高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第一章集合与常用逻辑用语Word文件下载.docx
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3.集合间的基本运算
(1)交集:
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(2)并集:
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)补集:
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁UA.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)子集的性质:
A⊆A,∅⊆A,A∩B⊆A,A∩B⊆B.
(2)交集的性质:
A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(3)并集的性质:
A∪B=B∪A,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪A=A,A∪∅=∅∪A=A.
(4)补集的性质:
A∪∁UA=U,A∩∁UA=∅,∁U(∁UA)=A,∁AA=∅,∁A∅=A.
(5)含有n个元素的集合共有2n个子集,其中有2n-1个真子集,2n-1个非空子集.
(6)等价关系:
A∩B=A⇔A⊆B;
A∪B=A⇔A⊇B.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(2){x|x≤1}={t|t≤1}.( )
(3){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )
(4)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(5)若AB,则A⊆B且A≠B.( )
(6)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
(7)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
(5)√ (6)√ (7)×
(二)选一选
1.已知集合A={x∈R|0<
3-x≤2},B={x∈R|0≤x≤2},则A∪B=( )
A.[0,3] B.[1,2]
C.[0,3)D.[1,3]
解析:
选C 因为A={x∈R|0<
3-x≤2}={x∈R|1≤x<
3},所以A∪B={x∈R|0≤x<
3}.
2.若集合A={x∈N|x≤
},a=2
则下面结论中正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
选D 因为2
不是自然数,所以a∉A.
3.(2018·
全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9B.8
C.5D.4
选A 法一:
将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.
法二:
根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A.
(三)填一填
4.若集合A={x|-2<
x<
1},B={x|x<
-1或x>
3},则A∩B=________.
由集合交集的定义可得A∩B={x|-2<
-1}.
{x|-2<
-1}
5.已知集合U={-1,0,1},A={x|x=m2,m∈U},则∁UA=________.
∵A={x|x=m2,m∈U}={0,1},∴∁UA={-1}.
{-1}
[典例]
(1)(2017·
全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )
A.3 B.2
C.1D.0
(2)已知a,b∈R,若
={a2,a+b,0},则a2019+b2019的值为( )
A.1B.0
C.-1D.±
1
[解析]
(1)因为A表示圆x2+y2=1上的点的集合,B表示直线y=x上的点的集合,直线y=x与圆x2+y2=1有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.
(2)由已知得a≠0,则
=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2019+b2019=(-1)2019+02019=-1.
[答案]
(1)B
(2)C
[解题技法] 与集合中的元素有关的解题策略
(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
[提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.
[题组训练]
1.设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合B中元素的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
选A 若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A;
当-1∈B时,1-(-1)=2∈A;
当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;
当-3∈B时,1-(-3)=4∉A,所以B={-3},故集合B中元素的个数为1.
2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a等于( )
A.
B.
C.0D.0或
选D 若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=
符合题意.
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=
所以a的值为0或
3.(2018·
厦门模拟)已知P={x|2<
k,x∈N},若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围为.
因为P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},故k的取值范围为5<
k≤6.
(5,6]
[典例]
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<
5,x∈N},则( )
A.B⊆A B.A=B
C.ABD.BA
(2)(2019·
湖北八校联考)已知集合A={x∈N*|x2-3x<
0},则满足条件B⊆A的集合B的个数为( )
A.2B.3
C.4D.8
(3)已知集合A={x|-1<
3},B={x|-m<
m},若B⊆A,则m的取值范围为________.
[解析]
(1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},比较A,B中的元素可知AB,故选C.
(2)∵A={x∈N*|x2-3x<
0}={x∈N*|0<
3}={1,2},又B⊆A,∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22=4,故选C.
(3)当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.
当m>
0时,因为A={x|-1<
3}.
若B⊆A,在数轴上标出两集合,如图,
所以
所以0<
m≤1.
综上所述,m的取值范围为(-∞,1].
[答案]
(1)C
(2)C (3)(-∞,1]
[变透练清]
1.
若本例
(2)中A不变,C={x|0<
5,x∈N},则满足条件A⊆B⊆C的集合B的个数为( )
A.1 B.2
选D 因为A={1,2},由题意知C={1,2,3,4},所以满足条件的B可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
2.
若本例(3)中,把条件“B⊆A”变为“A⊆B”,其他条件不变,则m的取值范围为________.
若A⊆B,由
得m≥3,
∴m的取值范围为[3,+∞).
[3,+∞)
3.已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
①若B=∅,则Δ=m2-4<
0,解得-2<
m<
2;
②若1∈B,则12+m+1=0,
解得m=-2,此时B={1},符合题意;
③若2∈B,则22+2m+1=0,
解得m=-
此时B=
不合题意.
