【对点训练】
1.解下列不等式:
(1)≥0;
(2)>1.
解:
(1)原不等式等价于
即⇒-2≤x<3.
∴原不等式的解集为{x|-2≤x<3}.
(2)原不等式可化为-1>0,即<0.
等价于(3x-2)(4x-3)<0.
∴ ∴原不等式的解集为{x| 题型二、不等式中的恒成立问题 【例2】 关于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1对x∈R恒成立,求实数m的取值范围. [解] 原不等式等价于mx2+mx+m-1<0,对x∈R恒成立, 当m=0时,0·x2+0·x-1<0对x∈R恒成立. 当m≠0时,由题意,得 ⇔ ⇔⇔m<0. 综上,m的取值范围为m≤0. 【类题通法】 不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式ax2+bx+c>0,它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2+bx+c≥0,它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为 【对点训练】 2.若关于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立,求实数a的取值范围. 解: 当a=0时,原不等式可化为2x+2>0,其解集不为R,故a=0不满足题意,舍去; 当a≠0时,要使原不等式的解集为R,只需 解得a>. 综上,所求实数a的取值范围为. 题型三、一元二次不等式的实际应用 【例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围. [解] (1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%). 依题意得,y=200a(1+2x%)(10-x)% =a(100+2x)(10-x)(0<x<10). (2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). 依题意得,a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%, 化简得x2+40x-84≤0, ∴-42≤x≤2. 又∵0<x<10, ∴0<x≤2. ∴x的取值范围是{x|0<x≤2}. 【类题通法】 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是: (1)理解题意,搞清量与量之间的关系; (2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题; (3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解. 【对点训练】 3.某校园内有一块长为800m,宽为600m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围. 解: 设花卉带的宽度为xm,则中间草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m.根据题意可得(800-2x)(600-2x)≥×800×600,整理得x2-700x+600×100≥0,即(x-600)(x-100)≥0,所以0<x≤100或x≥600,x≥600不符合题意,舍去. 故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m. 【练习反馈】 1.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B={x|≤0},则A∩B=( ) A.{x|-1≤x<0} B.{x|0<x≤1} C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1} 解析: 选B ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2}, ∴A∩B={x|0<x≤1}. 2.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( ) A.-4≤a≤4 B.-4<a<4 C.a≤-4或a≥4 D.a<-4或a>4 解析: 选A 依题意应有Δ=a2-16≤0, 解得-4≤a≤4,故选A. 3.不等式≤3的解集为________. 解析: ≤3⇔-3≤0⇔≥0⇔x(2x-1)≥0且x≠0⇔x<0或x≥. 答案: 4.若函数f(x)=log2(x2-2ax-a)的定义域为R,则a的取值范围为________. 解析: 已知函数定义域为R,即x2-2ax-a>0 对任意x∈R恒成立. ∴Δ=(-2a)2+4a<0. 解得-1<a<0. 答案: (-1,0) 5.你能用一根长为100m的绳子围成一个面积大于600m2的矩形吗? 解: 设围成的矩形一边的长为xm,则另一边的长为(50-x)m,且0<x<50. 由题意,得围成矩形的面积S=x(50-x)>600, 即x2-50x+600<0,解得20<x<30. 所以,当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时,能围成一个面积大于600m2的矩形.
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- 高中数学 必修 题型 一元 二次 不等式 及其 解法 复习