-度苏锡常镇四市高三教学情况调研一.doc
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2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研
(一)
数学Ⅰ试题2017.3
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上.
1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},,,
t←1
i←2
Whilei≤4
t←t×i
i←i+1
EndWhile
Printt
(第4题图)
则=▲.
2.若复数满足,其中i为虚数单位,则▲.
3.函数的定义域为▲.
4.右图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是▲.
5.某高级中学共有900名学生,现用分层抽样的方法从该校学
生中抽取1个容量为45的样本,其中高一年级抽20人,高三
年级抽10人.则该校高二年级学生人数为▲.
6.已知正四棱锥的底面边长是,侧棱长是,则该正四棱锥的体积为▲.
7.从集合中任取两个不同的数,则这两个数的和为的倍数的概率为▲.
8.在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点,则双曲线的离心率为▲.
9.设等比数列的前n项和为,若,,成等差数列,且,则的值为▲.
10.在平面直角坐标系中,过点的直线与圆交于A,B两点,其中A点在第一象限,且,则直线的方程为▲.
11.在△中,已知,,,若点满足,
且,则实数的值为▲.
12.已知,则▲.
13.若函数则函数的零点个数为▲.
14.若正数x,y满足,则的最小值为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在△中,分别为角的对边.若,,
且.
(1)求边的长;
(2)求角的大小.
16.(本小题满分14分)
E
C
1
A
1
C
B
A
O
(第16题图)
如图,在斜三棱柱中,侧面是菱形,与交于点,E是棱AB上一点,且∥平面.
(1)求证:
E是AB中点;
(2)若,求证:
.
17.(本小题满分14分)
某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门(如图).设计要求彩门的面积为S(单位:
m2),高为h(单位:
m)(S,h为常数).彩门的下底BC固定在广场地面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为,不锈钢支架的长度和记为l.
(1)请将l表示成关于的函数;
(2)问当为何值时l最小?
并求最小值.
C
B
D
A
(第17题图)
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆()的焦距为2,离心率为,椭圆的右顶点为A.
(1)求该椭圆的方程;
P
Q
D
(第18题图)
A
x
O
y
(2)过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:
直线AP,AQ的斜率之和为定值.
19.(本小题满分16分)
已知函数(a为正实数,且为常数).
(1)若在上单调递增,求的取值范围;
(2)若不等式恒成立,求的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知n为正整数,数列满足,,
设数列满足.
(1)求证:
数列为等比数列;
(2)若数列是等差数列,求实数的值;
(3)若数列是等差数列,前n项和为,对任意的N*,均存在N*,使得成立,求满足条件的所有整数的值.
2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研
(一)
数学Ⅱ试题2017.3
21.【选做题】本题包括,,,四小题,每小题10分.请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(选修4-1:
几何证明选讲)
A
B
C
D
O
(第21—A题图)
E
如图,圆O的直径,C为圆周上一点,,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l,圆O交于点D,E.
求的大小和线段AE的长.
B.(选修4—2:
矩阵与变换)
已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=,并且矩阵M对应的变换将点变换成.
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的另一个特征值.
C.(选修4—4:
坐标系与参数方程)
已知圆和圆的极坐标方程分别为,.
(1)把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
D.(选修4—5:
不等式选讲)
已知a,b,c为正数,且,求的最大值.
【必做题】第22,23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
C
A
M
P
N
D
B
(第22题图)
如图,已知正四棱锥中,,点,分别在,上,
且.
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)求二面角的余弦值.
23.(本小题满分10分)
设,n为正整数,数列的通项公式,其前n项和为.
(1)求证:
当n为偶数时,;当n为奇数时,;
(2)求证:
对任何正整数,.
2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研
(一)
数学参考答案2017.3
一、填空题.
1. 2. 3.4.
5.300 6. 7. 8.
9.10. 11.或
12.13. 14.1
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.
15.解:
(1)(法一)在△中,由余弦定理,
,则,得;①……2分
,则,得,②……4分
①+②得:
,.……7分
(法二)因为在△中,,
则,……2分
由得:
,,代入上式得:
……4分
.……7分
(2)由正弦定理得, ……10分
又, ……12分
解得,,.……14分
16.