综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).
[-2,2)
[解题技法]
判定集合间基本关系的两种方法和一个关键
两种
方法
①化简集合,从表达式中寻找两集合的关系;
②用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系
一个
关键
关键是看它们是否具有包含关系,若有包含关系就是子集关系,包括相等和真子集两种关系
考法
(一) 集合的运算
[典例]
(1)(2018·
天津高考)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )
A.{-1,1} B.{0,1}
C.{-1,0,1}D.{2,3,4}
(2)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4>
0},B={x|-2≤x≤2},则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A.{x|-2≤x<
4}
B.{x|x≤2或x≥4}
C.{x|-2≤x≤-1}
D.{x|-1≤x≤2}
[解析]
(1)∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},
∴A∪B={-1,0,1,2,3,4}.
又C={x∈R|-1≤x<2},
∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.
(2)依题意得A={x|x<
4},
因此∁RA={x|-1≤x≤4},题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B={x|-1≤x≤2}.
[答案]
(1)C
(2)D
[解题技法] 集合基本运算的方法技巧
(1)当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn图运算.
(2)当集合是用不等式表示时,可运用数轴求解.对于端点处的取舍,可以单独检验.
(3)集合的交、并、补运算口诀如下:
交集元素仔细找,属于A且属于B;
并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;
全集U是大范围,去掉U中a元素,剩余元素成补集.
考法
(二) 根据集合运算结果求参数
[典例]
(1)已知集合A={x|x2-x-12>
0},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>
4},则实数m的取值范围是( )
A.(-4,3)B.[-3,4]
C.(-3,4)D.(-∞,4]
河南名校联盟联考)已知A={1,2,3,4},B={a+1,2a},若A∩B={4},则a=( )
A.3B.2
C.2或3D.3或1
[解析]
(1)集合A={x|x<
-3或x>
4},∵A∩B={x|x>
4},∴-3≤m≤4,故选B.
(2)∵A∩B={4},∴a+1=4或2a=4.若a+1=4,则a=3,此时B={4,6},符合题意;
若2a=4,则a=2,此时B={3,4},不符合题意.综上,a=3,故选A.
[答案]
(1)B
(2)A
根据集合的运算结果求参数值或范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;
若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.
1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<
0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1}B.{1,2}
C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}
选C 因为集合B={x|-1<
2,x∈Z}={0,1},而A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.
2.(2019·
重庆六校联考)已知集合A={x|2x2+x-1≤0},B={x|lgx<
2},则(∁RA)∩B=( )
C.
D.∅
选A 由题意得A=
B=(0,100),则∁RA=(-∞,-1)∪
所以(∁RA)∩B=
3.(2019·
合肥质量检测)已知集合A=[1,+∞),B=
若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.
D.(1,+∞)
选A 因为A∩B≠∅,
解得a≥1.
1.(2019·
福州质量检测)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|-1<
x≤4},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.1 B.2
选B 依题意,集合A是由所有的奇数组成的集合,故A∩B={1,3},所以集合A∩B中元素的个数为2.
2.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( )
A.{2,6}B.{3,6}
C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}
选A 因为A={1,3,5},B={3,4,5},所以A∪B={1,3,4,5}.又U={1,2,3,4,5,6},所以∁U(A∪B)={2,6}.
天津高考)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)=( )
A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}
C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}
选B ∵全集为R,B={x|x≥1},
∴∁RB={x|x<1}.
∵集合A={x|0<x<2},
∴A∩(∁RB)={x|0<x<1}.
4.(2018·
南宁毕业班摸底)设集合M={x|x<
4},集合N={x|x2-2x<
0},则下列关系中正确的是( )
A.M∩N=MB.M∪(∁RN)=M
C.N∪(∁RM)=RD.M∪N=M
选D 由题意可得,N=(0,2),M=(-∞,4),所以M∪N=M.
5.设集合A=
B={x|lnx≤0},则A∩B为( )
B.[-1,0)
D.[-1,1]
选A ∵
≤2x<
即2-1≤2x<
2
∴-1≤x<
∴A=
.∵lnx≤0,即lnx≤ln1,∴0<
x≤1,∴B={x|0<
x≤1},∴A∩B=
6.(2019·
郑州质量测试)设集合A={x|1<
2},B={x|x<
a},若A∩B=A,则a的取值范围是( )
A.(-∞,2]B.(-∞,1]
C.[1,+∞)D.[2,+∞)
选D 由A∩B=A,可得A⊆B,又因为A={x|1<
a},所以a≥2.
7.已知全集U=A∪B中有m个元素,
∪
中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为( )
A.mnB.m+n
C.n-mD.m-n
选D 因为
中有n个元素,如图中阴影部分所示,又U=A∪B中有m个元素,故A∩B中有m-n个元素.
