高三理科数学模拟试卷04.doc
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高三理科数学模拟试卷04.doc
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绝密★启用前试卷类型:
A
2016年高考模拟试卷04
理科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
第I卷1至2页。
第II卷3至4页。
考试结束后,将本草纲目试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无交通工效。
3.第I卷共12小题,第小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数(为虚数单位)的虚部是()
A. B. C. D.
2.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是()
A.B.C.D.
3.已知,,则()
A. B. C. D.-
4.设双曲线上的点P到点的距离为6,则P点到的距离是()
A.2或10B.10C.2D.4或8
5.下列有关命题说法正确的是()
A.命题p:
“”,则Øp是真命题
B.的必要不充分条件
C.命题的否定是:
“”
D.“”是“上为增函数”的充要条件
6.将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像,则的一条对称轴方程可以为()
A. B.C.D.
7.2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖,这6名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是()
A.B. C. D.
8.执行如图8的程序框图,若输出的值是,则的值可以为()
A.B.C.D.
9.若某几何体的三视图(单位:
)如图所示,则该几何体的体积()
A.B.C.D.
10.若的展开式中存在常数项,则可以为()
A.8B.9C.10D.11
11.()
A.B.C. D.
12.形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值,则当的值分别为方程中的时的“囧函数”与函数的图像交点个数为().
A.B.C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.一个长方体高为5,底面长方形对角线长为12,则它外接球的表面积为
14.如图,探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点
F处,灯口直径AB为0,灯深(顶点O到反射镜距离)0,
则光源F到反射镜顶点O的距离为
15.已知点的坐标满足条件,那么的取值范围为
16.,则=
三.解答题:
本大题共5小题,每题12分共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知为单调递增的等差数列,,设数列满足
(1)求数列的通项;
(2)求数列的前项和。
18.(本小题满分12分)
我国新发布的《环境空气质量标准》指出:
空气质量指数在为优秀,人类可正常活动。
某市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测,得到每天的空气质量指数,从中随机抽取50个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为,,,,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图,如图.
(1)求的值,并根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值;
(2)如果空气质量指数不超过,就认定空气质量为“特优等级”,则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值,其中达到“特优等级”的天数为.求的分布列和数学期望。
19.(本小题满分12分)
如图,是平行四边形,平面,,,
,.,,分别为,,的中点.
(1)求证:
;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆离心率为,以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆O与直线:
相切。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不过原点O的直线与该椭圆交于P、Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围。
21.(本小题满分12分)
已知定义在R上的偶函数,当时,.
(1)当时,求过原点与函数图像相切的直线的方程;
(2)求最大的整数,使得存在,只要,就有.
请在第22.23.24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修4-1,几何证明选讲
如图,A、B是圆O上的两点,且AB的长度小于圆O的直径,直线与AB垂于点D且与圆O
相切于点C.若
(1)求证:
为的角平分线;
(2)求圆的直径的长度。
23.(本小题满分10分)选修4—4:
极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线的方程为x+y-8=0,曲线C的参数方程为[来源:
学,科,网Z,X,X,K]
.
(1)已知极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,若点P的极坐标为,请判断点P与曲线C的位置关系;
(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线的距离的最小值与最大值。
24.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,关于的不等式的解集为,且,
求实数的取值范围.
参考答案
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
A
A
D
A
C
B
B
C
D
C
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.;14.或或;15.;16.
三、解答题:
17.解:
(1)解法1:
设的公差为,则
为单调递增的等差数列且………1分
由得解得………4分
………5分
………6分
解法2:
设的公差为,则
为单调递增的等差数列………1分
由得解得………5分
………6分
(2)………7分
由①
得②………8分
①-②得,……9分
又不符合上式………10分
当时,
………11分
符合上式,………12分
18解:
(1)由题意,得………2分
解得………3分
50个样本中空气质量指数的平均值为
………5分
可估计2015年这一年度空气质量指数的平均值约为24.6…………6分
(2)利用样本估计总体,该年度空气质量指数在内为“特优等级”,且指数达到“特优等级”的概率为0.2,则。
的可能取值为0,1,2,…………………7分
的分布列为:
0
1
2
…………………10分
.(或者)。
…………………12分
19.解:
(1)证明:
如图19-1
………1分
………2分
而
………………3分
………5分
………6分
(2)法1:
如图19-2,设的中点为,连结,,.