(1)连接,因为∥平面,
平面,平面平面,所以∥.……4分
因为侧面是菱形,,所以是中点,……5分
所以,E是AB中点. ……7分
(2)因为侧面是菱形,所以, ……9分
又,,面,所以面,…12分
P
Q
D
(第18题图)
A
x
O
y
C
B
D
A
(第17题图)
H
E
C
1
A
1
C
B
A
O
(第16题图)
因为平面,所以. ……14分
17.解:
(1)过作于点,则(),,设,
则,,, ……3分
因为S=,则; ……5分
则();……7分
(2),……8分
令,得.……9分……11分
-
+
减
极小值
增
所以,.……12分
答:
(1)l表示成关于的函数为();
(2)当时,l有最小值为.……14分
18.解:
(1)由题所以,.……2分
所以椭圆C的方程为……4分
(2)当直线PQ的斜率不存在时,不合题意;……5分
当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为,……6分
代入得, ……8分
设,,则:
,,, ……9分
所以,, ……11分
又
=1.
所以直线AP,AQ的斜率之和为定值1.……16分
19.解:
(1),.……1分
因在上单调递增,则,恒成立.
令,则,……2分
x
……4分
-
+
减
极小值
增
因此,,即. ……6分
(2)当时,由
(1)知,当时,单调递增.……7分
又,当,;当时,.……9分
故不等式恒成立.……10分
若,,
设,令,则.…12分
当时,,单调递减,则,
则,所以当时,单调递减,……14分
则当时,,此时,矛盾.……15分
因此,. ……16分
20.解:
(1)由题意得,因为数列各项均正,
得,所以, ……2分
因此,所以是以为首项公比为2的等比数列. ……4分
(2)由
(1)得,,, ……5分
如果数列是等差数列,则, ……6分
得:
,即,则,
解得,. ……7分
当时,,
,数列是等差数列,符合题意; ……8分
当=12时,,
,,
,数列不是等差数列,=12不符合题意; ……9分
综上,如果数列是等差数列,. ……10分
(3)由
(2)得,对任意的N*,均存在N*,使,
则,所以. ……12分
当,N*,此时,对任意的N*,符合题意; ……14分
当,N*,当时,.不合题意.…15分
综上,当N*,对任意的N*,均存在N*,使.
……16分
(第Ⅱ卷理科附加卷)
A
B
C
D
O
(第21—A题图)
E
21.【选做题】本题包括,,,四小题,每小题10分.
A.(选修4-1 几何证明选讲).
解:
连结OC,由于l是圆的切线,故,
因为,所以∥,……2分
因为是圆O的直径,,,
所以,
则=.……4分
,,.……7分
由切割线定理知,, ……9分
所以,则.……10分
B.(选修4—2:
矩阵与变换)
解:
设M=,M,M,……3分
解得即M=. ……5分
(2)则令特征多项式, ……8分
解得.矩阵M的另一个特征值为.……10分
C.(选修4—4:
坐标系与参数方程)
解:
(1)圆的直角坐标方程为,① ……3分
由,得, ……4分
,
故圆的直角坐标方程为,②……6分
(2)②-①得经过两圆交点的直线为,……8分
该直线的极坐标方程为.……10分
D.(选修4—5:
不等式选讲)
解:
因为:
……7分
由于,故,
当且仅当时,取到最大值6. ……10分
【必做题】第22,23题,每小题10分,计20分.
22.解:
(1)设,交于点,在正四棱锥中,平面.又,所以.以为坐标原点,,方向分别是轴、轴正方向,建立空间直角坐标系,如图:
……1分
则,,,,
D
N
M
A
B
C
P
(第22题图)
O
x
y
z
故,,……3分
所以,,
,
所以与所成角的大小为.……5分
(2),,.
设是平面的一个法向量,则,,
可得令,,,即,……7分
设是平面的一个法向量,则,,
可得令,,,即,…9分
,
则二面角的余弦值为.……10分
23.证明:
(1)因为.
当n为偶数时,设,,.…1分
当n为奇数时,设,.
当时,,
此时,.……2分
当时,,
此时,.
综上,当n为偶数时,;当n为奇数时,.……3分
(2)当时,由
(1)得:
,
=.
故时,命题成立 ……5分
假设时命题成立,即.
当时,由
(1)得:
= ……6分
=
=
=
即当时命题成立.……9分
综上所述,对正整数命题成立.……10分
第15页共15页
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