8.定义集合的商集运算为
=
已知集合A={2,4,6},B=
则集合
∪B中的元素个数为( )
A.6B.7
C.8D.9
选B 由题意知,B={0,1,2},
则
∪B=
共有7个元素.
9.设集合A={x|x2-x-2≤0},B={x|x<
1,且x∈Z},则A∩B=________.
依题意得A={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2},因此A∩B={x|-1≤x<
1,x∈Z}={-1,0}.
{-1,0}
10.已知集合U=R,集合A=[-5,2],B=(1,4),则下图中阴影部分所表示的集合为
________.
∵A=[-5,2],B=(1,4),∴∁UB={x|x≤1或x≥4},则题图中阴影部分所表示的集合为(∁UB)∩A={x|-5≤x≤1}.
{x|-5≤x≤1}
11.若集合A={(x,y)|y=3x2-3x+1},B={(x,y)|y=x},则集合A∩B中的元素个数为________.
法一:
由集合的意义可知,A∩B表示曲线y=3x2-3x+1与直线y=x的交点构成的集合.
联立得方程组
解得
或
故A∩B=
所以A∩B中含有2个元素.
由集合的意义可知,A∩B表示曲线y=3x2-3x+1与直线y=x的交点构成的集合.因为3x2-3x+1=x即3x2-4x+1=0的判别式Δ>
0,所以该方程有两个不相等的实根,所以A∩B中含有2个元素.
12.已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是__________.
由log2x≤2,得0<x≤4,
即A={x|0<x≤4},而B={x|x<a},
由于A⊆B,在数轴上标出集合A,B,如图所示,则a>4.
(4,+∞)
13.设全集U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2<
4},C={x|a≤x≤a+1}.
(1)分别求A∩B,A∪(∁UB);
(2)若B∪C=B,求实数a的取值范围.
解:
(1)由题意知,A∩B={x|1≤x≤3}∩{x|2<
4}={x|2<
x≤3}.易知∁UB={x|x≤2或x≥4},所以A∪(∁UB)={x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}={x|x≤3或x≥4}.
(2)由B∪C=B,可知C⊆B,画出数轴(图略),
易知2<
a<
a+1<
4,解得2<
3.
故实数a的取值范围是(2,3).
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
1.命题的概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
3.充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件;
①A是B的充分不必要条件是指:
A⇒B且B
A;
②A的充分不必要条件是B是指:
B⇒A且A
B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误.
(2)如果q⇒p,则p是q的必要条件;
(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件.
充要关系与集合的子集之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)},
①若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
②若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
③若A=B,则p是q的充要条件.
1.四种命题中的等价关系
原命题等价于逆否命题,否命题等价于逆命题,所以在命题不易证明时,往往找等价命题进行证明.
2.等价转化法判断充分条件、必要条件
p是q的充分不必要条件,等价于綈q是綈p的充分不必要条件.其他情况以此类推.
(1)“x2+2x-8<
0”是命题.( )
(2)一个命题非真即假.( )
(3)四种形式的命题中,真命题的个数为0或2或4.( )
(4)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( )
(2)√ (3)√ (4)×
1.“x=-3”是“x2+3x=0”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
选C 由x2+3x=0,解得x=-3或x=0,则当“x=-3”时一定有“x2+3x=0”,反之不一定成立,所以“x=-3”是“x2+3x=0”的充分不必要条件.
2.命题“若a>
b,则a+c>
b+c”的否命题是( )
A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤b
C.若a+c>
b+c,则a>
bD.若a>
b,则a+c≤b+c
选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题为“若a≤b,则a+c≤b+c”.
唐山一模)若x∈R,则“x>
1”是“
<
1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
选A 当x>
1时,
1成立,而当
1时,x>
1或x<
0,所以“x>
1”的充分不必要条件.
4.“若a,b都是偶数,则ab是偶数”的逆否命题为________.
“a,b都是偶数”的否定为“a,b不都是偶数”,“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”,故其逆否命题为“若ab不是偶数,则a,b不都是偶数”.
若ab不是偶数,则a,b不都是偶数
5.设向量a=(x-1,x),b=(x+2,x-4),则“a⊥b”是“x=2”的____________条件.
a=(x-1,x),b=(x+2,x-4),若a⊥b,则a·
b=0,
即(x-1)(x+2)+x(x-4)=0,解得x=2或x=-
∴x=2⇒a⊥b,反之a⊥b⇒x=2或x=-
∴“a⊥b”是“x=2”的必要不充分条件.
必要不充分
[典例] (2019·
菏泽模拟)有以下命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题;
③“若m≤1,则x
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