易知所以四点共面
分别为,,的中点
………7分
同理又…8分
二面角即为平面与平面所成的锐二面角……9分
,……10分
且
就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角…11分
………12分
法2:
如图19-3,设的中点为,连结,,.作于点
易知所以四点共面………7分
又………8分
………9分
又由
(1)知
的法向量…10分
………11分
设平面与平面所成锐二面角的大小为,则
………12分
法3:
如图19-4,
………1分
又………2分
建立如右图所示坐标系,则
,,
………4分
(1)………5分
………6分
(2)设的一个法向量为,则
由得………7分
解得………8分
又而,
平面,为平面的一个法向量………10分
………11分
平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值为………12分
20.解:
(1)由直线:
与圆相切得:
,……………2分
由得,……………3分
又……………4分
椭圆C的方程为……………5分
(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为
y=kx+m(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,…………6分
则Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
且x1+x2=,x1x2=.……………7分
故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,
所以·==k2,…………8分
即+m2=0,又m≠0,所以k2=,即k=±.…………9分
由Δ>0,及直线OP,OQ的斜率存在,得0 S△OPQ=|x1-x2||m|=,………………11分 (或S△OPQ) 所以S△OPQ的取值范围为(0,1).……………………12分 21解: (1) 解法1: 因为为偶函数,当时,,……1分 ,……2分 设切点坐标为,则切线斜率为 切线方程为……3分 又切线过(0,0),所以……4分 ,切线方程为,即……5分 解法2: 当时,,,了……1分 记过原点与相切的直线为L,设切点坐标为, 则切线L斜率为切线方程为……2分 又切线过(0,0),所以……3分 ,切线方程为,……4分 为偶函数,图像关于y轴对称, ∴当时,设过原点与相切的直线方程为 即……5分 (2)因为任意,都有,故x=1时, 当时,,从而,∴ 当时,,从而, ∴,综上,……………6分 又整数,即,故,故x=m时, 得: ,即存在,满足……………7分 ∴,即,……………8分 令,,则 当时,,单调递减; 当时,,单调递增,……………9分 又,,, 由此可见,方程在区间上有唯一解, 且当时,当时, ,故,此时.……………10分 下面证明: 对任意恒成立, ①当时,即,等价于, ,∴,……………11分 ②当时,即,等价于 令,则,在上递减,在上递增, ∴,而, 综上所述,对任意恒成立。 ……………12分 22.解: (I)证法1: 如图22-1 由切割线定理得 ……………1分 ……………2分 ……………3分 ……………4分 =,为的角平分线……………5分 证法2: 如图22-1 由切割线定理得……………1分 ……3分 ……4分 为的角平分线……………5分 (2)法1: 如图22-2连结并延长交圆于点,连结, 设延长线上一点为,则AE为圆O直径, 直线与圆O相切于点C., (等角的余角相等) …………6分 (相等的圆周角所对的弦相等)…………7分 …………8分 …………9分 圆的直径为4…………10分 法2: 如图22-3,连结和,则 ……………6分 又……………7分 ,……………8分 ,又 四边形AOCB为菱形……………9分 圆的直径为………10分 法3: 由证法2得,……………8分 ……………9分 如图22-4连结OB, 为等边三角形, 圆的直径为……………10分 23.解: (1)设点P的直角坐标系坐标为,则 得: P(4,4)。 ……2分 ……4分 点P在曲线C 外。 ……5分 (2)法1: 因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为,……6分 从而点Q到直线的距离为……7分 ……8分 当时,Q到直线的距离的最小值为……9分 当时,Q到直线的距离的最大值为……10分 法2: 直线的平行线n方程可设为: x+y+t=0……6分 联立得,即……7分 ……8分 曲线C的两切线方程为与 Q到直线的距离的最大值为……9分 Q到直线的距离的最小值为……10分 24解: (1)解法1: 时,即为可化为 ……………3分 解得……………4分 所以不等式的解集为R……………5分 解法2: 令,则……………3分 所以……………4分 所以不等式的解集为R……………5分 (2)解: ……………6分 ①时,这时的解集为, 满足,所以……………7分 ②当时, 这时即可化为 所以……………8分 因为 所以即即 所以……………9分 又因为所以 综合①②得实数的取值范围为……………10分 19/19
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